计算方法52幂法与反幂法

*
13
3. 幂法的改进
用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果
,
,迭代向量的各个不等于零的分量将随
而趋
于无穷（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克 服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质，将迭代 向量的长度规范化（“规一化”）以改进幂法。
所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使 向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 或 ,
0.042292
0.034389
0.41260
4
0.017451
0.014190
0.41263
可取10.41263 ,v1(0.017451,0.014190)T
*
(vk)2 / (vk-1)2
0.41665 0.41267 0.41263
12
在幂法中，我们构造的序列
可以看出
因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0
计算方法52幂法与反幂 法
2020年5月17日星期日
问题的提法：
设
,其特征值为 ,对应特征向量为
即
，且
征值及对应的特征向量。
线性无关。求矩阵A的主特
幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量
，
由矩阵A的乘幂构造一向量序列
称 为迭代向量。
2 *
(1)幂法:
1.A 特征值中 为强占优,即
问题： 设 即
的特征向量。
敛可能很慢。
8 *
定理7： （1）设
有n个线性无关的特征向量；
（2）设A的特征值满足
（3）幂法：
则
*
9
2. A的主特征值为实的r重根，即
问题： 设
即
的特征向量。
,其特征值为 ,对应特征向量为
，且
，线性无关。特征值满足：
,求矩阵的主特征值 及对应
*
10
对任意的初始向量
有
（且设
不全为零），则有
其中
，且
从而
因此，当k充分大时, 接近于与 对应的特征向量的某个
线性组合
(
不全为零) 。
*
11
例：求矩阵A的按模最大的特征值
解 取v0=(1,0)T ,计算vk=Avk-1, 结果如下
k
(vk)1
0
1
(vk)2 0
(vk)1 / (vk-1)1
1
0.25
0.2
2
0.10250
0.083333
0.41
3
2 由以上讨论知,用原点平移法可以求最大特征值与最小特征值.
*
24
例 设4阶方阵A有特征值
首先计算A的比值
令
作变换
则B的特征值为
所以对B应用幂法，可使幂法得到加速
*
25
原点平移的加速方法,是一种矩阵变换方法。 这种变换容易计算,又不破坏A的稀疏性，但 参数p的选择依赖于对A的特征值的分布有大 致了解。
设A的特征值为
则B的特征值为 且A,B特征向量相同。
*
20
原点平移法的思想 如果需要计算A的主特征值
，适当选择p使满足：
（1）
是B的主特征值，即
对B应用幂法,使得在计算B的主特征值
的过程中得到加速。
这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是
十分有效的。
*
21
原点平移法(加速法)
1. 设A的特征值是实数且满足： 求特征值的最大值
显然,不管B如何选取,矩阵B=A-pI 的主特征值为
当要求计算 及x1时，首先考虑应选取p满足:
其次, 使
或求极值问题
*
22
当 即当
时，即 的特征值满足
时， 值达到最小。 时,最佳的p值为
说明: 当
能初步估计时，就可选择P* 的近似值。另外，
的推导可以理解为,因为收敛速度由 确定,如果能
把原点向 靠拢,使 小下去,则可加快收敛速度。但是当原点移
所以：
*
6
特征向量乘以任意非零常数仍对应于同一特征值的特征向量
因此，幂法是一种迭代方法。
且收敛速度由比值
确定。所以有
其次讨论主特征值 的计算。 表示 的第i个分量，则相邻迭代向量的分量的比值为
*
7
则有
即相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值 ,且收敛速度由
比值
来度量,r 越小收敛越快, 当
而接近于1时,收
即
,说明
是(A-pI)-1 的主特征根。
对(A-pI)-1应用幂法得到反幂法计算公式：
*
29
对(A-pI)-1应用幂法得到反幂法计算公式：
取初始向量
线性方程组
即
其中
30 *
,其特征值为 ,对应特征向量为
，且
，线性无关。特征值满足：
,即 为强占优。求矩阵的主特征值 及对应
*
3
首意
的初始向量
有展开式。( 用 的线性组合表示)
（且设
）
则
4 *
当k =2,3,… 时，
其中
由假设
,得
从而
*
即
5
则k足够大时，有
可见
几乎仅差一个倍数
且收敛速度由比值
确定。
*
18
应用幂法时,应注意以下两点:
*
19
(2) 加速方法 (原点平移法)
应用幂法计算A主特征值的收敛速度主要由比值
来确定，当r <1但接近于1时,收敛可能很慢，一个补救 的办法是采用加速收敛的方法。
引进矩阵B =A-pI，其中P是可选择的参数。
A与B除了对角线元素外，其它元素都相同，
到某点使
时， 就代替了 ，而 就成了 ,若 大起
来，收敛速度又慢下去，因此把原点移到 与 的中点最合适，
如图示，取
作为新原点。
*
23
2. 设A的特征值是实数且满足： 求特征值的最小值
要求 ，选取P 满足
且使
当
时，即最佳参数
说明：1 在实际应用中,A的特征值并不知道，所以,p是无法 确定的，该方法只是告诉我们，当发现收敛速度慢时，可以适当 移动原点加速收敛。
*
26
(3)反幂法(或逆迭代)
设
为非奇异矩阵,A的特征值满足：
,对应特征向量
线性无关，
则A-1的特征值为
，特征向量
1、反幂法用来计算矩阵A按模最小的特征值及对应的特征向量 计算A的按模最小的特征值 的问题就是计算A-1按模最大的 特征值 问题。
反幂法迭代公式： 任取初始向量，
*
27
若
有n个线性无关的特征向量且其特征值满足：
*
14
任取初始向量： 迭代
规范化
则有迭代向量序列 及规范化向量序列 。
*
15
即 （1）若：
*
分别收敛反号的两个数 收敛
16
（2）若：
分别收敛到两个数，且绝对值不同。
*
17
定理8 （1）设
有n个线性无关的特征向量；
（2）设A特征值满足
且
（3） 及 由改进幂法得到的规范化向量 序列及迭代向量序列，则有
则由反幂法构造的向量序列
满足：
且收敛速度由比值
确定。
2 应用反幂法求一个近似特征值对应的特征向量。
问题：已知
的特征值 的一个近似值 （通常用
其它方法得到），求 对应的特征向量 （近似）
*
28
若A的特征值为
，则A-pI的特征值为
如果(A-pI) -1存在,则特征值为
对应的特征向量
取
，且设 与其它特征值是分离的，即