拓扑优化

• 连续体结构拓扑优化
– 1988年，受“微结构”思想的启发，Bendsøe与Kikuchi利 用均匀化方法，将复合材料多孔介质的概念引入结构拓 扑优化中，开创了连续体结构拓扑优化新局面。
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2 拓扑优化的发展
• 连续体结构拓扑优化
– 1992年，Mlejnek等提出人工变密度法； – 1999年，基于变密度法，Rozvany与zhou等提出了SIMP理论；之 后，Sigmund与Bendsøe等，完善了该理论； – 2001年，Sigmund开发了基于SIMP模型的matlab程序，极大得推 广了结构拓扑优化。同时，Sigmund将变密度法应用到更广的领 域：柔性机构拓扑优化设计、考虑几何非线性的结构设计、多物理 场振动器构型设计、声子晶体结构、带隙材料等。
– 材料属性的理性近似模型
(RAMP: Rational Approximation of Material Properties)
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3.2 结构分析
• 结构分析采用结构有限元，也可以采用有限差分 法、有限体积法等。
– 修改材料属性（SIMP）
ρ↔E↔K
– 有限元分析 – 提供响应值，计算目标函数，约束函数，灵敏度等
• 棋盘格式、网格依赖性采用正则化的方法解决。
– 由于非网格相关的过滤方法实现简单，求解效率高，成为目前主流 方法。包括灵敏度过滤、密度过滤（线性密度过滤、非线性密度过 滤）
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3.5 SiPESC.TOPO
• SiPESC.TOPO是依托于SiPESC平台的开放式结构 有限元分析系统与工程数据库以及后处理软件 jifex， • 基于SIMP方法以及最新拓扑优化技术开发的结构拓 扑优化程序；实现了消除棋盘格式、网格依赖性等 数值问题的方法；
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3.3 优化模型
• 结构拓扑优化也是基于最优化理论的，故其最终落 脚点依然是一个普通优化问题。 • 例如单工况最小柔顺性问题，优化模型如下：
find : ρ = {ρ1 , ρ 2 ,L, ρ N } min : C = f pT u p = u T Ku s.t. : ∑ ρ e ve ≤ V *
e =1 N
: 0 < ρ min ≤ ρ e ≤ 1
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3.4 数值问题
• 拓扑优化的主要数值问题：灰色单元、局部极值、 棋盘格式、网格依赖性等。 • 灰色单元
– 在优化结果中大量存在的介于0/1之间的单元 – 难以通过优化结果得到确切的拓扑构型 – 处理方法：
• 采用惩罚技术，加大SIMP模型中的惩罚因子 • 选用合理的滤波半径
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2 拓扑优化的发展
• 目前，主要拓扑优化模型化方法有：
– 微结构描述(材料类)的拓扑优化方法
• 均匀化方法（Homogenization Method）1988 • 人工变密度法（SIMP模型、RAMP模型）1992
– 宏观结构描述(几何类)的拓扑优化方法
• 进化结构优化方法（ESO）1993 • 水平集方法（Level Set Method）2000
– 拓扑插值模型扩展 – 算法函数扩展 – 过滤函数扩展 – 文件输入输出扩展 – 计算应变能扩展
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4.3 SiPESC.TOPO SIMP插值模型
• SIMP（固体各向同性惩罚微结构模型），属于人工 变密度法的一种刚度-密度插值格式。
– 常用方法修改杨氏模量E E p ( x j ) = E min + x jp E 0 − E min
• 结构的拓扑构形选择恰当与否，决定了产品设计的主要性 能，因而，在复杂结构的选型和轻量化设计中，拓扑优化比 后续的形状和尺寸优化更有价值，对工程设计人员的吸引力 更大。在产品\结构的早期设计阶段，拓扑优化成为主要设 计手段。
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1.2 拓扑优化工程应用
• 空客A380前翼缘拓扑优 化 • 本项目中， Altair公司研 究了每个机翼的肋骨；运 用HyperWorks优化技术 进行新设计；由5个工程 师历时7周完成最终设 计，使空客A380翼肋的 重量降低了40%(500公 斤) 。
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2 拓扑优化的发展
• 连续体结构拓扑优化
– 1981年，程耿东和Olhoff在关 于实心弹性薄板材料布局优 化设计的研究中将“微结构”概 念引入拓扑优化；并以微结 构描述板加强肋的分布。这 项工作被认为是近现代连续 体拓扑优化的先驱。
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2 拓扑优化的发展
• 通过单元id获取单刚
– bool setElementStiff(const QMap<int,double>& x, const double& penal)
• 参数：单元密度，惩罚因子 • SIMP修改单刚，存储单刚
– bool setElementStiffModi(const QMap<int,double>& x, const double& penal)
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2 拓扑优化的发展
• Michell桁架理论
– 结构拓扑拓扑优化起源于Michell桁架理论； – 1854年，Maxwell首次进行了应力约束下最小重量桁架的基本拓扑 分析； – 1904年，Michell采用解析法研究了应力约束下的桁架结构拓扑优 化设计，得到重量最轻的桁架构型应满足的条件； – 1969年，Prager等将Michell准则进一步推广，使之能够适用于刚 度、动力参数优化和非线性弹性优化等； – 1964年，Dorn等人提出“基结构”法，将数值方法引入拓扑优化领 域；克服了Michell桁架理论的局限性。 – Michell桁架理论仍是验证其他优化方法的最可靠标准之一。
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3.5 SiPESC.TOPO
• 拓扑插值模型
– SIMP
• 算法：
– 准则法 – 移动渐近线法(MMA) – DOT算法
• 过滤方法（数值问题）：
– 灵敏度过滤 – 线性密度过滤 – Heaviside及修正Heaviside非线性密度过滤 – 体积守恒非线性密度过滤
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结构拓扑优化与程序实现 工作简介
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主要内容
¾拓扑优化概念 ¾拓扑优化发展 ¾SiPESC.TOPO ¾SiPESC.TOPO 实现 ¾SiPESC.TOPO 算例
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主要内容
¾拓扑优化概念 ¾拓扑优化发展 ¾SiPESC.TOPO ¾SiPESC.TOPO 实现 ¾SiPESC.TOPO 算例
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主要内容
¾拓扑优化概念 ¾拓扑优化发展 ¾SiPESC.TOPO ¾SiPESC.TOPO 实现 ¾SiPESC.TOPO 算例
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4.1 SiPESC.TOPO插件架构系统
• SiPESC 采用“平台（微核心）+ 插件”的体系结构， 构建了插件及扩展的管理机制。 • 插件架构体系使 SiPESC系统具有良好的开放性； 具有可扩展、可维护、可重用、动态加载/卸载、使 用灵活等优点。
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主要内容
¾拓扑优化概念 ¾拓扑优化发展 ¾SiPESC.TOPO ¾SiPESC.TOPO 实现 ¾SiPESC.TOPO 算例
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2 拓扑优化的发展
• 结构优化
– Galilei（1564-1642）描述了多孔材料中孔洞形状对材 料强度的影响，最早提出结构优化的概念；Cauchy （1789-1857）最早应用最速下降法求解无约束极小化 问题。 – 1960年，Schmit在桁架方面的工作标志着现代结构优化 的诞生。 – 伴随着计算机技术的进步，有限元方法和数学规划理论 的发展，使得以数值计算为基础的结构优化得到了极大 的发展，成为计算力学的一个重要分支。
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4.2 SiPESC.TOPO 主要插件
• org.sipesc.fems.femstask_1.1.0_debug.sep能方便 地处理应变能等。（SiPESC.FEMS） • org.sipesc.topo.domainimportor_1.0.0_debug.sep 处理设计域。 • org.sipesc.topo.topologyoptimizationtools_1.0.0_d ebug.sep能够满足拓扑优化最小柔顺性问题大部分 需求。
结构拓扑优化一般计算流程
拓扑优化模型建立 迭代分析 提供响应值 优化模型计算
拓扑优化数值问题
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3.1 拓扑优化模型-人工变密度法
• 变密度法：假定单元密度和材料物理属数之间的某 种对应关系，以连续变量的密度函数形式显式地表 达这种对应关系。 • 变密度法基于各向同性材料，不需引入微结构、不 需均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计 变量，每个单元有唯一的设计变量。程序实现简 单，计算效率高，故SiPESC.TOPO采用此拓扑优 化模型。
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3.1拓扑优化模型-人工变密度法
• 变密度法不仅可以采用结构的柔度为优化的目标函 数，也可以用于特征值优化，屈曲优化，柔性机构 的优化，多学科优化等领域。 • 变密度法主要的密度-刚度插值模型有
– 固体各向同性惩罚微结构模型
(SIMP: Solid Isotropic Microstructures with Penalization)
• 参数：单元密度，惩罚因子 • 修正SIMP法，修改单刚，存储单刚
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4.4 SiPESC.TOPO 算法
• 由于拓扑优化的特殊性，算法主要使用准则法和 MMA方法。
– 准则法基于一种启发式的显式更新设计变量的优化方 法。它不直接优化目标函数，而是基于K-T条件构造一 系列优化问题应满足的准则直接更新设计变量。 – MMA方法属于序列凸规划法(SCP)，通过引入移动的渐 近线参数，将隐式的优化问题转化为一系列显式的更为 严格的凸近似子优化问题。目前大量应用与结构拓扑优 化中，尤其对于复杂问题，MMA具有更好的适应性。
• 由于SIMP模型减少了优化设计变量，简化了优化求 解过程，使其得到更多学者和工程师的青睐。
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主要内容
¾拓扑优化概念 ¾拓扑优化发展 ¾SiPESC.TOPO ¾SiPESC.TOPO 实现 ¾SiPESC.TOPO 算例
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3 SiPESC.TOPO
4.3 SiPESC.TOPO SIMP插值模型 • 扩展：org.sipesc.topo.MTopoElementStiff • 主要接口：
– bool initialize(MDataModel& model)
• 对象初始化，转存有限元模型原始单刚
– MMatrix getElementStiff(const int& id)
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1.1 拓扑优化的概念
尺寸优化、形状优化和拓扑优化概念
(a) 尺寸优化
(b) 形状优化
(c) 拓扑优化
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1.1 拓扑优化的概念 • 拓扑优化通过设计材料在结构内的合理分布，实现结构某种 性能的最优。 • 优化变量
– 杆系结构的节点布局、节点之间的杆件连接关系；（离散） – 连续体开孔的数量和位置。（连续）
= E 0 s + x jp (1 − s )
[
(
]
)
– SiPESC.TOPO直接修改单刚Ke,，避免多次矩阵相乘
K ep
ρ↔E↔K ( x ) = K + x (K − K )
j min e
= K e0 s + x jp (1 − s )
[
p j
0 e
]
min e
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3.5 SiPESC.TOPO
• SiPESC.FEMS数据库可以方便地提取、修改任何 变量（SIMP模型中单元刚度阵的修改）。 • 广义应变能的使用，可以处理指定位移约束下的拓 扑优化问题； • 体积守恒型密度过滤能够保证密度非线性映射前后 总的材料用量相等； • 移动渐近线法(MMA)属于序列凸规划法(SCP)，对 于大型复杂问题，MMA具有更好的适应性； • 后处理软件jifex