电磁场与电磁波第6章

由麦氏第二方程 E B A
t t




E

A t


0
于是
E A
t
式中A（T.m)称为动态矢量位，简称矢量位。
(V)称为动态标量位，简称标量位。
即
E A
t
已知矢量位A 和标量位 可求相应的磁场和电场。
正弦电磁场一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与 时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即
E(r,t) Em (r) sin( t e (r))
式中 Em(r) 仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。 为角频率。e(r) 为正弦函数的初始相位。
由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间 函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，
H
H t
1 H H
2 t
E D t
E
E t
1 E E
2 t
E J E2

t

1 2
H
2

于是得

t

1 E2
2

H

E


E

H



t

在闭合面 S 包围的区域 V 中，当t = 0时刻的电场强 度 E 及磁场强度 H 的初始值给定时，又在 t > 0 的时间 内，只要边界 S 上的电场强度切向分量 Et 或磁场强度的 切向分量 Ht 给定后，那么在 t > 0 的任一时刻，体积 V
中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
S
E( r, t), H(r, t )
矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。
由麦氏第三方程 E






A t



由麦氏第一方程
2 A
t

H J E 将 B A
t
E A
t
H 1 A J E
第6章 时变电磁场
主要内容: 波动方程、电磁场的位函数、
电磁能量守恒定律、 惟一性定理、时谐电磁场
什么是时变电磁场：
源量（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场） 随时间变化的电磁场。
静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开讨论。 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变 化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场 相互依存，构成统一的电磁场。由于时变的电场和磁场相互 转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。
于是得


(E

H
)


w t

p
取体积分，并应用散度定理得

(E
S

H) dS

dW dt
源自文库

P
坡印廷定理
单位时间穿过闭
合面S进入体积V
的电磁场能量
体积V 内单位时
间电场能量和磁 场能量的增加
单位时间体积
V 内变为焦耳
热的电磁能量
任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。
2、坡印廷矢量
H J D t
E B t
得 H E E H H B E J E D
t
t
H E E H H B E J E D
t
t
其中
H B t
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散 的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因 此，时变电磁场是有旋有散场。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形 成电磁波。
时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
2、波动方程 由麦克斯韦方程组可以建立电磁场的波动方程，它
揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。
1 2

E2

1 2
H
2


E2
利用矢量恒等式 ( E H ) H ( E ) E ( H )


E

H



t

1 2

E2

1 2
H
2


E2
在时变场中总电磁能量密度为
w

we

wm

1 2

E2

1 2
H
2
单位体积损耗的的焦耳热为 p E2
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ t 2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系
时变电磁场的特点： 1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。 2）电场和磁场共存，不可分割。 3）电力线和磁力线相互环绕。 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定 场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。 电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。
一、波动方程
1、时变场麦克斯韦方程组
建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中 电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有 少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。
二、电磁场的位函数
静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。
时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。
由麦氏第四方程 B 0 可令
B A

2Ex t 2
0
2Ey x2

2Ey y 2

2Ey z2

2Ey t 2
0
2Ez x 2

2Ez y 2

2Ez z 2

2Ez t 2
0
◇ 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。
◇ 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件 下求解波动方程。
洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义
1、确定了 A 的值，与 B A共同唯一确定A；
2、简化了动态位与场源之间的关系，使得A单独由J 决定，
φ 单独由ρ 决定，给解题带来了方便；
原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维 空间中需要求解 6 个坐标分量。（有源区域）

t
将矢量恒等式

J


t



A t

A A 2 A
得

A

2 A

J




t



2 A t 2
即
2 A


2 A t 2

J





A


t

由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。
三、电磁能量守恒定律 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定
律——坡印廷定理； 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推
广到时变电磁场。 对于各向同性的线性媒质
电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度
we (r,t)

1
2
E 2 (r, t)
wm
(r, t )

1 2

H
2 (r, t)
同理
得
2E

2E t 2
0
2 H

2H t 2
0
电场E 的波动方程
磁场H 的波动方程
2为拉普拉斯算符，在直角坐标系中 2

2 x 2

2 y 2

2 z 2
无源区波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程
2Ex x 2

2Ex y 2

2Ex z 2
中，实际上等于求解 1 个标量方程。
在无源区域， 与 J均为零，上述场量和位函数的波动
方程变为齐次波动方程：
2E


2E t 2

0
2H

2H t 2
0

2 A
2A t 2

0
2


2
t 2

0
若静态场， 0 ，上述波动方程退化为相应的泊松 方程和拉普拉斯t 方程。
变场中 J 和 是相互联系的。
由上可见，按照罗伦兹条件规定 A 的散度后，原来 两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位 A 仅与电 流 J 有关，标量位 仅与电荷 有关。
因此，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标 量位 。求出 A 及 以后，即可求出电场与磁场。
这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解， 而且求解过程显然得到了简化。
前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还
需规定其散度。令 A （洛仑兹条件)。
t
所以
2 A 2 A J
t 2
同理
2

2
t 2


矢量位波动方程
标量位波动方程
以上二方程称为达朗贝尔方程。
此方程表明矢量位 A 的源是 J ，而标量位 的源是 。时
, ,
E, H
S 矢量（ E H ）代表垂
直穿过单位面积的功率， 因此，就是前述的能流密
度矢量 S ， 即 S E H
此式表明，S 与 E 及 H 垂直。又知 EH，因此，S， E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E 至 H 与 S 构成
右旋关系，如图示。
E
S H
坡印廷矢量 S E H W/m2
坡印廷矢量以 S 表示， 单位为W/m2。
1、坡印廷定理
设无外源 (J = 0, = 0) 的区域 V 中，媒质是线性
且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为
, ,
V E, H
H J D t
E B t
( E) 0
由麦氏第一、第二方程
( H) 0
• 既然Maxwell方程已经囊括所有宏观电磁现象，为什么还要 波动方程：答案是求解的需要。Maxwell方程里电场和磁场 耦合在一起，而波动方程里电场和磁场是独立出现的，它 们有各自的波动方程。后者有时便于求解，但方程的阶数 是二阶，比Maxwell方程高一阶。所以也有不用波动方程， 直接用Maxwell方程求解。 从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在 空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。
E(r, 0) &
E t (r, t) or
H(r, 0 )
V
H t (r, t)
利用麦克斯韦方程导出的能量定理，用反证法即可证明这个定理。
五、时谐电磁场 与电路和信号分析类似，为了便于分析，我们可以
把一般随时间变化的时变电磁场，用傅立叶变换分解为 许多不同时间频率的正弦电磁场（也称时谐电磁场）的 叠加。
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位
面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表
波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。 说明：(1）S 为时间 t 的函数，表示瞬时功率流密度；
（2）公式中，E、H 应为场量的实数表达式； （3）S 的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向
的单位面积的能量；

（4）S 的方向：电磁能量传播方向。
坡印廷矢量的瞬时值大小为 S(r,t) E(r,t)H(r,t) 可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁 场强度的瞬时值的乘积。 只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。 若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度 矢量为零。
四、惟一性定理
积分形式
全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理
高斯定律

H
l

dl


S
(J

D ) t

dS

E
l
dl


S
B t
dS

B
S
dS

0

D
S

dS

q
微分形式
H J D t
E B t
B 0
D
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有 旋无散的。
pl (r,t) E2 (r,t)
因此，时变电磁场的能量密度为
w (r,t) 1 E 2 (r,t) H 2 (r,t)
2
可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，而且 时变电磁场的能量还会流动。
为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密 度矢量(坡印廷矢量)，其方向表示能量流动方向，其大小表 示单位时间内垂直穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过 单位面积的功率，所以坡印廷矢量又称为功率流动密度矢量。
均匀无耗媒质的无源区域 0, J 0, 0 麦氏方程为
H E
t
E H
t
两边取旋度
E H
t
H 0
E 0
得 E 2E H
t
将矢量恒等式 E E 2E