蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第4章 消费者行为)

蒋殿春《高级微观经济学》

第4章消费者行为

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1．如果消费者的偏好满足4.1节中所述公理，证明任两条无差异曲线不可能相交。

证明：运用反证法，假设两条无差异曲线相交于A点，如图4-1所示。

图4-1

由无差异曲线的定义和三点（消费组合）在图中的位置，可得：~

A B，但C B。

A C，~

由传递性公理，必然有A A，与事实相矛盾，所以任两条无差异曲线不可能相交。

2．有一个钱币收藏家，同时还是一个投机者，他会根据钱币的市场价格买进或者卖出一些钱币；假设他现在处于均衡状态，即是说目前的市价下他不想买进也不想卖出。证明：无论钱币市场上钱币的价格上涨还是下跌，这个人的效用水平总会增加。

**处达到均衡，其中M指钱币数量，X 证明：如图4-2所示，假设现在收藏家在()

M X

,

是所有其他消费品的支出。

图4-2

在图4-2中，预算线与一条无差异曲线I *相切。如果M p 上升，M X p p 增大，预算约束线较以前陡峭，但它必然还通过(),M X **，因为坐标满足预算线方程M X M X Mp Xp M p X p **+=+。

因此，新预算线必然与无差异曲线I *交于两点。在这两点之间，必然能找到另一点(),M X ''，在这点处，预算线相切于一条更高的无差异曲线I '。

同理可以证明M p 下跌时，预算约束线更平坦，但同样通过点(),M X **，个体可以达到一条较I *更高的无差异曲线（新均衡点将在(),M X **的右下方）。

3．一个消费者的效用函数为

()1212,,,0,0u x x Ax x A αβ

αβ=>>

该消费者的效用函数又可以写为下列哪种函数形式？ （a ）()1212,ln ln u x x x x αβ=+；

（b ）()()()

121

2,u x x x x ααββ

αβ++=；

（c ）()121

2,u x x x x A αβαβ=++。 解：在正单调变换()ln v u A =时，原效用函数可变为（a ）的形式；

在正单调变换()1v uw αβ+=时，原效用函数可变为（b ）的形式；

由于效用函数在正单调变换下不改变原来的偏好性质，所以（a ）和（b ）都是原来效用函数的等价形式；而（c ）则不是。

4．推导上一问题中消费者的

（1）马歇尔需求函数和间接效用函数； （2）希克斯需求函数和支出函数；

（3）比较马歇尔需求和希克斯需求曲线的斜率； （4）验证Roy 等式； （5）验证对偶性定理。

解：取效用函数的等价形式()1212,ln ln u x x x x αβ=+，并且假设1αβ+=。 （1）考虑效用最大化问题：

()12

12,max ln ln x x x x αβ+

..s t 1122p x p x m +=

构造拉格朗日函数为：

()()121122ln ln L x x p x p x m αβλ=+-+-

效用最大化的一阶必要条件为：

111

0L p x x α

λ∂=-=∂ 222

0L p x x β

λ∂=-=∂ ()11220L

m p x p x λ

∂=-+=∂ 联立方程求解得：()1m λαβ=+=，11

m x p α=

，22

m x p β=

，此即为马歇尔需求函数；

相应的间接效用函数为()1

2,ln ln v p m m p p αβ

=-()1αβ+=。 （2）考虑支出最小化问题：

()12

1122,min x x p x p x +

..s t 12ln ln x x u αβ+=

构造拉格朗日函数：()()112212ln ln L p x p x x x u λαβ=+-+- 由支出最小化的一阶条件解得：

12u p p e β

α

λαβ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，21111u p h x e p p β

αλαβ*⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12222u p h x e p p α

βλβα*⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 这就是希克斯需求函数。

支出函数为()1212,,u p p e p p u e β

α

λαβ⎛⎫

⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

（3）以商品1为例，在()11,x p 平面内，两条需求曲线相交处满足：

211u p m

e p p β

ααβ⎛⎫= ⎪⎝⎭

在该点两条需求曲线的斜率分别为：

()12

1

1,x p m m

p p α∂=-

∂，

()121

11,1u

h p m p e p p p β

αββ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭

利用交点条件，显然二者存在关系

()()111

1

,,h p u x p m p p β

∂∂=∂∂。

二者都为负数，且1β<，这意味着在()11,x p 坐标平面中希克斯需求曲线较马歇尔需求曲线陡峭。

（4）由（1）知()1

2,ln ln v p m m p p αβ

=-，所以： ()1

1

,v p m p p α

∂=-

∂，

(),1

v p m m

m

∂=

∂ 因此，()()111

,,v p m p m

x v p m m

p α∂-=

=∂∂。

（5）利用关系1αβ+=，可验证：

()()(),21111

,,,v p m p m

h p v p m e x p m p p β

ααβ⎛⎫===⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 同理，可验证其他恒等式。

5．考虑效用函数

()()

()()123112233,,,,,0u x x x x b x b x b α

βγ

αβγ

=--->

首先解释为什么我们可以假设1αβγ++=，保持这个假设，解答以下问题： （1）推导希克斯需求和支出函数，验证它们满足4.3.1和4.3.2节陈述的性质； （2）验证Slutsky 方程；

（3）验证希克斯需求的自价格效应为负，交叉价格效应是对称的。 解：（1）在正单调变换()1v u αβγ++=下，原效用函数变为：

()

()

()

()

()

)

112233v x b x b x b ααβγβ

αβγγαβγ++++++=---

由于效用函数在正单调变换下不改变原来的偏好性质，上式是原效用函数的等价形式，所以1αβγ++=。

将,,αβγ分别记为123,,a a a ，并选用另一等价的效用函数形式：

()3

1

ln i i i i v a x b ==-∑，其中3

1

1i i a ==∑

希克斯需求是支出最小化问题的解，于是有：

min i i p x ∑