2021-2022年高考数学一轮复习 第一篇集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条

2021年高考数学一轮复习第一篇集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关

系、充分条件与必要条件教案理

【xx年高考会这样考】

1．考查四种命题的意义及相互关系．

2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．

3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．

【复习指导】

复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判

定．

基础梳理

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

命题表述形式

原命题若p，则q

逆命题若q，则p

否命题若綈p，则綈q

逆否命题若綈q，则綈p

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

一个区别

否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．

两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假．

三种方法

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．

解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；

②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；

③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；

∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．

答案②③

2．(xx·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )．

\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．

答案 D

3．(xx·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )．

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，

∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.

答案 B

4．(xx·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.

答案 D

5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为 .

答案若a≤b，则有2a≤2b－1

考向一命题正误的判断

【例1】►(xx·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：

①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；

②A⃘B⇔A∩B＝∅；

③A⃘B⇔B⃘A；

④A ⃘B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .

其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)． [审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．

解析 ①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，有A ⃘B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，有A ⃘B 而A ∩B ＝{2}． ③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}，有A ⃘B 但B ⊆A . ④正确． 答案 ④

正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 【训练1】 给出如下三个命题：

①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ； ②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b ＜1，则b a

＞1； ③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中不正确命题的序号是( )． A ．①②③ B ．①② C ．②③

D ．①③

解析 对于①，可举反例：如a ，b ，c ，d 依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a 、b 异号，虽然a b ＜1，但b a

＜0，故②错；对于③，y ＝f (|x |)＝log 2|x |，显然为偶函数，故选B. 答案 B

考向二 四种命题的真假判断

【例2】►已知命题“若函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )．

A ．否命题是“若函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x

－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．

解析 f ′(x )＝e x

－m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m ≤e x

在(0，＋∞)上恒成立，故m ≤1，这说明原命题正确，反之若m ≤1，则f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D