运输问题—数学模型及其解法
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闭合回路中标有“”的基变量同时有多个达到最小 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
闭合回路不一定是矩形
3.3.2 产销不平衡
供过于求，即 ai > bj ，增加一个虚收点Dn+1，bn+1= ai - bj ,
令 wi,n+1=0, i Nhomakorabea1,2,…,m
供小于求，即 ai < bj ，增加一个虚发点Wm+1，am+1= bj - ai ,
令 wm+1,j=0, j=1,2,…,n
f(x)=98，比 最低费用法 又低了23
6
3.2.2 利用位势法检验分配方案是否最优 v 不采用单纯型法，如何获得xij的检验数 v 找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出
对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原 问题的解不是最优解；否则，达到最优解
7
8
位势法的原理
❖ 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij0， 则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0
10
若所有 zij wij 0，则达到最优，算法停止；否则返回 1
例3.2.1 踏石法，以最低费用法所得初始解开始
OBJ=121 OBJ=101
11
答：最优解如上分配表，OBJ=98
3.3 运输问题迭代中的一些具体问题
3.3.1 闭合回路的画法
从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇 到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法
运输问题有mn个决策变 量，m+n 个约束条件。由 于产销平衡条件，只有 m+n–1个相互独立，因此， 运输问题的基变量只有 m+n–1 个
1
3.2 运输问题的求解方法
v 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 v 基变量的个数远小于决策变量的个数 v 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 v 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
9
3.2.3 踏石法
1、找入变量
从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
2、以 xij 为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路
该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基 变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括 xij )，且回路 中每行每列只有两个变量
3、求入变量 xi*j* 的最大值及新基变量的解
从 xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“” 和“+”，表示“”和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的 平衡
标有“”的变量中最小者就是出变量xi*j* ，对应 xi*j*的值就 是所求入变量 xij 的最大值
标有“”的变量减去 xi*j*，标有“+”的变量加上 xi*j*
4、用位势法求新基变量的检验数
13
2
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
例3.2.1
3
例3.2.1 西北角法
4
2、最低费用法
v 采用最小费用优先分配的原则，看一步
f(x)=121，比 西北角法低 84
5
3、运费差额法
v 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之 间的差额中选最大)优先分配的原则，看两步
3.1 运输问题的一般数学模型
v 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 v 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各
销地的销量，ai=bj 称为产销平衡 v 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单
位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
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3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
闭合回路不一定是矩形
3.3.2 产销不平衡
供过于求，即 ai > bj ，增加一个虚收点Dn+1，bn+1= ai - bj ,
令 wi,n+1=0, i Nhomakorabea1,2,…,m
供小于求，即 ai < bj ，增加一个虚发点Wm+1，am+1= bj - ai ,
令 wm+1,j=0, j=1,2,…,n
f(x)=98，比 最低费用法 又低了23
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3.2.2 利用位势法检验分配方案是否最优 v 不采用单纯型法，如何获得xij的检验数 v 找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出
对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原 问题的解不是最优解；否则，达到最优解
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位势法的原理
❖ 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij0， 则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0
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若所有 zij wij 0，则达到最优，算法停止；否则返回 1
例3.2.1 踏石法，以最低费用法所得初始解开始
OBJ=121 OBJ=101
11
答：最优解如上分配表，OBJ=98
3.3 运输问题迭代中的一些具体问题
3.3.1 闭合回路的画法
从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇 到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法
运输问题有mn个决策变 量，m+n 个约束条件。由 于产销平衡条件，只有 m+n–1个相互独立，因此， 运输问题的基变量只有 m+n–1 个
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3.2 运输问题的求解方法
v 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 v 基变量的个数远小于决策变量的个数 v 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 v 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
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3.2.3 踏石法
1、找入变量
从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
2、以 xij 为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路
该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基 变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括 xij )，且回路 中每行每列只有两个变量
3、求入变量 xi*j* 的最大值及新基变量的解
从 xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“” 和“+”，表示“”和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的 平衡
标有“”的变量中最小者就是出变量xi*j* ，对应 xi*j*的值就 是所求入变量 xij 的最大值
标有“”的变量减去 xi*j*，标有“+”的变量加上 xi*j*
4、用位势法求新基变量的检验数
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3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
例3.2.1
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例3.2.1 西北角法
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2、最低费用法
v 采用最小费用优先分配的原则，看一步
f(x)=121，比 西北角法低 84
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3、运费差额法
v 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之 间的差额中选最大)优先分配的原则，看两步
3.1 运输问题的一般数学模型
v 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 v 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各
销地的销量，ai=bj 称为产销平衡 v 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单
位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：