线性规划的对偶理论与灵敏度分析2011,9上

c3
y 1 0 , y 2 0 , y 2 0 , y 3 0
可编辑版 16
令 y 2 y 2 - y 2 , y 3 -y 3 ,由此得 :
则 建立该线性规划的数学模型为：
Min z = 300y1+400y2+250y3 y1+2y2 ≥ 50 y1+y2+y3 ≥ 100 y1,y2,y3 ≥ 0
(LP2)
LP1 与LP2 是一对对偶问题
可编辑版 6
cj cBi xBi
50 x1 0 x4 100 x2 yj=cj-zj
LP1最终单纯型表
x1
a22 x2 a22 x2
a23 x3 a23 x3
a23 x3 a23 x3
b2 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 a33 x3 b3
x1 0, x2 0, x3 0, x3 0
对偶变量
y1 y2 y2 y3
可编辑版 15
其对偶问题为：
min w b 1 y 1 b 2 y 2 b 2 y 2 b 3 y 3
a 21 x 1
a 22 x 2
a2n xn
b2
a
m
1
x
1
am2x2
a mn
xn
bm
x1, x2 , , xn 0
可编辑版 9
用yi（i=1，2，…..，m）代表第i种资源的 估价，则其对偶问题的一般形式为：
minZ b 1 y 1 b 2 y 2 b m y m
a 11 y 1 a 12 y 2 a m 1 y m c 1
50 100 0 0
x1
x2
x3
x4
1
0
10
0
0 -2
1
0
1
00
0
0 -50 0
0
bi
x5
bi
aik
-1
50
1
50
1
250
-50 - 27500
LP2最终单纯型表
cj -300 -400 -250 0
0
-M
bi
cBi xBi y1 y2
y3
y4
y5
y6
bi
aik
-300 y1 1 2 0
-1 0
1 50
原问题和对偶问题的关系可用下面表格的形式来表示：
对偶问题
（求极小）
b1 y1 b2 y2
…………
bm ym
原问题（求极大）
c1 c2 … x1 x2 … a11 a12 … a21 a22 .. .
cn 右边 xn a1n ≤b1 a2n… ≤b2
………………………………. ………
am1 am2 …. amn ≤bm
-250 y3 0 -1 1
1 -1 -1 50
yj=cj-zj 0 - 50
0 -50 -250 -m+50 27500 可编辑版 7
求解问题 LP1得： X* = （x1,x2,x3,x4,x5)T
= (50,250,0,50,0)T Max z = 27500
求解问题 LP2得： Y* = （y1,y2,y3,y4,y5, y6,)T
s .t .
a
12
y
1
a 22 y 2
a m2 y m
c2
a
1n
y
1
a2n y 2
a mn y m
cn
y1, y 2 , y m 0
可编辑版 10
用矩阵形式表示，对称形式的线性规划 问题的原问题为：
max Z CX
AX b
s .t.
X 0
其对偶问题为：
min w Y X
A Y C
x
x2
2
400 250
(LP1)
x 1 0, x 2 0
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。
假如有另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
可编时的租金 _ y2 ----- B 每台时的租金
y3 ----- C 每台时的租金
b2 b3
x1 0, x 2 0, x3 无约束
可编辑版 14
令x2
x2 ,
x3
x 3
x3, 其中 x2
0,
x 3
0,
x
'' 3
0
则上式可写为：
max Z c1x1 c2 x2 c3 x3 c3x3
a11x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1
a21 x1 a21
a11 y 1 a 21 y 2 a 21 y 2 a 31 y 3 c1
a12 y1 a13 y1
a 22 y 2 a 23 y 2
a 22 y 2 a 23 y 2
a 32 y 3 a 33 y 3
c2 c3
a13 y1
a 23 y 2
a 23 y 2
a 33 y 3
甲
设备A
1
设备B
2
设备C
0
利润（元） 50
乙
资源限量
1
300台时
1
400台时
1
250台时
100
问：工厂应分别生产甲、乙产品各多少，才能使工厂获 利最多？
可编辑版 4
设：甲—— x1， 乙—— x2 该线性规划的模型为：
max Z 50x 1 100x 2
x 1 x 2 300
2x
1
= (50,0,50,0,0,0)T Min z = 27500
可编辑版 8
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式下线性规划原问题的一般形式为：
max Z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1
s .t .
右边 ≥c1 ≥c2………≥cm
可编辑版 13
三、非对称形式的原-对偶问题关系
例3、写出下述线性规划问题的对偶问题
max Z c1 x1 c 2 x 2 c3 x3
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a a
21 31
x1 x1
a 22 x 2 a32 x2
a 23 x3 a33 x3
第二章 线性规划的对偶问题 与灵敏度分析
1、线性规划的对偶问题 2、图解法的灵敏度分析
可编辑版 1
两个黄鹂鸣翠柳, 一行白露上青天。 窗含西岭千秋雪, 门泊东吴万里船。
对偶是一种普遍现象
可编辑版 2
第一节 线性规划的对偶问题
一、问题的提出
我们先来看一个例题:
可编辑版 3
例1 某工厂在计划期内安排甲、乙两种产品，已 知生产单位产品所需设备A、B、C台时和所获利润如 下表所示：
s .t.
Y 0
可编辑版 11
例2
max Z 3x 1 5x 2
x1
4
3x
2x 1 2x
2 2
12 18
x 1 0, x 2 0
其对偶问题：
min w 4y 1 12y 2 18y 3
y1
3y 3 3
2y 2 2y 3 5
y
1
0,
y2
0,
y3
0
可编辑版 12