第12章 动能定理

2
M1

2
M1
F Fx i Fy j Fz k 在直角坐标系中 dr dxi dyj dzk
W12
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M2
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz )
§12.1 力的功 3. 重力的功
① 质点重力在直角坐标轴上的投影为Fx Fy 0, FZ mg 则质点沿轨迹由M1运动到M2时，重力做功
4. 不计滚动摩阻时，纯滚动接触点属理想约束。
例12.1 已知冲击试验机摆锤质量18kg，重心到转轴距离840mm， 0 杆重不计，将摆锤升高到摆角 1 70 的地方后释放，冲断试件后摆锤上升的摆角2 290 求：冲断试件需要的能量。 解：1）设摆锤冲击试件前动能为T1；冲断试件后动能为T2。 2）摆锤下落过程中，初动能为零，末动能为T1，重力作正功， 据动能定理有 T1 0 mgl (1 cos 1 ) ，解得 T1 97.5J 3）摆锤上升过程中，初动能为T2，末动能为零，重力作负功， 据动能定理有 0 T2 mgl (1 cos 2 ) ，解得 T2 18.58J 4）冲断试件需要的能量Wk等于摆锤在冲断试件时损失的动能， 即 Wk T2 T1 78.92 J 5）设试件的最小横截面积为A，则有 k Wk / A 称为材料的冲击韧度，是衡量材料抵抗冲击能力的一个指标。
1 2 质点质量m，速度 v ，则质点的动能为 mv 2 标量，恒正值，单位：J
T
2.
1 2 m v 质点系的动能 ii 2 等于质点系内各质点动能的算术和。
3. 平动刚体的动能 1 2 T mvC 平动刚体内各点速度都相同，
2
4. 绕定轴z转动刚体的动能
任一点mi的速度 vi ri
Fi 力在点Mi位移上做的元功 Wi Fi dri Fi drC Fi driC
刚体微小转角为dφ，则转动位移 driC MiC ，大小为 MiC d Fi driC Fi cos MiC d MC (Fi )d
θ为力 Fi 与转动位移 driC 间的夹角，MC (Fi ) 为力 Fi 对质心C的矩。
1 mv dv d( mv 2 ), F dr W 2
1 2 d( mv ) W 2 1 1 mv2 2 mv12 W12 2 2
微分式
积分式
质点动能微增量等于作用在质点上力的元功。
质点在某一运动过程中，动能改变量等于作 用于质点的力做的功。
§12.3 动能定理
W12 与质心运动路径无关，只与质心始末 ③ 结论： 高度差 ( zC1 zC 2 ) 有关。 质心下降，重力做正功；质心上升，重力做负功。
§12.1 力的功 4. 弹性力的功p284
① 弹性力：指弹簧对其他物体作用的力。 ② 弹性力大小：F=kδ δ为变形量； k为刚性系数/刚度系数/弹簧恢复系数，N/mm或N/m ③ 弹性力方向：总指向弹簧无变形的自然位置。 如图，受压弹簧弹性力 F 作用点A的轨迹曲线为A1A2。 设O为原点，点A矢径为 r ，沿 r 方向的单位矢量为 er 弹簧的自然长度l0，则变形量δ =r-l0 ，弹性力 F k (r l0 )er ④ 弹性力的功 k 2 2
表明机器对输入功率的有效利用程度。
一般情况下η<1，多级传动系统
n 1 2
§12.5 势力场·势能·机械能守恒定律
1. 势力场
场：即空间，可由位置向量、坐标表示。
力场：由位置确定的力空间 F F x, y, z ，如重力场、太阳引力场。
场力：物体在力场中所受到的力，如重力、引力。
W12
2
(1 2 )
§12.1 力的功 4. 弹性力的功p284
证明：
r 1 1 1 2 er dr dr d(r r ) d(r ) 2r dr dr r 2r 2r 2r
A2 A2 A1 A1
W12 F dr k (r l0 )er dr
C1 C2
2
1
§12.1 力的功 6. 平面运动刚体上力系的功
drC M C d W12 FR
C1 C2
2
1
1) 对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2) 基点可以不是质心，而是刚体上任意一点；
3) 计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。
§12.2 质点和质点系的动能 1. 质点的动能
1 1 1 2 1 2 2 2 T J P ( J C md ) mvC J C 2 2 2 2 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移动能与绕质心转动动能之和。 以上结论也适用于刚体的任意运动。
§12.3 动能定理
1. 质点的动能定理 据质点运动微分方程
m
dv F ，两边点乘 vdt dr ，得 mv dv F dr dt
dt
或
P输入
dT P有用 P无用 dt
功率方程可方便地求解系统的加速度、建立系统的运动微分方程。 但因其中不含理想约束的约束力，故不能求解约束力。 例12.7 p303
§12.4 功率·功率方程·机械效率
3. 机械效率 dT P P 有效功率 有效 有用
dt
P有效 机械效率 P输入
F dx F dy F dz
x y z
零势能点（M0）：势能等于零的点。 可任意选取。但对于不同的零势能点，同一位置的势能数值不同。 对于重力、弹力系统，以其静平衡位置为零势能点较简便。 1）重力场中的势能 以铅垂轴为z轴。质点在z处的势能V等于重力mg由z到z0处所做的功。
V mgdz mg z z0
dri 为力 Fi 作用点Mi的微小位移； drC 为质心的微小位移； driC为点相对质心C转动的微小位移。 Fi 力在点Mi位移上做的元功 Wi Fi dri Fi drC Fi driC
刚体微小转角为dφ，则转动位移 driC MiC ，大小为 MiC d
§12.1 力的功 6. 平面运动刚体上力系的功 证明：
Z Z0
§12.5 势力场·势能·机械能守恒定律
2. 势能V
2）弹性力场中的势能 设弹簧一端固定，另一端与物体连接；以变形量为δ0处为参考点， 则变形量为δ处的弹性势能 r0 k 2 V F d r 02 r 2 k 2 若取自然位置为零势能点δ0=0，则 V 2 3）质点系的势能
作用在转动刚体上的力的功率。
§12.4 功率·功率方程·机械效率
2. 功率方程 取质点系动能定理的微分式，两端除以dt，得功率方程
Wi dT Pi dt dt
即质点系动能对时间的变化率，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。 一般地， dT P 无用 输入 P 输出 ， P 输出 =P 有用 P
W12 mgdz mg ( z1 z2 )
z1
z2
② 质点系中，质点mi运动始末的高度差为 ( zi1 zi 2 ) 则全部质点重力做功为
其中质心坐标公式
W
12
g mi ( zi1 zi 2 ) mg ( zC1 zC 2 ) mgh
mzC mi zi
r2 r1
k k (r l0 )dr [(r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 2
k 2 (1 2 2 ) 2
⑤ 结论：W12与力作用点的路径无关，只与弹簧始末位置的变形量δ有关。 变形量减小δ1>δ2时，弹性力做正功；δ1<δ2时，弹性力做负功。
§12.1 力的功 5. 定轴转动刚体上作用力的功
§12.1 力的功 6. 平面运动刚体上力系的功
等于刚体上所受各力做功的代数和，又等于力系向质心 简化所得的主矢与力偶做功之和。
drC M C d W12 FR
C1 C2
2
1
证明：取刚体质心C为基点，由 vi vC viC 两边乘以dt，有 dri drC driC
§12.3 动能定理
§12.4 功率·功率方程·机械效率
1. 功率：单位时间力所做的功 P
W
dt 单位：W(瓦特)或KW，（1W=1J/s） W F· dr F dr P F v F v 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 dt
又 W =M zd
M z d P M z dt
2. 质点系的动能定理
1 d ( mi vi 2 ) Wi 2
1 2 d ( m v 2 i i ) Wi
质点动能定理的微分式
d T Wi
微分式 质点系动能微增量等于作用于质点系全部力所做元功之和 积分式 质点系在某一运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所做功的和。
F Fz Fn F
其中Fz , Fn 做功为0，ds=Rdφ，M z F R
力F 的元功 W F dr F ds F Rd M zd
刚体从φ1转到φ2过程中，力做的功 W12 M z d
1 2
若刚体上作用一力偶，则力偶做的功仍可用上式计算，其中 Mz为力偶对z轴之矩，也等于力偶矩矢 M 在z轴上的投影。
1 1 1 2 1 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri J z 2 2 2 2 2
§12.2 质点和质点系的动能 5. 平面运动刚体的动能 刚体质心C，速度瞬心P，转动角速度ω，vC d 据转动惯量的平行轴定理有 J P JC md 2
T2 T1 Wi
§12.3 动能定理
3. 理想约束及内力做功
理想约束：约束力做功等于零的约束。由于在约束力方向上无位移。
如：光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索、固定端。
• 对理想约束，在动能定理中只计入主动力所做的功。
• 质点系内力做功之和不一定等于零。
如：发动机的汽缸内膨胀的气体对活塞和汽缸的作用力都是
势力场或保守力场：物体在力场内运动，作用于物体的场力所做的功
只与其始末位置有关，而与路径无关。如重力场、万有引力场。
有势力或保守力：在势力场中，物体受到的力。如重力、弹性力。
§12.5 势力场·势能·机械能守恒定律
2. 势能V 等于质点从M点运动到M0点，有势力所做的功。故势能是相对的。
V
M0 M
内力，但内力功使汽车动能增加。
§12.3 动能定理
注意：
1. 在应用质点系动能定理时，要根据具体情况仔细分析所有
作用力是否做功。
2. 一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，作负功，
不属理想约束，应用动能定理时要记入摩擦力的功。
3. 当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦
力作用点没动，此时的滑动摩擦力不做功。
§12.1 力的功 2. 变力在曲线运动中的功
质点M在变力 F 作用下沿曲线运动，假设： ① 力 F 在无限小位移 d r 中视为常力； ② 经过的弧长ds视为直线； ③ d r 视为曲线在M点的切线。 则力在位移ds中做的元功 W F cos ds F dr 力在全路程上做的功 W12 M W M F· dr
第12章 动能定理 动能定理从能量角度分析质点和质点系的动力学问题。它还可以建立 机械运动与其他运动形式之间的联系。 §12.1 力的功 1. 常力在直线运动中的功 已知：常力 F ，直线路程s，F 与s的夹角θ。 则功 W F cos s F s 矢量点乘是代数量 单位：J（焦耳），1J＝1Nm。 讨论：θ=0,90,180
力系全部力所作元功之和 W Wi Fi drC M C ( Fi )d
drC M C d FR
为力系主矢，Mc为力系对质心的主矩。 FR
刚体质心由C1～C2，转角由φ1～φ2时，力系做功
drC M C d W12 FR