PID控制器设计磁悬浮小球控制系统

MATLAB课程设计
课程名称：采用PID控制器设计磁悬浮小球控制系统
学院：电气工程学院
学号：P*********
姓名：***
班级：10级自动化一班
指导教师：杨成慧老师
目录
摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
1.引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
2.系统分析与设计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5
2.1系统建模及仿真．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 2.2建立磁悬浮小球系统框图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7
2.3 PID控制系统．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
2.4 仿真结果分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 2.5 总结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13
2.6 答谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13
3.参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14
摘要：
本文通过对一个磁悬浮小球的分析，简单的描述了磁悬浮列车的原理。

控制要求通过调节电流使小球的位置始终保持在平衡位置。

通过对磁悬浮小球系统进行数学建模，求出它的系统传递函数，采用PID算法设计调节器，对小球的稳定性进行了分析和仿真，在MATLAB平台仿真获得适当的PID参数范围，进行频域分析，使得磁悬浮小球系统处在平衡状态，在仿真过程中对PI,PD,及PID三种方式进行了比较和分析，对其加入扰动信号，即正弦扰动信号，观察输出波形，对扰动进行分析。

本文通过对磁悬浮小球系统的分析，体现了MATLAB的强大功能，突出了它在运算以及作图仿真方面的优势。

关键字： MATLAB, PID控制器, 磁悬浮小球系统，稳定性
1.引言
磁悬浮列车的原理并不深奥。

它是运用磁铁“同性相斥，异性相吸”的性质，使磁铁具有抗拒地心引力的能力，即“磁性悬浮”。

将“磁性悬浮”这种原理运用在铁路运输系统上，使列车完全脱离轨道而悬浮行驶，成为“无轮”列车，时速可达几百公里以上。

这就是所谓的“磁悬浮列车”，亦称之为“磁垫车”。

由于磁铁有同性相斥和异性相吸两种形式，故磁悬浮列车也有两种相应的形式：一种是利用磁铁同性相斥原理而设计的电磁运行系统的磁悬浮列车，它利用车上超导体电磁铁形成的磁场与轨道上线圈形成的磁场之间所产生的相斥力，使车体悬浮运行的铁路；另一种则是利用磁铁异性相吸原理而设计的电动力运行系统的磁悬浮列车，它是在车体底部及两侧倒
转向上的顶部安装磁铁，在T形导轨的上方和伸臂部分下方分别设反作用板和感应钢板，控制电磁铁的电流，使电磁铁和导轨间保持10─15毫米的间隙，并使导轨钢板的吸引力与车辆的重力平衡，从而使车体悬浮于车道的导轨面上运行。

磁悬浮列车的产生让人们又多了一种交通方式的选择，磁悬浮列车与当今的高速列车相比具有很多优点：
由于磁悬浮列车是轨道上行驶，导轨与机车之间不存在任何实际的接触，成为“无轮”状态，故其几乎没有轮、轨之间的摩察，时速高达几百公里；
磁悬浮列车可靠性大、维修简便、成本低，其能源消耗仅是汽车的一半、飞机的四分之一；
噪音小，当磁悬浮列车时速达300公里以上时，噪声只有656分贝，仅相当于一个人大声地说话，比汽车驶过的声音还小；
由于它以电为动力，在轨道沿线不会排放废气，无污染，是一种名副其实的绿色交通工具。

PID控制器中文叫比例、微分、积分控制器。

其中P也就是比例，它的作用是将误差放大，作为控制量输出；I积分，它的作用是不断的将误差加起来，也就是考虑了以前时刻的误差量，把这些误差加起来作为控制量输出；D微分，就是考虑连续2个时刻的误差变化，将这个变化作为控制量输出。

PID控制器是在工业领域中常见的控制部件，其把偏差用作新的输入值，改善系统的动态和稳态性能，使被控变量的实际值与工艺要求的预定值基本一致.PID控制器，由比例环节P，积分环节I和微分环节D组成。

其传递函
数为
()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s T s T k s G 2111,通过k,T1,T2三个参数的整定来实现对系统的精确控制。

2.系统分析与设计
2.1、系统建模及仿真（参考材料：物理力学、
电磁学）
磁悬浮小球系统简介：它主要由铁芯、线圈、位置传感器、放大器、控制器和控制对象小球组成，系统开环结构如图所示。

控制要求：调节电流，使小球的位置x 始终保持在
平衡位置。

下面来建立其控制系统传递函数。

忽略小球受到的其它干扰力，则受控对象小球在此系统中只受电磁吸力F 和自身重力mg 。

球在竖直方向的动力学方程可以如下描述：
),()(2
2x i F mg dt t x d m -= _______________________(1)
式中：x ——磁极到小球的气隙，单位m ；m ——小球的质量，单位Kg ；F(i,x)——电磁吸力，单位N ；g ——重力加速度，单位m/s 2。

由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨格尔定律和能量守恒定律，可得电磁吸力为：
2
2
20),(⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=x i AN x i F μ———————————(2)
式中：0μ——空气磁导率，4π*10-7H/m ；A ——铁芯的极面积，单位m 2；N ——电磁铁线圈匝数；x ——小球质心到电磁铁磁极表面的瞬时气隙，单位m ；i ——电磁铁绕组中的瞬时电流，单位A 。

根据基尔霍夫定律，线圈上的电路关系如下：
()()dt t di L
t Ri t U )
(+=——————————（3）
式中：L ——线圈自身的电感，单位H ；i ——电磁铁中通过的瞬时电流，
单位A ；R ——电磁铁的等效电阻，单位Ω。

当小球处于平衡状态时，其加速度为零，即所受合力为零，小球的重力等于小球受到的向上电磁吸力，即：
()2
002
0002
,⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-
==x i AN x i F mg μ__________________(4)
综上所述，描述磁悬浮小球系统的方程可完全由下面方程确定：
),()
(2
2
x i F mg dt t x d
m
-=
2
2
2
0),(⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=x i AN x i F μ
()2
0020002
,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
==x i AN x i F mg μ()()dt t di L
t Ri t U )(+=
以小球位移为输出，电压为输入，可得系统的传递函数为：
3
11233
1
2
)(k k s k s k s k k s G +--=
其中：
2
2
0AN k μ-
=
3
2
12mx ki k =
2
22mx ki k -=
L R k -
=3
设系统参数如下表1所示：
序
号 参数
数量
单位
1 m 28 g
2 R 1
3 Ω 3 L 118 mH
4 x 0 15.
5 mm 5 i 0 1.2 A
6 k 4.587x10-5
Nm 2/A 2
则有：
k k 1 k 2 k 3 4.5877x10-5
1264.5
175032.09
110.17
表1 参数设定
2.2、建立磁悬浮小球系统框图1：
图1 磁悬浮小球系统框图
具体操作：
打开MATLAB软件，在命令窗口中输入simulink，利用sinmulink中模块库中的基本模块，建立系统模型，得到如上图所示的系统框图，经过运行得到仿真图形如图2所示：
图2 未加PID控制器前的仿真图形
从示波器所显示的特性可以看出，此系统是一开环不稳定系统，当有一微小扰动时，小球将偏离平衡位置。

因此，我们需要使用某种方法来控制小球的位置。

下面，我们将使用PID控制器来稳定系统。

2.3、PID控制系统
在做PID控制系统之前，先通过几个例子来了解和区分一下PI,PD,PID 控制器的在系统稳定性中的作用。

首先是一个PI的程序和图形3：
G0=zpk([],[-1,-2],1);
Ti=[0.5,1,3,6,10,15];
kp=3;
for i=1:6;
Gc=tf([kp,kp/Ti(i)],[1 0])
sys=feedback(G0*Gc,1)
step(sys)
hold on
grid on
ylabel('x0(t)')
legend ('Ti=0.5','Ti=1','Ti=3','Ti=6','Ti=10','Ti=15')
title('Kp=3时不同积分常数下的单位响应曲线对比图')
end
图3 PI曲线仿真图
从上图可以看出，PI环节由于累积效应，可以消除余差，改善系统的稳态性能。

PD程序及图形4：
G0=zpk ([],[-1 -2],1);
Td=[0,0.3,0.7,1.5,3,5];
for i=1:6
Gc=tf([3*Td(i),3],1)
sys=feedback(G0*Gc,1)
step(sys)
hold on
grid on
ylabel('x0(t)')
legend('Td=0','Td=0.3','Td=0.7','Td=1.5','Td=3','Td=5')
title('Kp=3时不同微分常数下的单位响应曲线对比图')
end
图4 PD曲线仿真图
PD环节具有超前调节作用，可以使系统的快速性得以提高，提高系统
的动态性能。

PID程序及仿真图形5如下：
kp=100;
Ti=0.8;
Td=1;
G=tf(1,[1 1 1 2]);
for i=1:length(Td);
Gc=tf(kp*[Ti*Td(i),Ti 1]/Ti,[0 1]);
sys=feedback(Gc*G,1);
step(sys)
hold on
grid on
ylabel('x0(t)')
axis([0,1,0,1.2])
title('Kp=100,Ti=0.8,Td=1时单位响应曲线') end
图5 PID曲线仿真图
PID控制器对于系统来说，有很大的改善作用，不仅影响系统的动态性能，也能改善系统的稳态性能。

从上图可以看出，系统已经稳定。

下面就利用PID来改善磁悬浮小球控制系统的性能。

利用MATLAB设计具有PID控制器的磁悬浮小球控制系统，其控制系统简图如图6所示。

输入输出
PID G(s)
-
图6 加入PID控制器系统框图
根据开环传递函数建立步骤，在Matlab中的Simulink环境下，建立系统的控制总方框图，如图7所示。

其中传感器的输出电压与小球位移的关系为U=1178*X，X的单位为米，U的单位为伏。

控制电压与功放电压的关系为
U p=2*U c，单位都是为伏。

图7 系统总框图
调整PID参数，观察系统瞬态响应和稳态响应的变化；如K P=1，K I=0.05，
K D=8，其仿真结果如图8所示。

图8 仿真结果图
在以上PID控制下，给稳定系统加入正弦扰动信号，仿真框图如图9所示。

图9 加入正弦干扰信号后的系统框图
运行仿真，双击示波器，输出结果如图10所示。

可以看出系统基本能保持稳定，但出现了震荡过程。

图10 加入正弦干扰信号后的仿真图形
2.4仿真结果分析
在系统未加PID控制后，如图2所示，系统开环不稳定，当有一微小扰动时，小球将偏离平衡位置；在系统加入PID控制后，设置其参数，如图8所示，系统的各项性能指标都得到了提高，最终到达稳定,从而实现了对磁悬浮小球系统稳定性控制的目的。

2.5总结
积分环节由于累积效应，可以消除余差，改善系统的稳态性能；微分环节具有超前调节作用，可以使系统的快速性得以提高，提高系统的动态性能。

最为理想的控制当属比例—积分—微分控制。

既有比例的及时迅速，又有积分作用的消除余差能力，还有微分作用的超前控制功能。

在PID控制的作用下，系统的各项性能指标都得到了显著的提高。

只要参数选择得当，便可充
分发挥三种控制规律的优点，得到较为理性的控制效果。

2.6 答谢
感谢本学期杨老师悉心的教导，通过这一学期的学习，我从对MATLAB 一无所知到期末可以拿出一份像样的论文设计，得到了很大提升。

参考文献：
（1）陈执平.大学物理简明教程.化学工业出版社
（2)胡寿松.自动控制原理简明教程第二版.科学出版社
(3）肖田元，范文慧.中国仿真科学与技术书系.连续系统建模与仿真.电子工业出版社
（4）汪小帆李翔译.自动控制系统第8版.高等教育出版社。