2.2轴对称的基本性质(第1课时)
初中数学青岛版八年级上2.2《轴对称的基本性质》
1、选关键点， 2、作垂线， 3、取相等， 4、对称点顺次连。
B
l
A
D
CE
对应线段 所在直线 的交点在 对称轴上 F 或与对称 轴平行
校训：立德树人 求实创新 拓展 生成
如何寻找对称轴？
A
D
CE B
F
①取中点，做垂线
②过对应线段所在直线的两个交点作 直线。
思考：
校训：立德树人 求实创新
情景 回扣
轴对称的基本性质
实践探究 理解记忆
应用作图 拓展生成
校训：立德树人 求实创新 实践 探究
做一做
（1）把一张纸片对折，扎一个小孔，然后展开铺平，记得到的两个
小孔为点A与A′，折痕为MN，连接AA′交MN于点O。
猜一猜，说一说
（2）如果将纸片沿MN重新折 叠，线段OA与OA′有怎样的
M
数量关系？
（3）线段AA′与直线MN有怎 样的位置关系 ？猜想一下。并
l
A
O
A′
请总作结垂关线键，步 骤可取分相几等步。。
点A′就是所求点。
校训：立德树人 求实创新 拓展 生成
（2）已知点A和A′是对称点，如何确定点A和A′的对称 轴？
M
A O A′ N
取中点， 作垂线
校训：立德树人 求实创新 应用 作图
如何作直线l关于直线MN 的对称直线l ′
M
作法：
l
l′
1、在直线l 取不重合的两点A,B,
M
（5）连接DD′，交MN于点P， 你发现线段DD′与直线MN具 有怎样的关系？
A
A′
E
B
F
B′
D
P
D′
C G C′ N
轴对称的基本性质(第1课时)课件
点A′就是点A关于直线l的对称点；
2.类似地，作出点B关于直线l
的对称点B′； 3.连接A′B′.
B
B′
所以线段A′B′即为所求.
【规律方法】 作已知图形关于某条直线对称的图形的一般步聚:
1.找点 （确定图形中的一些特殊点）. 2.画点 （画出特殊点关于已知直线的对称点）. 3.连线 （连接对称点）.
【跟踪训练】
1．两个图形关于某直线对称，对称点一定在 ( D )
A．直线的两旁
B．直线的同旁
C．直线上
D．直线两旁或这直线上
2．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的
部分（ A ）
A．完全重合
B．不完全重合
C．两者都有
D. 没有关系
3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线 段被__对__称__轴__垂直平分. 4.下图是轴对称图形，相等的线段是_A_B_=_C_D_，__B_E_=_C_E__， 相等的角__∠__B_=_∠__C___.
A
ED
B
C
共同探究
l
已知对称轴 l 和一个点A，如何
画出点A关于 l 的对称点A′?
A
O
A′
作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上
截取OA′=OA,垂足为点O，点A′就是 点A关于直线l 的对称点.
【例 题】
例2 如图，已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直
线l对称的图形呢？
【解析】△ABC可以由三
（2）对应线段相等，对应角相等. 2.按要求作出一图形关于某条直线成轴对称的图形.
1.下面说法中，正确的是（ Ｃ ） Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则AB垂直平分MN. Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在一条直线MN，使 △ABC与△DEF关于MN对称. C.如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条， 则它是等边三角形. Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两 侧.
2.2轴对称的性质(1)
(1)2.2轴对称的性质教学目标1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．教学重点理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．教学难点轴对称性质的运用教学过程开场白同学们，你们喜欢照镜子吗你知道“你与镜中的你”有什么关系吗引入【一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）同学们的看法到底对不对通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．需满足几个条件（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．实践探索一1．指导学生完成下边的活动（投影要求）．活动一：如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA，AA与l相交于点O．2．探究：你有什么发现（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么你们是怎样发现的给直线l起个名字．（2）线段的垂直平分线你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义%线段的垂直平分线的特征是什么实践探索二指导学生完成活动二（投影要求）．仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、A B、BB．你有什么新的发现实践探索三（投影要求）如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．你又有什么发现引导学生观察，形成结论．返回情景导入题（投影图片）开始同学们的回答对不对先让学生自评，再由他评．投影例题&例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是，线段AC、AB 的在镜中的对应线段分别是，CD＝，∠CAB＝，∠ACD＝.（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗为什么（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗总结轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家。
初中数学【轴对称的基本性质】教案教学设计
年级八年级科目数学主备教师备课时间年月日课题轴对称的基本性质总 1 课时第 1 课时教学目标1.了解轴对称的基本性质,能画出与已知图形关于某条直线对称的图形；2.在直角坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标，知道对称点坐标之间的关系。
教学重点轴对称的基本性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征。
教学难点轴对称的基本性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征。
课前准备三角尺，直尺，课本，自主预习教学过程（一）先学环节1.自学，互学：利用8分钟，阅读课本34—38页，按要求完成下列任务，小组展示疑难问题。
预学核心问题⑴轴对称的基本性质：⑵画成轴对称的图形：⑶关于坐标轴对称的点的坐标特征：2.预学检测问题一：轴对称的基本性质：问题二：画成轴对称的图形问题三：关于坐标轴对称的点的坐标特征：(1)如图2-12，在直角坐标系中，已知点Q的坐标为(4,3)，画出点Q关于y轴的对称点Q′，写出点Q′的坐标，你发现点Q 与Q′的坐标有什么关系？利用轴对称的基本性质，说明你的理由.(2)画出点Q关于x轴的对称点Q′′，写出点Q关于x轴的对称点Q′′的坐标，你发现点Q与点Q′′的坐标有什么关系？(3)你能分别写出点(-1,0)关于y轴和x轴对称点的坐标吗？点(0，-1)呢？(4)一般地，已知点P的坐标是(a，b)，按照上面发现的规律，你能分别写出点P关于y轴的对称点P′和关于x轴对称的对称点P′′的坐标吗？解决问题评价：你在解决问题时遇到了哪些困难，此类问题今后如何处理？预学评价质疑：小组交流后，提出不能解决和有质疑的问题。
（二）展示环节3.反馈：以小组为单位，交流问题答案，并把小组内解决不了的问题写在题板上展示。
4.展讲：将各小组没有解决的疑问，讨论展讲。
（三）释疑环节5.点拨：对每一个小组的讲评给予适当的评价并做重点的点拨。
6.精讲:总结文字语言与符号语言的转换不能改变原有的意义。
例1：如图，画出△ABC关于直线l成轴对称的图形.例2：如图，在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(-2，1) ，B(1.5，-4)，C(0，3).(1)分别写出与△ABC关于y轴成轴对称的△A′B′C′的顶点坐标(2)分别写出与△ABC关于x轴成轴对称的△A′′B′′C′′的顶点坐标(3)分别画出△A′B′C′与△A′′B′′C′′.（四）训练环节7.精炼练习1.作一条线段AB关于直线MN的轴对称的图形。
2.2轴对称的基本性质(第1课时)
生活中的方程模型11.4一元一次方程的应用（1）七年级数学上册青岛版: 巍巍宝塔高七层, 点点红灯倍加增。
灯共三百八十一, 请问顶层几盏灯。
学习目标:2、会列一元一次方程解决有关实际问题,总结运用方程解决实际问题的步骤；3、通过列一元一次方程解决实际问题提高分析问题、解决问题的能力。
1.能找出实际问题中的已知量、未知量及等量关系1.兴华学校距青云双语7.5千米,老师今天开车以60千米每小时的速度行驶,x小时到达；2.牛牛的爸爸今年35岁了,是牛牛年龄的2倍多7岁,牛牛的年龄是x 岁；3.小红买10本练习本和3只笔共花了20元,已知练习本每本1.4元,每只笔x元；体验身边的方程:（找出已知量、未知量及等量关系）一座雄伟壮丽的七层宝塔,层层飞檐上闪烁着红灯,下层红灯数目是相邻上层的2倍。
如果共有381盏灯,请问顶层有几盏灯?列一元一次方程解应用题的一般步骤是: 1.审:分析题中已知量、未知量各是什么,明确各量之间的关系；4.列:根据相等关系列出方程；5.解并检验方程的解是否正确、符合题意；6.答:写出答案. 3.设:设未知数,用代数式表示其他量；2.找:根据题意找出等量关系；关键为响应安丘市政府“文明城市”的号召,青云山购进A,B两种树苗共12棵,已知A种树苗每棵20元,B种树苗每棵10元,若购进A,B两种树苗刚好用去了140元,问购进A,B两种树苗各多少棵?等量关压缩包中的资料: 一元一次方程的应用（1）课件.ppt 教学设计.doc。
2. 2轴对称的性质教案(2013年秋苏科版八年级上)
预 习 导 航
探索：两针孔 A． A 和线段 A A 与折痕 l 之间有什么关系？ 问题 1：如果把纸重新折叠，因为 A、 A 重合，那么线段 OA、O A 呢？ ，此时 O 是线段 A A 的
1 1 1 1 1
。
问题 2：∠1 与∠2 有什么关系？ 问题 3：折痕 l 与 A A 什么关系？ 一、概念探究： 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1．操作：取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做。 将长方形纸片对折，折痕为 l， （1）在纸上画△ABC； （2）用针尖沿△ABC 各边扎几个小孔 （3）将纸展开，连接 AA’ 、BB’ 、CC’
O · P 四、提炼总结： 画轴对称图形的方法：
A
O · P
A
1．先画对称轴，再画已知点的对称 2．先画已知线段各端点的 3．先画已知三角形的各顶点的
； ，再画出对称线段； ，再画出对称三角形；
4．成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 （ ）
.
A l B B
2．变式 1：请你分别在直线 l 上取一点 C，并作出△ABC 关于直线 l 对称的△ ABC 。 问题：三角形有三个顶点，你想到了什么？你该如何做？
变式 2：已知点 P 和点 P’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴。
P
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
P’
归纳：画轴对称图形的一般步骤： 1．定好 。 2．找准图形中的关键 。 3．作对关键 的对称 ，完成轴对称图形。 例 2 ． 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 EFGH 关 于 直 线 l 对 称 。 连 接 AC、BD ，设它们相交于点 P。怎么样找出 P 点关于 l 的对称点 Q？
2.2《轴对称的基本性质(1)》教学课件
l
2.29
c β
α 3.44
3.20 43°
等，所以 a=3.20厘米，b=3.44厘米，c=2.29厘米；
∠α=75°，∠γ=43°。
又因为三角形的内角和为180°，所以 ∠δ=∠β=180°-75°-43°=62°
随堂练习
练习：将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小 洞后铺平，得到的图形是（ C ）．
A
A′ B′
新知探究
如果两个图形关于一条直线成轴对称， 那么连接对应点的线段被对称轴垂直平 分，对应线段相等，对应角相等。
新知探究
整合提升 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后
将纸放在镜子前．
（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗？
E H
●
●
A
●
l
D
●
C
● ●
●
F
B
G
●
新知探究
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别
M
平分，即AO=A′O
A′
N
O
A
新知探究
小莹扎了三个孔，把纸展开铺平后连接各点，得到 了右下图，其中直线MN为折痕。思考并交流。
(1)线段AB与线段A′B′的长度有什么关系？ AB=A′B′ M (2)△ABC与△A′B′C′的三个 内角有什么关系？ △ABC与△A′B′C′各内角相等 (3)△ABC与△A′B′C′有什么 关系？ △ABC与△A′B′C′重合 B C N C′
新知探究
（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，
作直线AB、EG，你有什么发现吗？
解：（5）轴对称图形中的对称线段所在直线的交点
在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．
专题2.2轴对称的性质(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题2.2 轴对称的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 游戏中的轴对称】 (1)【题型2 利用轴对称的性质求角度】 (3)【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】 (4)【题型4 在格点中作轴对称图形】 (6)【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】 (8)【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】 (11)【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】 (13)【题型8 轴对称图案的设计】 (18)【题型1 游戏中的轴对称】【例1】（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点6cm、与直线l的距离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l对称轴跳至P5点；…．（1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是；（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是．【变式11】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【变式12】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．A．黑（3，7）；白（5，3）B．黑（4，7）；白（6，2）C．黑（2，7）；白（5，3）D．黑（3，7）；白（2，6）【变式13】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【题型2 利用轴对称的性质求角度】【例2】（2022秋•河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于．【变式21】（2022春•寿阳县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（）A．140°B．135°C．120°D．100°【变式22】（2022秋•台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是度．【变式23】（2022秋•房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R 是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．【变式31】（2022春•洛宁县期末）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【变式32】（2022春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM ＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为．【变式33】（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．（1）求AE的长；（2）求△ADE的周长．【题型4 在格点中作轴对称图形】【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，（1）写出顶点C的坐标；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．【变式41】（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）．（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；（不写作法）（2）写出点A1和C1的坐标；（3）求四边形A1B1C1D1的面积．【变式42】（2022秋•嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（﹣6，7），（﹣4，3）．（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系．（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1【变式43】（2022春•铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：（1）若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1，B1，C1的坐标；（2）若△A2B2C2是△ABC关于x轴对称的图形，请画出△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标．【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【变式51】（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．（1）求线段CN长．（2）连接FN，并求FN的长．【变式52】（2022秋•成都期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于．【变式53】（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是；？试说明理由；（2）问△MNK的面积能否小于12（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，∴AC+CB＝AC+＝．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N 当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．【变式61】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，点D，E在AB边上，AD＝CD，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【变式62】（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，点E为边BC上的一个动点．E1，E2分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接E1E2，则线段E1E2长度的最小值是．【变式63】（2022春•青羊区期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】【例7】（2022春•二道区期末）解答下列各题：（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，∠BAC＝70°，点D在BC的延长线上，三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线BP，CP相交于点P，求∠P的度数﹒（写出完整的解答过程）（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNCB中，设∠M＝a，∠N＝β，四边形MNCB的内角∠MBC 与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠P的度数为﹒（用含有α和β的代数式表示）（3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他条件不变，将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M，则∠BMC的度数为.（用含有γ的代数式表示）【变式71】（2022秋•洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作图痕迹，不写作法）．问题探究：（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．深入思考：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．【变式72】（2022春•临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A′处，EF为折痕，如图①所示．（1）若∠AEF＝30°，①求∠A′EB的度数；②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA′上的B′处，折痕为EG，如图②所示，求∠FEG的度数；（2）若改变∠AEF的大小，则EA′的位置也随之改变，则∠FEG的大小是否改变？请说明理由．【变式73】（2022秋•鼓楼区月考）问题情境如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的正角．以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB1折叠，则∠AA1B1＝70°．沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分线A1B2第二次折叠，则点B1与点C重合．此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？（填“是”或“不是”）．（2）小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角．【题型8 轴对称图案的设计】【例8】（2022秋•沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样的瓷砖拼出一个正方形，使所拼的图案为轴对称图形．在图4中画出你的四个设计方案．（图2、图3视为同一图案）【变式81】（2022•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．【变式82】（2022春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）【变式83】（2022秋•盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多．某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案．（至少设计四种图案）。
2.2《轴对称的基本性质(1)》参考课件
平分，即AO=A′O
A′ o A
N
小莹扎了三个孔，把纸展开铺平后连接各点，得 到了右下图，其中直线MN为折痕。思考并交流。 (1)线段AB与线段A′B′的长度有什么关系？ AB=A′B′ M (2)△ABC与△A′B′C′的三个 内角有什么关系？ A A′ △ABC与△A′B′C′ 各内角相等 B B′ (3)△ABC与△A′B′C′有什么 关系？ △ABC与△A′B′C′ 重合
●
l
D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别 是 E、G、F、H，线段AC、AB的对应线段 分别是 EF、EG ∠CAB= ∠FEG ，CD= FH . ， ，∠ACD= ∠EFH
●
A
●
l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
2.2 轴对称的性质(1)
回顾与思考：
通过本节课的学习，你有什么收获？ 还有哪些疑惑？
反馈训练
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形 小洞后铺平，得到的图形是（ C ）．
2. 如图，在正方形网格上有一个△ABC. （1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作 法）； （2）若网格上的最小正方形边长为1，求△ABC 的面积.
2.2 轴对称的性质(1)
• 自主预习 课本34~36页
1、火眼金睛辨图形
2、我问你答
什么叫做轴对称、什么叫做对称轴、什么叫 做对称点
如图：把一张对折后扎一个孔， 然后展开铺平。 连接得到的两个小孔A和A′ 线段AA′与折痕MN交点为O
2.2轴对称的基本性质1_青岛版
2、2 轴对称的基本性质（1）【课程标准】探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
【学习目标】1.经历探索轴对称图形性质的过程，理解连接对应点的线段被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质.2.会画与已知图形关于某条直线对称的图形.【学习重点】1.经历探索轴对称图形性质的过程，理解其性质.2.会画与已知图形关于某条直线对称的图形.【学习难点】经历探索轴对称图形性质的过程，理解其性质.【知识链接】1.什么是“两个图形关于某条直线成轴对称”？2、右图中的两个三角形关于直线l成轴对称，已知三角形的部分边长和角的度数如图所示。
（1）找出所有对应边和对应角（2）求未知的边长和角的度数【自主探究】实验1把一张纸对折后扎一个小孔（如下面左图），然后展平（如下面中图），连接得到的A'与折痕MN的交点为O.两个小孔A与A'，记ANM A 线段A A '与直线MN 具有怎样的位置关系？你发现了哪些等量关系？再扎几个小孔试试.探索成轴对称图形的性质 实验2.如右图，小莹扎了三个孔，把纸展平后连接各点.思考下面的问题：（1）与ABC ∆C B A '''∆有什么关系？（2）连接C C B B A A ''',,，它们各自与直线MN 具有怎样的位置关系？（3）延长BC,B ˊC ˊ，它们的交点与直线MN 具有怎样的位置关系？【归纳总结】轴对称的基本性质：交流与发现如下图，在纸上画一条直线MN ，再在直线MN 的一侧扎一个小孔A ，⑴不用折纸的方法你能找到小孔A 关于直线MN 的对称点的位置吗？与同学交流.Cl⑵你能说明你的理论依据吗？⑶如图，你能画出与直线AB关于直线l成轴对称的线段吗？例1如下图，画出ABC关于直线MN成轴对称的图形。
【总结与反思】画一个多边形关于一条直线的轴对称图形，可以先分别画出已知多边形的关于这条直线的对应点，然后，便得到已知多边形关于这条直线成轴对称的图形。
2.2轴对称的性质(1)
课题：2.2 轴对称的性质（1）课型：新授主备：李祥备课组长：丁虎平教研组长：吴进【学习目标】1．知道线段的垂直平分线的概念，知道轴对称的有关性质；2．经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念及有条理地思考和表达能力.【温故知新】1. 叫做这条线段的垂直平分线.2.成轴对称的两个图形，如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的 .3.成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __. 【新知应用】操作1：在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A,A’思考：（1）两针孔A,A’与折痕之间有什么关系？线段AA’呢？（2）什么是线段的垂直平分线？操作2：在纸上再任意画一点B，同样地，折纸、穿孔、展开，并连接AB,A’B’、BB’，线段BB’与l有什么关系？线段AB与A’B’有什么关系？操作3：再在纸上任画一点C ，并仿照上面进行操作，ΔABC 与ΔA ’B ’C ’有什么关系？你能得出什么结论？结论： . 练习：1.画出图中成轴对称的两个图形的对称轴,并标出两对对称点,说说你是怎么画的？2.画出图中的对称轴,并把该图形在对称轴上的点用字母标注出来.3. 如图，线段AB 与A ′B ′关于直线l 对称.连接AA ′ 、BB ′，设它们分别与l 相交于点P 、Q.(1)在所画的图形中,相等的线段有:__________; (2) AA ′与 BB ′平行吗?为什么?C【变式训练】1.如图，哪些是轴对称图形？如果是，请画出轴对称图形的所有对称轴．2.如果△ABC 与△A ′B ′C′关于直线l 对称,且∠A=40°,∠B ′=35°,那么∠C=_______.3.如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上.请你再找一个格点D ，使点A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形.【随堂检测】1.如果ΔABC 与ΔA ’B ’C ’关于直线l 对称，且∠A=50°，∠B ’=70°，那么∠C ’=2. ∠2＝46°,则x ＝ .3.如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DB （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．方法 1 方法 2【课后作业】1．如下图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：2．（1）观察图中点A 和点A ’的对称轴，点B 和B ’的对称轴，点C 和C ’的对称轴，你有什么发现？（2）图中的△ABC 和△A ’B ’C ’成轴对称吗？如果成轴对称，请画出它们的对称轴。
八年级数学上册 2.2 轴对称的基本性质1 青岛版
一定要记 住哟!
如果直线l外有一点A,那么怎样画出点A关于直 线l的对称点A′?
l
┏
●
A
O
●
A′
过点A画直线l的垂线AO，设垂足为点O，再截取 O A′=OA 点A′就是所要画的对称点。
变:如果直线l外有线段AB,那么怎样画出线段AB 关于直线l的对称线段A′B′?
B ●
A ● O
B
B′
● B′
A A′
l●ຫໍສະໝຸດ A′BB′l
A′ A
l
例题
例1 如图，做出△BCD关于直线l的对称图形。
l
B′
B
D
C
C′
例题
例2 右图中两个三角形关于直线l成轴对称。如果三角 形的部分边长(单位：厘米)和角的度数如图所示，求未 知的边长和角的度数。
l
a 75°
γ
2.29
bδ
α
3.20
c
教学目标： 1.探索轴对称图形的性质， 对应线段，对应角相等； 2.会用成轴对称的图形的 性质解决相应问题
轴对称： • 如果把一个图形沿某一条直线折叠后， 能够与另一个图形完全重合，那么这两个图 形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做它 们的对称轴，折叠后两个图形上互相重合的 点叫对称点。
轴对称的性质： 1.成轴对称的两个图形全等．
43°
β
3.44
课堂小结
通过本节课学习，我们知道：
如果两个图形关于一条直线成轴对称，那么连 接对应点的线段被对称轴垂直平分，对应线段 相等，对应角相等。
2.2轴对称的基本性质 教案 2022—2023学年青岛版数学八年级上册
2.2轴对称的基本性质教案2022—2023学年青岛版数学八年级上册1. 教学目标•理解轴对称的概念和基本性质。
•掌握寻找轴对称图形的方法与步骤。
•能够绘制轴对称图形。
•运用轴对称性质解决实际问题。
2. 教学内容2.1 轴对称的概念轴对称是数学中一个重要的概念，它描述的是一个图形相对于某条轴线具有对称性。
在平面几何中，我们通常以x轴、y轴或者某一斜线作为轴线。
对于任意一点A，如果其关于轴线对称的点为A’，则称轴线为A的轴线，点A和A’互为轴对称点。
2.2 轴对称的基本性质•轴对称的图形的对称轴是唯一的。
•轴对称的图形上的任意一点和它的对称点的连线垂直于对称轴。
•轴对称的图形上的任意一条线段与对称轴的交点的中点在对称轴上。
3. 教学步骤3.1 导入引入•让学生观察一张轴对称图形，让学生描述其中的特点，并与同学一起讨论。
•引出轴对称概念，引导学生理解轴对称的概念和基本性质。
3.2 理解轴对称的基本性质•演示一个例子，通过将一个点关于不同的轴线进行对称，让学生观察点的位置变化，并引导学生发现轴对称的基本性质。
3.3 寻找轴对称图形的方法与步骤•按照以下步骤和方法，让学生学习寻找轴对称图形：–步骤一：观察图形，找出其中的对称轴线。
–步骤二：选择一个点，并找出其对称点。
–步骤三：连接原点和对称点的线段，观察线段与对称轴的交点及其性质。
–步骤四：根据观察结果，判断图形是否为轴对称图形。
3.4 绘制轴对称图形•给学生一个包含对称轴线的图形，让学生按照以下步骤绘制出轴对称图形：–步骤一：将对称轴线绘制在纸上。
–步骤二：选择一个点P在图形上，并标出其对称点P’。
–步骤三：将点P与点P’连线，并观察连线与对称轴的交点。
–步骤四：重复步骤二和步骤三，直到将图形完整绘制出来。
3.5 运用轴对称性质解决实际问题•给学生几个实际生活中的问题，让他们利用轴对称性质解决：–问题一：一块正方形的木板上有一个圆孔，该圆孔与木板上的一个顶角相切，试问该圆孔是否为轴对称图形？为什么？–问题二：小明通过折纸的方法制作一个心形图案，他想知道折纸的图案是否为轴对称图形？请你帮助小明分析。
§2.2 轴对称的性质(1)教案
操作2：仿照上面的操作，在对折的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B’，连接BB’、AB、A’B’,BB’与折痕 有什么关系？
再仿照上面的操作，扎孔、展开、标记、连线，CC’与折痕 有什么关系？
小组合作进行操作、探究．小组讨论，代表回答，形成认识
小组合作通过观察、讨论，形成结论．能用自己的语言有条理地得出结论
学段学科
初一数学
主备人
课题
§2.2轴对称的性质（1）
教学目标
1.知道线段的垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线.
2.经历探索轴对称的性质的活动的过程，进一步发展空间观念，以及有条理地思考和表达的能力.
教学重点
准确理解成轴对称的两个图形的基本性质．
教学难点
应用轴对称的性质解决一些实际问题．
【当堂练习】
1、在镜子中看到时钟显示的时间是
则实际时间是.
2、下列右侧四幅图中，平行移动到位置M后能与N成轴对称的是（）
3、如图，线段AB与 关于直线 对称，连接 、 ,设它们分别与 相交于点P、Q。
（1）所得图中，相等的线段有那几对？
（2） 与 平行吗？为什么程（教师）
学生活动
设计意图
【情景引入】
操作1：在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A、A’.
探索：两针孔A、A’和线段AA’与折痕 之间有什么关系？
问题1：如果把纸重新折叠，因为A、A’重合，那么线段OA、OA’呢？那么O是的AA’的什么点？
问题2：∠1与∠2有什么关系？
【小结】
这节课你有什么收获？
学生自由发表意见．
2.2__轴对称的性质
例题：在直角坐标系中，已知 △ABC的顶点坐标分别是 A（-2,1)，B(1.5,－4），C(0,3) (1)分别写出△ABC关于y轴成轴 对称的△A′B′C′的顶点坐标 (2)分别写出△ABC关于y轴成轴对称的△A″B″C″ 的顶点坐标
2.2 轴对称的性质(1)
小结
1．轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对 称轴垂直平分． 2．直角坐标系中，关于x轴、y轴对称的点的坐标有什么 特点？
2.2
轴对称的基本性质
2.2 轴对称的性质(1)
活动一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔； 再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折
痕记为l ；连接AA′，AA′与l相交于点O ．
你有什么发现 （小组交流）？ 答:l垂直平分AA′ l
A
● ●
l
O
●
A′
2.2 轴对称的性质(1)
A●
1
l
o
●
ＭＮ垂直平分ＤＤ′
B
Ｄ C Ｎ
C′ Ｄ′
●
●
B′
2.2 轴对称的性质(1)
说一说
A
轴对称的性质
A
轴对称的性质： 1．成轴对称的两个图形全等． 2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对 称轴垂直平分．
2.2 轴对称的性质(1)
交流与发现：
如图，在纸上做一条直线ＭＮ， 再在直线ＭＮ的一侧取一点Ａ， 你能利用轴对称的性质，画出 点Ａ关于直线ＭＮ的对称点吗？
2
●
A′
因为 所以
把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A′重合， 线段OA、OA′重合，
即 O是AA′的中点． 因为 ∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°， 所以 ∠1＝∠2＝90°． 所以 l 垂直且平分AA′．
2.2画轴对称图形 第1课时 课件(人教版八年级上)(1)
【自主解答】(1)所画图形如图所示：
(2)这个整体图形共有4条对称轴.
【想一想】 画一个图形关于某条直线对称的图形的依据是什么? 提示：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直对称变换的基础和关键是作一点关于某直线对称
的对称点，然后再将这些对称点按顺序连接即可.
2.两个图形关于某一条直线对称，这两个图形一定是全等图
形.( √ )
3.两个图形是全等图形，那么这两个图形一定关于某条直线 对称.( × ) 4.若点A与点A′到直线l的距离相等，则点A与A′关于直线l 对称.( × )
知识点
画轴对称图形
【示范题】如图，在10×10的方格中有一个四边形和两个三角
形(所有顶点都在方格的格点上).
【备选例题】已知四边形ABCD，如果点D，C关于直线MN对称，
(1)画出直线MN. (2)画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形.
【解析】(1)如图，直线MN即为所求. (2)四边形A′B′DC即为四边形ABCD关于直线MN的对称图形.
【方法一点通】
1.画轴对称图形取特殊点的一般方法
(1)线段取线段的两个端点.
2.画一个图形的轴对称图形的方法：几何图形都可以看作由
点 组成，对于某些图形，只要画出图形中一些_______( 特殊点 如 ___ 线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的
轴对称图形.
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.若线段AB和A′B′关于直线l对称，则AB=A′B′.( √ )
(1)请你画出三个图形关于直线MN的对称图形.
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这 个整体图形对称轴的条数.
【思路点拨】(1)根据轴对称的性质找到各点的对称点，然后 按照原图形连接即可. (2)题目的意思就是把(1)中得到的整体图形看作一个图形，来 判定轴对称图形的对称轴的条数.
2.2 轴对称的性质(1)教案
怀文中学2014---2015学年度第一学期教学设计初 二 数 学（2．2轴对称的性质1）主备：徐秀超 审核：李磊 日期：2014-9-18学习目标：1．知道线段的垂直平分线的概念，探索并掌握“成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线”等性质．2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理地思考和表达能力．3．利用轴对称的基本性质解决实际问题．教学重点：线段的垂直平分线的概念；“对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”等性质． 教学难点：轴对称的性质的理解和拓展运用． 布置作业： 教学过程： 一、自主探究1．什么叫线段的垂直平分线？ 2．成轴对称的两个图形有何性质？二、自主合作1．活动一：如图所示，在纸上任意画一点A ，把纸对折， 用针在点A 处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A 、A ′．思考：线段AA ′与折痕MN 之间有什么关系?归纳： 叫做线段的垂直平分线. 2．活动二：取一张长方形纸片，按下面步骤做一做． 将长方形纸片对折，折痕为l ，（1）在纸上画△ABC ；（2）用针尖沿△ABC 各顶点扎几个小孔（3）将纸展开，连结A ′B ′、B ′C ′、A ′C ′，AA ′，BB ′，CC ′， 思考：（1）△ABC 与△A ′B ′C ′有何关系？（2）线段AB 与A ′B ′，AC 与A ′C ′，BC 与B ′C 有什么关系? ∠A 与∠A ′，∠B 与∠B ′，∠C 与∠C ′有什么关系?（3）线段AA ′，BB ′，CC ′与对称轴l 有何关系？归纳：轴对称的性质 ．三、自主展示1．两个图形关于某直线对称，对称点一定在 （ ）A ．这条直线的同旁B ．这条直线的两旁C ．这条直线上D ．这条直线的两旁或这条直线上2.下列说法正确的是（ ）A ．直线L 上的一点关于直线L 的对称点不存在B ．关于直线L 对称的两个图形全等C ．△ABC 和△A /B /C /关于直线L 对称,则△ABC 是轴对称图形D ．AD 是△ABC 的中线,若△ABC 不是等腰三角形,则△ABC 关于AD 对称的图形不存在 3．已知△ABC 关于直线MN 对称，则下列说法错误的是（ ）A ．△ABC 中必有一个顶点在直线MN 上B ．△ABC 中必有两个角相等 C ．△ABC 中，必有两条边相等D ．△ABC 中必有一个角等于60° 4．仔细观察下面的图案，并按规律在横线上画出合适的图形．5．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°，∠2＝46°，则x ＝ ．四、自主拓展1．已知如图，四边形ABCD 关于直线MN 对称，其中A ，C 是对称点， 则直线MN 与线段AC 的关系是__________.2．如图，∠MON 内有一点P ，点P 1、P 2分别是点P 关于OM 、ON 的对称点，P 1P 2与OM 、ON 分别交于点A 、B ． 若P 1P 2＝10厘米，则△PAB 的周长为（ ） A ．6厘米 B ．8厘米 C ．10厘米 D ．12厘米五、自主评价教学反思：。
人教版八年级数学上册《轴对称(第1课时)》示范教学设计
轴对称（第1课时）教学目标1．了解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．教学重点轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．教学难点成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质．教学过程新课导入对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子（如图）．【师生活动】教师出示图片，学生观看．【设计意图】通过观看生活中常见的对称现象，引出本节课的新知，让学生感受数学和生活的紧密联系．新知探究一、探究学习【问题】1．如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？【师生活动】学生按照要求动手操作，教师提示“折痕处不要完全剪断”．【答案】这些窗花沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．【问题】2．结合下面动图，总结你的发现．【新知】像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【问题】你能举出一些轴对称图形的例子吗？【师生活动】学生独立思考，然后教师展示图片给出参考答案．【答案】【设计意图】让学生亲自动手制作日常生活中熟悉的窗花剪纸，教师提出问题，学生分小组合作交流，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手能力和观察归纳能力．二、典例精讲【例1】如图的每个图形都是轴对称图形吗？如果是，请画出它的对称轴．【师生活动】学生独立思考，教师给出答案并讲解．【答案】解：第1个图形上的字母不同，对折之后，直线两旁的部分不能互相重合，所以不是轴对称图形；第2个图形是轴对称图形，对称轴如图．【设计意图】通过例题1的练习与讲解，巩固学生对已学知识的理解及应用．三、探究学习【思考】下面的每对图形有什么共同特点？【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并尝试作答．【答案】每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合．【新知】像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．【设计意图】通过问题思考，引出轴对称知识．【问题】请你标出图中点A，B，C的对称点A'，B'，C'．【师生活动】教师提出问题，学生独立作答．【答案】解：【设计意图】检验学生对轴对称知识的理解及应用．四、典例精讲【例2】下列给出的每幅图形中的两个图案是成轴对称吗？如果是，试着画出它们的对称轴．【师生活动】教师提出问题，学生独立作答．【答案】解：第1幅图形中的两个图案不成轴对称，第2幅图形中的两个图案成轴对称，对称轴如图．【归纳】成轴对称的两个图形一定全等，全等的两个图形不一定成轴对称．【设计意图】通过例题2的练习与讲解，让学生初步理解成轴对称的两个图形与全等的两个图形之间的关系．五、探究学习【思考】1．观察动图，试着说一说轴对称图形与轴对称有什么区别与联系？【师生活动】教师展示动图，学生观察并尝试归纳总结．【归纳】轴对称图形与轴对称的区别与联系【设计意图】通过对比讲解，加深学生对知识的理解与掌握．【思考】2．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称，点A ′，B ′，C ′分别是点A ，B ，C 的对称点，线段AA ′，BB ′，CC ′与直线MN 有什么关系？【分析】图中，点A，A′是对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合．于是有AP＝P A′，∠MP A＝∠MP A′＝90°．对于其他的对应点，如点B与B′，点C与C′也有类似的情况．因此，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．【新知】轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．例如下图中，l垂直平分线段AA′，l垂直平分线段BB′．课堂小结板书设计一、轴对称图形二、轴对称三、轴对称及轴对称图形的性质课后任务完成教材第60页练习1～2题．。
2.2.1 轴对称的性质1
●
D′ A′
A
C
C′ B′
B
你能画出三角形ABC与三角形A ′ B ′ C ′ 的对 称轴吗？
1．如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是 AB上一点．将Rt△ABC沿CD 折叠，使B点落在AC边上的 B'处，则∠ADB'的度数为 ( ) A．25° B．30° C．35° D．40°
●
C
●
●
F
B
G
●
说一说
A
轴对称的性质
A
轴对称的性质：
1．成轴对称的两个图形全等．（对应线段相等、对应角相等） 2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．
3 ．成轴对称的两个图形中，对应点的连线互相平行(或在同 一条直线上)
3.延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直 线AB、EG，你有什么发现吗？
所以 AE ∥BG．
l
● ●
●
A D
E
●
●
C
●
H
●
F
B
G
●
2.AE 与BG 平行，能说明轴对称图形对称点的连 线一定互相平行吗？
解：（4） 不一定． 如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是 在同一条直线上，从而说明轴对称图形对称点的连线 互相平行或在同一条直线上． A
● ●
●
l D H
●
E
2．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E，F分别为AB， CD边上的点．将纸片沿EF折叠，求图中①，②，③，④ 四个三角形的周长之和．
3．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时， 试求： (1) 写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； (2) 设∠AED的度数为 x，∠ADE的度数为 y，那么∠l，∠2的度数 分别是多少? (用含有x或y的代数式表示) (3) ∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个 规律．
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八年级数学导学稿
第二章图形的轴对称
课题2.2轴对称的基本性质（第1课时）
繁华初中 陈瑞莲
学习目标：
1．探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角
相等的性质。
2．利用轴对称的性质尝试解决一些实际问题。
重点：知道关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律
难点：能作出关于x 轴、y 轴对称的几何图形
教学过程
【温故知新】
1、把一个图形沿某条直线折叠后，得到一个与它全等的图形，图形的这种变化叫做 。
这条直线叫做
2、用笔尖扎重叠的纸可以得到成轴对称的两个图案。
（1）找出它的两对对应点、对称轴
（2）用测量的方法验证你找到的对应点所连线段分别被对称轴垂直平分。
3、成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴
【创设情境】
投影展示蝴蝶、风筝和飞机的图片，激趣引入。
2、提问：什么是轴对称？什么是轴对称图形？轴对称与轴对称图形有什么区别？3、点明本节课的学习目标——探索轴对称的性质。
【探索新知】
【自主探究】
实验1
把一张纸对折后扎一个小孔（如下面左图），然后展平（如下面中图），连接得到的两个小孔A 与A '，记A A '与折痕MN 的交点为O.
线段A A '与直线MN 具有怎样的位置关系？你发现了哪些等量关系？再扎几个小孔试试.
探索成轴对称图形的性质
实验2.
如右图，小莹扎了三个孔，把纸展平后连接各点.思考下面的问题：
（1）与ABC ∆C B A '''∆有什么关系？
（2）连接C C B B A A ''',,，它们各自与直线MN 具有怎样的位置关系？
【归纳总结】
C B
N
M A N M A
l B A
轴对称的基本性质：
交流与发现
如下图，在纸上画一条直线MN ，再在直线MN 的一侧扎一个小孔A ，
⑴不用折纸的方法你能找到小孔A 关于直线MN 的对称点的位置吗？与同学交流.
⑵你能说明你的理论依据吗？
⑶如图，你能画出与直线AB 关于直线l 成对称的线段吗？
知识点二 利用轴对称的性质作图
例1
如下图，作出ABC 关于直线MN 的对称图形
讨论交流上述各图形作法要领、注意点，并归纳画法基本步骤：
【巩固提升】
下列说法正确的是（ ）
A.一个图形的轴对称图形只能作一个
B ．一个图形的轴对称图形有有限个
C.因为选取的对称轴不同，所以作一个图形的对称图形可以有无数个
D.不规则的。
复杂的图形不存在对称图形
【课堂小结】
谈一谈：今天你学得了哪些知识与方法？
【达标检测】
1、（1）按下列要求，作点A 关于直线l 的对称点A ’
①过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ；②延长AB 至A ’，使A ’B=AB.。
如图，点A ’就是点A 关于直线l 的对称点。
（2）请你作出下图中线段AB 关于直线l
的对称线段A ’B ’。
（说明：作对称线段其实就是作两个对称点就行了）。