浙江省镇海中学2019届高考模拟试题数学文

2019年高三数学(文)模拟考试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
球的体积公式3
3
4R V π=
球，球的面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径 柱体的体积公式V sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式1
3V sh =，其中s 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
台体的体积公式121
()3
V h s s =，
其中12,s s 分别表示台体上,下的底面积，h 表示台体的高
Ⅰ卷（选择题共50分）
一． 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1. 设全集U R =，集合{}21A x x x =><-或，{}
0B x x =>，则()
U A B =ð（ ）
（A ）(]0,2 （B ） ()2,+∞ （C ）(0,2) （D ）(,1)-∞- 2．“0x y =”是“220x y +=”的（ ）
（A ）充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D )既不充分也不必要条件 3. 若复数1112
i
z i -=
+-+，化简后z = ( ) （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i -
4．下列函数中，周期为π且图像关于直线3
x π
=
对称的函数是（ ）
(A) ()2sin()23x f x π
=+
(B) ()2sin(2)3
f x x π
=+ (C) ()2sin()26
x f x π
=-
(D) ()2sin(2)6
f x x π
=-
5．已知,m n 是两条异面直线，点P 是直线,m n 外的任一点，有下面四个结论： ① 过点P 一定存在一个与直线,m n 都平行的平面。

② 过点P 一定存在一条与直线,m n 都相交的直线。

③ 过点P 一定存在一条与直线,m n 都垂直的直线。

④ 过点P 一定存在一个与直线,m n 都垂直的平面。

则四个结论中正确的个数为（ ） （A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
6．若函数2
1m y x x n n =-
+的图象在点1
(0,)M n
处的切线l 与圆22:1C x y +=相交,则点(,)P m n 与圆C 的位置关系是( )
（A ）圆内 (B ) 圆外 (C ) 圆上 (D ) 圆内或圆外 7．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12315a a a =，且133551
3155
3
5
S S SS SS ++=
，
则2a =（ ） （A ）2 (B )
12 (C ) 3 (D
8.如果执行右面的程序框图，那么输出的S 为( ) (A) 3S = (B) 4
3
S = (C) 1
2
S =
(D)2S =- 9．已知12,F F 分别是双曲线22
22:
1x y C a b
-= (0,0)a b >>的左，右焦点。

过点2F 与双曲线的一条渐近
线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，且
01290F MF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）
(B)2 (D) 3
10．点O 是ABC ∆所在平面上一点，若20OA OB OC ++=，则A
O C ∆的面积与ABC ∆的面积之比为( ) ( A)
13 (B). 23 (C). 14 (D). 1
2
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上.)
11. 如图, 是从参加低碳生活知识竞赛的
学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布 直方图,则成绩不低于69.5分的人数为_______.
12．已知实数,x y 满足不等式组10
270250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
,
则2x y -的最小值为_________。

13．已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图 是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此 几何体的体积为________ 。

14.已知集合{}{}1,2,3,7,8A B ==,现从A, B 中各取 一个数字, 组成无重复数字的二位数, 在这些二位数 中, 任取一个数, 则恰为奇数的概率为 ___ 。

15．某人要测量一座山的高度，他在山底所在的水平面上，选取在同一直线上的,,A B C 三点进行测量。

他在A 点测得山顶的仰角是45,在B 点测得山顶的仰角是60，在C 点测得山顶的仰角是30，若AB BC a ==,则这座山的高度为 ___ （结果用a 表示）。

16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知点D 是BC 边的中点，且
2
1()2
AD BC a ac ∙=
-，则角B =_________。

17．在等比数列
{}n a 中，若前n 项之积为n
T ，则有3
23(
)n n
n
T T
T =。

则在等差数列{}n b 中，若前n 项之和为n S ，用类比的方法得到的结论是_______________。

三、解答题：本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. (本小题满分14分) 已知函数2()4sin()cos 3
f x x x π
=-。

（1）求()12
f π
；
（2）求函数()y f x =在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域。

19． (本小题满分14分)如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，
侧棱2,SD SA ==0
120SDC ∠=。

(1) 求证：侧面SDC ⊥底面ABCD ；
(2) 求侧棱SB 与底面ABCD 所成角的正弦值。

S
A
B
C
D
第13题图
俯视图
侧视图
正视图
1
1
3
5
20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足13a =，且*133,()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足3n n n b a -=。

（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3
12345
2n n a a a a S n =++++
+，求满足不等式211
1284
n n S S <<的所有正整数n 的值。

21．(本题满分15分）已知函数()()3213
,032
f x x mx mx m =
-+>。

（1） 当2m =时，求函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程； （2） 讨论函数()y f x =的单调性；
（3）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，且当04x m ≤≤时，
()22332
(3)23
f x mx m m x <+-+ 恒成立，求m 的取值范围。

22.(本小题满分15分) 已知平面上的动点Q 到定点(0,1)F 的距离与它到定直线3y =的距离相等。

（1）求动点Q 的轨迹1C 的方程；
（2）过点F 作直线1l 交22:4C x y =于,B A 两点(B 在第一象限)。

若B 2,F AF = 求直线1l 的方程。

（3）试问在曲线1C 上是否存在一点M ，过点M 作曲线1C 的切线2l 交抛物线2C 于,D E 两点，使得DF EF ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

2019年数学模拟卷（文科） 答案
一．选择题： 1.A,[](])1,2(0,)0,2.U C A B ⋂=-⋂+∞=（ 2.B,
220=0,0.x y x y +=∴=
3.D,1122
i i
z i ---=+=- 4.D,
,.T D π
π=∴所以选B 或D ，关于x=
对称，选3
5.A, ①错。

因为过直线m 存在一个与直线n 平行的平面，当点P 在这个平面内时，就不满足结论。

②错。

因为过直线m 存在一个与直线n 平行的平面，当点P 在这个平面内时，就不满足结论。

③对。

④错。

若结论成立，则有m n 。

6.B, 2
2
221,11.x y m n +=<∴+>切线l 的方程为mx+ny=1,与相交
7.C,
113253123122313
3111,3,S 5,,15.5S a S a a a a a a a a a a a ===∴=++=
312223, 3.51515155
a a a
a a ∴=++=∴= 8.B, 1,,2,3,2010,.2S k S --==44
是周期为4的一个数列当时33
9.B,
12122212c bc 3c bc c bc (,-),F (,0),(,0),(-,),(,),
22a 22a 22a 03, 2.
M c F c MF MF MF MF b a e -===∴== 10.C.1
,,.4
AOC ABC S AB D CD O S =△△设中点为中点为
二.填空题：
11. 36 ,60(0.30.250.05)36⨯++= 12. 4-,当x=2,y=3,x-2y 取得最小值-4.
118222S =⨯⨯=
14.
712,
2237
.232212
++=⨯⨯⨯ 15.
,,.CE =设山顶为D,在底部的射影为E,设DE=h,则AE=h,BE=3
222222
)))30,.32a 32a a h a h h
h
+-+-=∴= 16.
3
π,2221111(AB+AC)(AC-AB)=()(),cos ,.22223AD BC b c a ac B B π∙=-=-∴==
17. 323()n
n n S S S =-.类比可得. 三.解答题：
18．解：（1）21
()
4sin(
)cos 4cos
sin )32
f x
x x x x x π=-=+ 22sin cos cos 2)sin 22sin(2)
3
x x x
x x x π
=+=++=+则(
)2sin()21263
f πππ
=+=+7分 （2）40,2
2333
x x ππππ
≤≤∴≤+≤，
则sin(2)13
x π
≤+≤，故函数()y f x
=的值域为0,2⎡⎣。

………………14分 19. （1）证明：
2,SD AD SA ===
AD SD ∴⊥，又AD CD ⊥，CD ⊂侧面SDC ，
SD ⊂ 侧面SDC ，且SD CD D =，AD ∴⊥侧面SDC 。

又AD ⊂底面ABCD ，故侧面SDC ⊥底面ABCD 。

…………7分
（2）解：如图，过点S 作直线CD 的垂线交CD 的延长线于点E ，
由（1）可知SE ⊥底面ABCD ，则SBE ∠是侧棱SB 与底面ABCD 所成角。

00120,60SDC SDE ∠=∴∠=，又2SD =，故1SE DE ==，
则BE =4SB =。

则sin SE SBE BE ∠=
=，故侧棱SB 与底面ABCD 14分 20．（1）证明：由3n
n n b a -=得3n n n a b =，则1113n n n a b +++=。

代入133n n n a a +-=中，得111333n n n n n b b +++-=， 即得11
3
n n b b +-=。

所以数列{}n b 是等差数列。

………………6分 S
A B
C
D
E
（2）解：因为数列{}n b 是首项为11131b a -==，公差为1
3
等差数列， 则12
1(1)33
n n b n +=+-=，则13(2)3n n n n a b n -==+⨯。

………………8分 从而有
132
n n
a n -=+， 故21
31213311333
3452
132
n n n n n a
a
a a S n ---=+++
+=++++==+-。

…………11分 则22311
3131
n n n n
n S S -==-+，由2111284n n S S <<，得111128314n <<+。

即33127n
<<，得14n <≤。

故满足不等式
211
1284
n n S S <<的所有正整数n 的值为2，3，4。

………………14分 21.解：（1）当2m =时，()3
2123,3
f x x x x =
-+ 则()2
43f x x x '=-+，故()03f '=，
函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程为3y x =。

………………5分 （2）()2
2233
2()22
f x x mx m x m m m '=-+
=-+-， 当2
302m m -≥，又0m >，即302
m <≤时，()0f x '≥， 则函数()y f x =在(
,)-∞+∞上是增函数；………………
7分 当
2302m m -<，又0m >，即3
2
m >时， 由()0f x '>
，得x m x m <> 由()0f x '<
，得m
x m <<， 故函数()f x
在区间
(,m -∞和()m ++∞上是增函数， 在区间(m m 上是减函数，………………10分
（3）因为函数()f x 既有极大值，又有极小值，则()2
3
202
f x x mx m '=-+
=有两个不同的根，则有2460,m m ∆=-> 又3
0,2
m m >∴> ……… 11分 令2
2
3
2231()()(3)232
3
g x f x mx m m x x mx m x =---=
-+ 22()430,3g x x mx m x m x m '=-+=⇒==或， ()03,()03g x x m x m g x m x m ''∴>⇒<><⇒<<或
[)(]()()0,,3,4,,3g x m m m m m ∴在上为增函数在上为减函数,………13分
34(),(3)0()3g m m g m g x ∴=
=为的极值,又34
(0)0,(4)3
g g m m ==， 最大值为)(x g ∴343
m ，3432
233m m ∴<
⇒< ………………14分 m 的取值范围为3
22
m <<。

………………15分
22．解：（1）设(,)Q x y
3y =-，………………2分 化简得曲线1C 的方程为：2
48x y =-+。

………………4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ，则121,1AF y BF y =+=+，
由 B 2,F AF =得2121y y =+ ……① …………… 5分 令直线AB 方程为(1)x t y =-
由2222
2
(1)(24)04x t y t y t y t x y
=-⎧⇒-++=⎨
=⎩， 则2122
12
24
.1t y y t y y ⎧++=
⋯⋯⋯⎪⎨⎪=⋯⋯⋯⎩②③ ………………6分 由 ①和③联立解得： 121
22
y y ==， 代入②得：2
8t =
依题意直线AB 的斜率大于0，即 0t >
，所以t =………………8分 故直线AB
的方程为0x -+= ………………9分
(3)设(,)M m n ，由于2x y '=-
，则切线2l 的斜率为2
m
k =-， 切线2l 的方程为()2m y n x m -=--，又2
24
m n =-，
则切线l 的方程为2
224
m m y x =-+
+。

……………10分 由2
2222280.244m m y x x mx m x y ⎧=-+
+⎪⇒+--=⎨⎪=⎩
，设1122(,),(,)D x y E x y ,
………………12分
又FD FE ⊥，则1212121212(1)(1)()10x x y y x x y y y y +--=+-++=，
222
2
(8)38(4)10162
m m m +--+-++=则，
设2
8t m =+，则有223
(8)30,401440,162
t t t t t ----=-+=即 得36,4t t ==（舍去）。

………………14分 所以2
836t m =+=
，得 5.m n =±=-
故存在点M 满足题意，此时点M
的坐标是(5).±-………………15分
122
1222
1212
22212122,83()44,
222()(8).
1616
x x m x x m m m m y y x x x x m y y +=-⎧⎨=--⎩∴+=-+++=++==则。