最新高三数学专项训练-高三数学新题型汇编

高三数学新题型汇编（一）
1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;
（Ⅱ）证明:()(0,0,)22
n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；
（Ⅲ）定理:若
123,,k
a a a a 均为正数,则有
123123(
)n n n
n
n k k
a a a a a a a a k
k
+++
++++
+≥ 成立
(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明： 当1231,,,
,,k k a a a a a +均为正数时，
1231
1231
(
)1
1
n n n
n n k k a a a a a a a a k k +++++
++++
+≥++． 解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x
x a --=+∴=+∴= (2)
分
当0x a ≤≤时，2x x a <+'()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．
当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为
()0f a = (4)
分
（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥ 故 ()(0,0,)22
n n n
a b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分
（Ⅲ）证明:要证：
1231
1231
(
)1
1
n n n
n n k k a a a a a a a a k k +++++
++++
+≥++
只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -++++++
+≥+++
+
设()g x =1123123(1)()()n n n n n n k a a a x a a a x -++++
+-++++…………………7分
则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++
令'()0g x =得12k
a a a x k
++
+= (8)
分 当0x ≤≤
12k
a a a k
++
+时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++
++
≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++
++=
故12()[0,
]k
a a a g x k
++
+在上递减，类似地可证12()(
,)
k
a a a g x k
++
++∞在递增
所以12()k
a a a x g x k
++
+=当时，的最小值为12(
)k
a a a g k
++
+ (10)
分 而11212121212()(1)[(
)]()n n n n n n
k
k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k
-++
+++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n
n n k k k n
k k a a a a a a k a a a k
-++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n n
k k n k k a a a k a a a k -++++-+++=1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k
---++++-+++
由定理知:11212()()0n n n n n k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0k a a a g k
+++≥
1211[0,)()()0k
k k a a a a g a g k
+++++∈+∞∴≥≥
故112311231(1)()()n n n n n
n k k k a a a a a a a a -++++++
+≥+++
+
即:
1231
1231
(
)1
1
n n n
n n k k a a a a a a a a k k +++++++++
+≥++.…………………………..14分
2、用类比推理的方法填表
答案：5354321b b b b b b =••••
3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：
（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于
A ．n
B ．n +1
C ．n -1
D ．2n 答案：D
4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则
17
)14(=f ;记
=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____
答案：5
5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求二面角E-SC-D 的大小； （3）求点D 到面SEC 的距离。

（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分
证明：,,AD SA AB SA ⊥⊥ 且AB 、AD 是面ABCD 内的交线∴SA ⊥底面ABCD ……………………5分
（2）分别取SC 、SD 的中点G 、F ，连GE 、
GF 、FA ，
a
a
a
a
a
a
a 2a
2a
S
A
D
F G
则GF//EA,GF=EA,∴AF//EG 而由SA ⊥面ABCD 得SA ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，∴CD ⊥面SAD ，AF CD ⊥∴ 又SA=AD,F 是中点，SD AF ⊥∴
⊥∴AF 面SCD,EG ⊥面SCD,⊥∴SEC 面面SCD
所以二面角E-SC-D 的大小为90 …………10分
(3)作DH ⊥SC 于H ，
面SEC ⊥面SCD,∴DH ⊥面SEC,
∴DH 之长即为点D 到面SEC 的距离，12分 在Rt ∆SCD 中，a a
a a SC
DC SD DH 3632=⋅=
⋅=
答：点D 到面SEC 的距离为a 3
6………………………14分
6、一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113
a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，
再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数。

试问： （1） 从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？ （2） 从A 口输入100时，从B 口得到什么数？并说明理由。

解（1）2111515a a =⨯÷=
3213735
a a =⨯÷=
（2）先用累乖法得*1
()(21)(21)
n a n N n n =
∈-+
得10011
(21001)(21001)39999
a =
=⨯-⨯+
7、在△ABC 中，),(),0,2(),0,2(y x A C B -，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号1C 、2C 、3C 填入） 答案：213C C C
8、已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.
填写下列)]([x f g 的表格,其三个
数依次为
A.3,1,2B .2,1,3C. 1,2,3
D. 3,2,1 答案：D
9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下： 当a b ≥时，a b a ⊕=； 当a b <时，a b b ⊕=2。

则函数[]()f x x x x x ()()()=⊕-⊕∈-1222·，的最大值等于（C ） （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. -1 B. 1 C. 6
D. 12
10、已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-12
1，
[]1
2
0=，则[]-=3_____________；使[]x -=13成立的x 的取值范围是_____________答案：2
11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：
（I ）首先选取如下函数：
y x =+21，y x
x =
+21
，y x =-+1 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：
y x =+21与其反函数y x =
-1
2
的交点坐标为（－1，－1） y x x =
+21与其反函数y x
x
=-2的交点坐标为（0，0），（1，1） y x =-+1与其反函数y x x =-≤210，()的交点坐标为
（
15215
2
--，），（－1，0），（0，－1） （II ）观察分析上述结果得到研究结论； （III ）对得到的结论进行证明。

现在，请你完成（II ）和（III ）。

解：（II ）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y ＝x 上 2分
（III ）证明：设点（a ，b ）是f x ()的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则点（b ，a ）也是f x ()的图象与其反函数图象的交点，且有
b f a a f b ==()()，
若a ＝b 时，交点显然在直线y x =上
若a<b 且f x ()是增函数时，有f b f a ()()<，从而有b<a ，矛盾；若b<a 且f x ()是增函数时，有f a f b ()()<，从而有a<b ，矛盾 若a<b 且f x ()是减函数，有f b f a ()()<，从而a<b 成立，此时交点不在直线y ＝x 上；同理，b<a 且f x ()是减函数时，交点也不在直线
y ＝x 上。

综上所述，如果函数f x ()是增函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y x =上；
如果函数f x ()是减函数，并且f x ()的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y ＝x 上。

14分
12、设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程
)(x f 0=-x 有实数根；②
函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f .” （I ）判断函数4
sin 2)(x
x
x f +
=是否是集合M 中的元素，并说明理由；
（II ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意
[m ，n]⊆D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式
)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”，
试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根；
（III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中
任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x 时且当.
解：（1）因为x x f cos 4
12
1)(+='，…………2分 所以]4
3,41[)(∈'x f 满足条件,1)(0<'<x f ………………3分 又因为当0=x 时，0)0(=f ，所以方程0)(=-x x f 有实数根0.
所以函数4
sin 2
)(x
x
x f +
=是集合M 中的元素.…………4分
（2）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根βαβα≠(,），
则0)(,0)(=-=-ββααf f ，………5分 不妨设βα<，根据题意存在
数),,(βα∈c 使得等式)()()()(c f f f f '-=-αβαβ成立，……………………7分 因为βαββαα≠==且,)(,)(f f ，所以1)(='c f ，
与已知1)(0<'<x f 矛盾，所以方程0)(=-x x f 只有一个实数
根；…………9分
（3）不妨设32x x <，因为,0)(>'x f 所以)(x f 为增函数，所以
)()(32x f x f <，
又因为01)(<-'x f ，所以函数x x f -)(为减函数，………………10分 所以3322)()(x x f x x f ->-，…………11分
所以2323)()(0x x x f x f -<-<，即|,||)()(|2323x x x f x f -<- (12)
分
所以.2||||)(||||)()(|121312132323<-+-≤---=-<-x x x x x x x x x x x f x f
…………………………13分
13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，
使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为和. 答案：9，12.
14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是
边长
为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S, D,A,Q 及P ,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来， 使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要个这样的
几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。

答案：3
15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比．．为2
1
()1f x x =+． （Ⅰ）试解释(0)f 的实际意义；
（Ⅱ）现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．
答案：解：（I ）f （0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇
（Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后．残留的农药量为W 1=1×f （a ）
=
2
11
a +；……………………………………………………………………4＇ 又如果用2a 单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f （2
a
）
=2)
2
(11a +，
此后再用2
a
单位量的水清洗1次后，残留的农药量为
W 2=2)2
(11
a +·f （2a ）
=[
2
1
a ]2=
22)4(16a +．……………………………8＇ －
故当a >22时，W 1>W 2，此时，把a 单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a =22时，W 1=W 2，此时，两种清洗方式效果相同；当a <22时，W 1<W 2，此时，把a 单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．…………………………12＇
16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N*)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数。

下列函数：
① f(x)=sinx ； ②f(x)=π(x －1)2+3； ③;)3
1
()(x x f =④x x f 6.0log )(=， 其中是一阶格点函数的有. 答案：①②④
17、一水池有2个进水口,1个出水口,一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,
该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量
甲 乙 丙 （1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不
出水。

则一定不确定的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上)。

答案：（2）（3）
18、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .
(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列；
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证 (Ⅰ)∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．
由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，
∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－1
2
.
∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝1
4
a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，
a m ＋1成等差数列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m
＋2，S
m ＋1成等差数列.
设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．
由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－1
2
.
当q ＝1时，A ≠0，∴S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列.
逆命题为假.
19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按
的数
的基
础要降低的百分比分别为
( B )
A ．25% , 27.5%
B ．62.5% , 57.9%
C ．25% , 57.9%
D ．62.5%,42.1%
20、一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且
b ＜
c ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________．
答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba ，共有2
10C ＝45，另一类是abc ，a ≠c ，共有23
10C ＝240，故共有45+240＝285个
21、定义运算
c a bc a
d d
b -=，若复数i i
x +-=
32，i i y +=14i
x xi +-3，则=y 。

答
案：-4
22、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法。

在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+⋅+⋅=⋅，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立。

试根据上述思想化简下列式子：
1122m m m k m k
n k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+
+⋅=。

(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈。

答案：m n k C + 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n k +个球（n 个白球，k 个黑球）中取出m 个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k 个黑球等()1k +类，故有m n k C +种取法。

23、定义运算x ※y=⎩⎨⎧>≤)
()
(y x y y x x ，若|m －1|※m=|m －1|，则m 的取值
范围是2
1≥m
24、在公差为)0(≠d d 的等差数列{}n a 中，若n S 是{}n a 的前n 项和，则数列304020301020,,S S S S S S ---也成等差数列，且公差为d 100，类比上述结论，相应地在公比为)1(≠q q 的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前
n 项积，则有＝
10030
40
20301020,,,q T T T T T T 且公比为也成等比数列 。

25、考察下列一组不等式：
2
2
12
122
52
533442
233525252525252525252⋅+⋅>+⋅+⋅>+⋅+⋅>+ 将上述不等式在
左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为
()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m
26、对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。

现已知63*2,42*1==，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x m x =*，则=m 5 。

27、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的
最大整数”。

在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。

这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么
]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =__________________
_8204
28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。

05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：
媒体A ：“……, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万
欧元。

”
媒体B ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同
时增加了不少附加条件。

”
媒体C ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。

”
请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体 C （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。

29、已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式
()()21x f x f >成立。

设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）试构造一个数列{}n b ，（写出{}n b 的一个通项公式）满足：对任意的正整数n 都有n n a b <，且2lim
=∞
→n
n
n b a ，并说明理由； （3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数。

令n
n a a
c -=1（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数。

解：（1）∵()0≤x f 的解集有且只有一个元素，∴
40042==⇒=-=∆a a a a 或，
当0=a 时，函数()2x x f =在()+∞,0上递增，故不存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

当4=a 时，函数()442+-=x x x f 在()2,0上递减，故存在
210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

综上，得4=a ，()442+-=x x x f ，∴442+-=n n S n ， ∴
（2）要使2lim
=∞
→n
n
n b a ，可构造数列k n b n -=，∵对任意的正整数n 都有n n a b <，
∴当2≥n 时，52-<-n k n 恒成立，即k n ->5恒成立，即
325>⇒<-k k ，
又0≠n b ，∴*N k ∉，∴2
3
-=n b n ，等等。

（3）解法一：由题设⎪⎩⎪⎨
⎧≥--=-=2,5
2411
,3n n n c n ，
∵3≥n 时，()()
032528
3245241>--=---=
-+n n n n c c n n ，∴3≥n 时，数列{}n c 递增，
∵03
1
4<-=a ，由505
24
1≥⇒>--
n n ，
可知054<⋅a a ，即3≥n 时，有且只有1个变号数；
又∵3,5,3321-==-=c c c ，即0,03221<⋅<⋅c c c c ，∴此处变号数有
2个。

综上得 数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。

解法二：由题设⎪⎩⎪⎨
⎧≥--=-=2,5
2411
,3n n n c n ， 2≥n 时，令
422
9
27252303272529201==⇒<<<<⇒<--⋅--⇒
<⋅+n n n n n n n n c c n n 或或； 又∵5,321=-=c c ，∴1=n 时也有021<⋅c c 。

综上得 数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。

30、在R 上定义运算△：x △y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任
意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是)2
3,21(- 。

31、已知x y 、之间满足()22
2104x y b b
+=>
（1）方程()222104x y b b +=>表示的曲线经过一点12⎫
⎪⎭，，求b 的值 （2）动点(x ,y )在曲线1422
2=+b
y x (b >0)上变化，求x 2+2y 的最大值；
（3）由()22
2104x y b b
+=>能否确定一个函数关系式()y f x =，如能，求
解析式；如不能，再加什么条件就可使x y 、之间建立函数关系，并求出解析式。

解：（1
()21
1014b b b
+=>∴=（4分） （2）根据()222104x y b b +=>得22
241y x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（5分）
()2
222
2
2242412444y b b x y y y b y b b b ⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--++-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭（7
分）
()2
2max 4224
4
b b b x y b ≥≥+=+当时，即时()222
max 424
44
b b b b x y ≤≤≤+=+当时，即0时()
()
()22max
24424044
b b x y b
b ⎧+≥⎪∴+=⎨+≤<⎪⎩，，
（10分） （2）不能
（11分）
如再加条件xy 0<就可使x y 、之间建立函数关系 （12分）
解析式(
)
()x 00y x ⎧>⎪⎪
=< （14
分）
（不唯一，也可其它答案）
32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。

随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一
次的
()
*1
N k k
∈。

已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的7
4
，请从这个实事中提炼
出一个不等式组是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++<+1747474174742k
k k。

33、已知{}N x x x P ∈≤≤=,91，记()cd ab d c b a f -=,,,，（其中P d c b a ∈,,,），例如：()=4,3,2,1f
104321-=⨯-⨯=。

设P y x v u ∈,,,，且满足()()66,,,39,,,==v x y u f y x v u f 和，
则有序数组()y x v u ,,,
是 ()9,1,6,8 。

()()()()⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎩⎨⎧=+=-=-=+⇒⎩⎨
⎧
=+-=-+15,73,910527
v y x u v y x u v y x u v y x u
34、（12′=9′+3′）（理）设P 表示幂函数652
+-=c c x y 在()+∞,0上是增函
数的c 的集合；Q 表示不等式 121>-+-c x x 对任意R x ∈恒成立的c 的集合。

（1）求Q P ⋂；（2）试写出一个解集为Q P ⋂的不等式。

（文）设P 表示幂函数8
62+-=c c x
y 在()+∞,0上是增函数的c 的集合；Q
表示不等式c x x ≥-+-41对任意R x ∈恒成立的c 的集合。

（1）求Q P ⋃；
（2）试写出一个解集为Q P ⋃的不等式。

解：（理）（1）∵幂函数652
+-=c c x y 在()+∞,0上是增函数，∴0652>+-c c ，
即()()+∞⋃∞-=,32,P ，
又不等式121>-+-c x x 对任意R x ∈恒成立，∴
112>-c ，即()()+∞⋃∞-=,10,Q ，
∴()()()+∞⋃⋃∞-=⋂,32,10,Q P 。

（2）一个解集为Q P ⋂的不等式可以是
()()()0321>---x x x x 。

（文）（1）∵幂函数862
+-=c c x y 在()+∞,0上是增函数，∴0862>+-c c ，
即()()+∞⋃∞-=,42,P ，
又不等式c x x ≥-+-41对任意R x ∈恒成立，∴3≤c ，即(]3,∞-=Q ， ∴(]()+∞⋃∞-=⋃,43,Q P 。

（2）一个解集为Q P ⋃的不等式可以是 04
3
≥--x x 。

35、（理）已知()()a x x x a x f ,2,2,2
132-∈-=为正常数。

（1）可以证明：定理“若a 、+∈R b ，则
ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若()0>x f 在()2,0上恒成立，且函数()x f 的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测()x f y =的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数a ，设1x x =时，()x f 取得最大值。

试构造一个定义在{}N k k x x x D ∈-≠->=,24,2且上的函数
()x g ，使当()2,2-∈x 时，()()x f x g =，当D x ∈时，()x g 取得最大值
的自变量的值构成以1x 为首项的等差数列。

解：（1）若a 、b 、+∈R c ，则3
3
abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）。

（2）()02
12
12232>⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=-=x a x x x a x f 在()2,0上恒成立，
即222
1x a >在()2,0上恒成立，
∵()2,02
12∈x ，∴22≥a ，即2≥a ， 又∵
()[]323
22222222222
32321212121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a x a x a x x a x a x x f ∴2222
1x a x -=，即a x 3
6
=
时， 26
2646362919623
33max >⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==>⇒>=
a a a f ， 又∵a x 3
6
=
()2,0∈，∴()
6,0∈a 。

综上，得[
)
6,2∈
a 。

易知，()x f 是奇函数，∵a x 3
6
=
时，函数有最大值，∴a x 3
6
-
=时，函数有最小值。

故猜测：⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈2,3636,2a a x 时，()x f 单调递减；⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈a a x 36,3
6时，()x f 单调递增。

（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。

如对()N k k k x ∈+-∈,24,24，()2,24-∈-k x ，此时
()()()k x f k x g x g 44-=-=，
即 ()()()()N k k k x k x k x a x g ∈+-∈---=,24,24,42
1
432 。

（文）已知函数()x b b ax x f 22242-+-=，()()21a x x g ---=，()R b a ∈, （Ⅰ）当0=b 时，若()x f 在[)+∞,2上单调递增，求a 的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对()b a ,：当a 是整数时，存在0x ，使得()0x f 是()x f 的最大值，()0x g 是()x g 的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对()b a ,，试构造一个定义在
{2|->=x x D ，且}N k k x ∈-≠,22上的函数()x h ，使当()0,2-∈x 时，()()x f x h =，当D x ∈时，()x h 取得最大值的自变量的值构成以0x 为首项
的等差数列。

解：（Ⅰ）当0=b 时，()x ax x f 42-=，
若0=a ，()x x f 4-=，则()x f 在[)+∞,2上单调递减，不符题意。

故0≠a ，要使()x f 在[)+∞,2上单调递增，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>2240a
a
，∴
1≥a 。

（Ⅱ）若0=a ，()x b b x f 2242-+-=，则()x f 无最大值，故0≠a ，∴()x f 为二次函数，
要使()x f 有最大值，必须满足⎩
⎨⎧
≥-+<02402
b b a ，即0<a 且5151+≤≤-b ，
此时，a
b b x x 2
024-+=
=时，()x f 有最大值。

又()x g 取最小值时，a x x ==0，依题意，有
Z a a
b b ∈=-+2
24，则()2221524--=-+=b b b a ，
∵0<a 且5151+≤≤-b ，∴()Z a a ∈≤<502，得1-=a ，此时
1-=b 或3=b 。

∴满足条件的实数对()b a ,是()()3,1,1,1---。

（Ⅲ）当实数对()b a,是()()3,1
-
-时，()x
,1-
,1
f2
x
x
2-
=
-
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。

如对()k
∈k
x
-
k，
∈
N
2-
k
,-
x2,2
2
∈，()0,2
此时，()()()()()k
h2
2
h
22-
x
2
2
x
x
k
k
x
f
x
k
=
=，
-
-
-
-
-
=
故()()()()N
=,
-
2,2
-
-
2
-
22。

2
,
2
x
k
k
k
k
x
k
-
h∈
x
x
∈。