线性分组码
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
–例
1 1 1 0 1 0 0
H 11
1 0
0 1
1 1
0 0
1 0
0 1
2020/10/13
5
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
（n,k）码的监督矩阵
• 满足HA＝0的所有需用码组A可以解如下方程得：
a6
a5
1 1 1 0 1 0 0 a4 0
F：I－》C
K维信息空间： I
N维码空间： C
2020/10/13
3
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性性
• 若k维空间中的信息码字A，B，其映射结果为F(A)、 F(B),满足
– F(cA+dB) = c*F(A) + d*F(B)
则称F为线性映射。 • F的值空间就构成线性分组码的码空间。 • （n,k）码的一些基本数字关系
» 如：汉明码、循环码、BCH码等代数构造方法
2020/10/13
12
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
2020/10/13
13
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
（n，k）汉明码
• 汉明码是一种特殊的线性分组码，满足关系
（n，k）码的构造
• 方法
– 1、已知H或G，直接得到（n，k）线性分组码。 – 2、找出n维空间的n个基，任意选择k个作为（n，k）码的生
成矩阵G。 （如何找出合适的基使构成的码具有大的最小码距？） – 3、n维空间中任意挑选2^k个码字作为（n，k）码的需用码
组，并与2^k个信息码字构成一一映射。（注：此时不能保证 构造出的（n，k）码是线性码） – 4、其它
2020/10/13
9
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
小结
• 线性（n，k）码的关键参数
– H：监督矩阵 – G：生成矩阵 – 二者知一即可知关于（n，k）的所有信息。
• 引申内容
– （n，k）码的所有码字构成n维空间中的k维线性子空间 – （n，k）的生成矩阵的k行即是n维空间的k个基 – 以n维空间的另外n－k个基构成的生成矩阵所生成的线性分组
码（n，n－k）称为（n，k）码的对偶码。
2020/10/13
10
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性分组码的性质
• 封闭性
– 推论：最小码距等于最小码重（全零码除外）
• 线性性
– 推论：任意码字的线性和还是许用码字
2020/10/13
11
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
编码中如何描述线性性
• (n,k)线性分组码的另一种定义
– 定义：
满足HA＝0的所有A的集合C称为（n，k）线性分组码，其中H是一个n－ k行n列的二元域上的矩阵，称为监督矩阵（校验矩阵）。
– 解释
» HA＝0定义了一种线性映射，且是一一对应的。 » 若A,B满足定义，则易知：H(cA+dB)=0，即cA+dB也属于C。
• 线性分组码的构造
– 线性子空间构造 – 汉明式构造
• 线性分组码的译码
– 最大似然译码 – 代数译码
2020/10/13
2
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性分组码定义
• (n,k)线性分组码定义
– 从k维空间到n维空间的一一映射的映射空间，并且这种映射 满足线性性。
1 0 0 0 1 1 1
a6a5a4a3a2a1a0
a6a5a4a3
0 0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 0
0 1
0
0
0
1
0
1
1
A UG
2020/10/13
7
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
生成矩阵
• 信息码字U
U (a6a5a4a3)
• 生成矩阵G
1 0 0 0 1 1 1
G
0
1
0
0
1
1
0
wk.baidu.com
0 0 1 0 1 0 1
0
0
0
1
0
1
1
2020/10/13
8
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
（7，4）码的许用码组
• 由于 I 是4维空间中的一个码字，其取值可能性为16种 ，将16个码字分别乘以生成矩阵G，则得到（7，4） 码的所有许用码组。
– 2^(n-k)-1 = n – 只能纠一个错 – 最小码距为3
• 汉明码的构造思路
– 由于有n-k个监督比特（冗余信息)，因此可以组成2^(n-k)个图样， 每个图样对应信道传输的一种传输结果。
– 当码字A经过信道传输后，接收到的码字为R＝A＋E – E称为信道错误图样
– 信息空间大小：2^k 种信息码字 [ I(k-1),I(k-2),…,I(0) ] – 码空间大小： 2^k种许用码字 [a(n-1),a(n-2),…,a(0) ]
• 提示：经过（n，k）编码后，空间发生扩展
2020/10/13
4
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
• (0000000) (0001011) (0010101) (0011110) • (0100110) (0101101) (0110011) (0111000) • (1000111) (1001100) (1010010) (1011001) • (1100001) (1101010) (1110100) (1111111)
11
1 0
0 1
1 1
0 0
1 0
0 1
a3 a2
0 0
a1
a0
2020/10/13
6
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
方程的解
• 3个方程，7个未知数，只能得到4个自由度（4个信息比特）
a6 a5 a4 a2 a6 a5 a3 a1 a6 a4 a3 a0
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性分组码
2020/10/13
1
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
主要讲授内容
• 线性分组码的定义
– 线性 – 监督矩阵 – 生成矩阵
• 线性分组码的性质
– 线性性－》封闭性 – 最小码距等于非零许用码组的最小码重
1 1 1 0 1 0 0
H 11
1 0
0 1
1 1
0 0
1 0
0 1
2020/10/13
5
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
（n,k）码的监督矩阵
• 满足HA＝0的所有需用码组A可以解如下方程得：
a6
a5
1 1 1 0 1 0 0 a4 0
F：I－》C
K维信息空间： I
N维码空间： C
2020/10/13
3
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性性
• 若k维空间中的信息码字A，B，其映射结果为F(A)、 F(B),满足
– F(cA+dB) = c*F(A) + d*F(B)
则称F为线性映射。 • F的值空间就构成线性分组码的码空间。 • （n,k）码的一些基本数字关系
» 如：汉明码、循环码、BCH码等代数构造方法
2020/10/13
12
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
2020/10/13
13
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
（n，k）汉明码
• 汉明码是一种特殊的线性分组码，满足关系
（n，k）码的构造
• 方法
– 1、已知H或G，直接得到（n，k）线性分组码。 – 2、找出n维空间的n个基，任意选择k个作为（n，k）码的生
成矩阵G。 （如何找出合适的基使构成的码具有大的最小码距？） – 3、n维空间中任意挑选2^k个码字作为（n，k）码的需用码
组，并与2^k个信息码字构成一一映射。（注：此时不能保证 构造出的（n，k）码是线性码） – 4、其它
2020/10/13
9
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
小结
• 线性（n，k）码的关键参数
– H：监督矩阵 – G：生成矩阵 – 二者知一即可知关于（n，k）的所有信息。
• 引申内容
– （n，k）码的所有码字构成n维空间中的k维线性子空间 – （n，k）的生成矩阵的k行即是n维空间的k个基 – 以n维空间的另外n－k个基构成的生成矩阵所生成的线性分组
码（n，n－k）称为（n，k）码的对偶码。
2020/10/13
10
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性分组码的性质
• 封闭性
– 推论：最小码距等于最小码重（全零码除外）
• 线性性
– 推论：任意码字的线性和还是许用码字
2020/10/13
11
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
编码中如何描述线性性
• (n,k)线性分组码的另一种定义
– 定义：
满足HA＝0的所有A的集合C称为（n，k）线性分组码，其中H是一个n－ k行n列的二元域上的矩阵，称为监督矩阵（校验矩阵）。
– 解释
» HA＝0定义了一种线性映射，且是一一对应的。 » 若A,B满足定义，则易知：H(cA+dB)=0，即cA+dB也属于C。
• 线性分组码的构造
– 线性子空间构造 – 汉明式构造
• 线性分组码的译码
– 最大似然译码 – 代数译码
2020/10/13
2
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性分组码定义
• (n,k)线性分组码定义
– 从k维空间到n维空间的一一映射的映射空间，并且这种映射 满足线性性。
1 0 0 0 1 1 1
a6a5a4a3a2a1a0
a6a5a4a3
0 0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 0
0 1
0
0
0
1
0
1
1
A UG
2020/10/13
7
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
生成矩阵
• 信息码字U
U (a6a5a4a3)
• 生成矩阵G
1 0 0 0 1 1 1
G
0
1
0
0
1
1
0
wk.baidu.com
0 0 1 0 1 0 1
0
0
0
1
0
1
1
2020/10/13
8
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
（7，4）码的许用码组
• 由于 I 是4维空间中的一个码字，其取值可能性为16种 ，将16个码字分别乘以生成矩阵G，则得到（7，4） 码的所有许用码组。
– 2^(n-k)-1 = n – 只能纠一个错 – 最小码距为3
• 汉明码的构造思路
– 由于有n-k个监督比特（冗余信息)，因此可以组成2^(n-k)个图样， 每个图样对应信道传输的一种传输结果。
– 当码字A经过信道传输后，接收到的码字为R＝A＋E – E称为信道错误图样
– 信息空间大小：2^k 种信息码字 [ I(k-1),I(k-2),…,I(0) ] – 码空间大小： 2^k种许用码字 [a(n-1),a(n-2),…,a(0) ]
• 提示：经过（n，k）编码后，空间发生扩展
2020/10/13
4
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
• (0000000) (0001011) (0010101) (0011110) • (0100110) (0101101) (0110011) (0111000) • (1000111) (1001100) (1010010) (1011001) • (1100001) (1101010) (1110100) (1111111)
11
1 0
0 1
1 1
0 0
1 0
0 1
a3 a2
0 0
a1
a0
2020/10/13
6
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
方程的解
• 3个方程，7个未知数，只能得到4个自由度（4个信息比特）
a6 a5 a4 a2 a6 a5 a3 a1 a6 a4 a3 a0
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
线性分组码
2020/10/13
1
BUPT-QUALCOMM Wireless Research Center
主要讲授内容
• 线性分组码的定义
– 线性 – 监督矩阵 – 生成矩阵
• 线性分组码的性质
– 线性性－》封闭性 – 最小码距等于非零许用码组的最小码重