中考专题复习—反比例函数

数学：运动变化型问题专题复习（苏科版九年级）

【考点导航】

运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型． 【答题锦囊】

例1 如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？

（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．

【思路点拨】 因为关于直线对称的两个三角形全等，

考虑到CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，可建立y 与t 的函数关系式；要判定四边形PQBA PQ ∥AB ，于是可列方程16

412312t

t =-； 第（3）、（4）小题是存在性探索题，先假设存在符合条件的结论，然后从假设出发利用

相似三角形的性质列方程进行求解．

【标准解答】

⑴由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，

∴S △PCQ =

t t CQ PC 2462

1

2+-=⋅． ∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称，

∴y=2S △PCQ t t 48122+-=．

⑵当

CQ

CP CA CB

=

时，有PQ ∥AB ，而AP 与BQ 不平行，这时四边形PQBA 是梯形， ∵CA =12，CB =16，CQ ＝4t ， CP ＝12－3t ， ∴16

412312t t =-，解得t ＝2．

∴当t ＝2秒时，四边形PQBA 是梯形．

⑶设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如图1，

图1

若PD ∥AB ，则∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°， ∴Rt △QMD ∽Rt △ABC ，

从而

AC

QD

AB QM =

， ∵QD =CQ =4t ，AC ＝12，

AB

20，

∴QM =

20

3

t ． 若PD ∥AB ，则

CP CM

CA CB =

， 得

204123312

16

t t t

+

-=， 解得t ＝

1211． ∴当t ＝12

11

秒时，PD ∥AB ．

（4）存在时刻t ，使得PD ⊥AB ． 时间段为：2＜t ≤3．

例２ 如图2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，AB=6，AD=4，DC=3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当PQ ∥AC 时，求x y ，的值；

（3）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．

【思路点拨】 作梯形ABCD 的高CE ，因为线段PQ 平分梯形ABCD 的周

长，所以9x y +=）小题，先依题意画出图形，则图形由“动”变“静”，再

设法列方程组求解．

【标准解答】 ⑴过C 作CE AB ⊥于E ，则CD=AE=3，CE=4，可得BC=5， 所以梯形ABCD 的周长为18． PQ 平分ABCD 的周长，

所以9x y +=，

因为06y ≤≤，所以39x ≤≤， 所求关系式为：939y x x =-+，≤≤． ⑵依题意，P 只能在BC 边上，79x ≤≤．

Ａ

C D

Q P

Ｂ

图2

126PB x BQ y =-=-，，

∵PQ AC ∥，

∴BPQ BCA △∽△，

∴BP BQ

BC BA =

， 即12656

x y --=

，即6542x y -=， 解方程组96542

x y x y +=⎧⎨

-=⎩， 得8712

1111x y ==，．

⑶梯形ABCD 的面积为18．

当P 不在BC 边上，则37x ≤≤， （a ）当34x <≤时，P 在AD 边上，1

2

APQ S xy =△． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有

1

92

xy =. 可得：918.

x y xy +=⎧⎨

=⎩， 解得36x y =⎧⎨

=⎩，

；

（63x y ==，舍去）．

（b ）当47x ≤≤时，点P 在DC 边上，此时1

4(4)2

ADPQ S x y =⨯-+． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有

1

4(4)92

x y ⨯-+=， 可得92217.x y x y +=⎧⎨+=⎩

，

此方程组无解．

所以当3x =时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．

例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .

(1)点P 在运动时，线段AB 的长度也在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值，并说明理由；

(2)在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q

【思路点拨】

(1)因为P 点是切点，所以无论线段AB AB 的距离始终是OP ．抓住这一点，易得线段AB P 为顶点的平

行四边形有三种可能，但只有两种可能符合条件．