人教版七年级数学培优班暑期讲义

七年级数学培优班暑期讲义
第一章有理数
§1.有理数的相关概念
整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.
只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5
-互为相反数,即2.5是2.5
-的相反数； 2.5
-是2.5的相反数.
在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5
-的点与原点的距离是5,所以5
-的绝对值是5,记作|5|5
-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.
这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.
例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C,最低气温为4
-C,那么这天的最高气温比最低气温高（）
A. 4 C
B. 8 C
C. 12 C
D. 16 C
例2.下列说法正确的是（）
A. 一个有理数不是整数就是分数
B. 正整数和负整数统称整数
C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数
D. 0不是有理数
例3．数,,
x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）
A. 0
x y z
>>> B. 0
y x z
>>>
C. 0
y x z
<<< D. 0
x y z
<<<
例4.说出下列各数的相反数：
16,－3,0,
1
2007
-,0.001,m,n-,m n
-.
例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）
练习一
1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整
数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 下列说服中正确的是（ ）
A. 正整数和负整数统称为整数
B. 正数和负数统称为有理数
C. 整数和分数统称为有理数
D. 自然数和负数统称为有理数
3. 以下四个判断中不正确的是
A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数
B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称
C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等
D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等
4. 下面四个命题中,正确的是( )
A. 一切有理数的倒数还是有理数
B. 一切正有理数的相反数必是负有理数
C. 一切有理数的绝对值必是正有理数
D. 一切有理数的平方是正有理数
5. 在数轴上,点A 对应的数是－2006,点B 对应的数是＋17,则A 、B 两点的距离是（ ）
A. 1989
B. 1999
C. 2013
D. 2023
6. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.
7. 下列说法中错误的是（ ）
A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.
B. 数轴上原点表示数0.
C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.
D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 有最大的整数
B. 有最小的负数
C. 有最大的正数
D. 有最小的正整数
练习二
1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的
图7
3210x 0－1－2－3－4－5
A. 相反数
B. 倒数
C. 绝对值
D. 平方
2. If we have 0,0<-<b a b
a .and a+6>O,then the points in real number axis,given by a and b,can be represented as( )
(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)
3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是
A. a+b+c>0
B. c>|a+b|
C. |a-c|=|a|+c
D. |b-c|>|c-a
4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是
A. a,b 是正数,c<0
B. a,c 是正数,b<0
C. b,c 是正数,a<0
D. a,c 是负数,b>0
5. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是
A. 0ab >
B. 0ab ≥
C. 0ab <
D. 0ab ≤
6. a 为有理数,下列说法中正确的是
A. 21()2007a +为正数
B. 21()2007
a --为负数 C. 21()2007a +为正数 D. 212007
a +为正数
7. 若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )
A. a+b+c+d 一定是正数．
B. d+c-a-b 可能是负数．
C. d-c-b-a 一定是正数．
D. c-d-b-a 一定是正数．
8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值.
9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值.
10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值.
§2. 有理数的运算
－、知识提要
1. 整数和分数统称为有理数.
2. 有理数还可以这样定义： 形如p m
(其中,m p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数. 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数.
3. 有理数可以用数轴上的点表示.
4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数.
5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数.
6. 有理数的运算法则：
(1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数.
(2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.
(3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0.
乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方,记为n a .
(4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.
整数的运算律对有理数的运算也适合.
二、例题与练习
例1. 2243(43)-⨯--⨯=____________.
例2. 13117(0.125)( 1.2)(1)3213
-⨯-÷-⨯-=____________ .
实践练习：
1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯.
2. 计算：78(0.125)8-⨯.
例3. 用简便方法计算797997999799997++++=__________ .
例4. 314151617181()()()()()()4556677889910
++++++++++-=_________.
实践练习：
1. 计算：9999999999991999999⨯+=__________ .
2. 计算：112
1
2
3
()()233444++++++ 1
2
34124849()()555550505050+++++++++=________ .
3. 计算：1
1
111
(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000-----=________ .
例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( )
(A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数.
例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足10a b +=,则必有 ( )
(A)210n n a b ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭. (B)21
210n n a b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭.
(C)3210n
n a b ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭. (D)21
2110n n a b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭.
实践练习：
1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( )
(A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数.
(C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数.
2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2.
练习三
1. 计算：211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=________ .
2. 计算：200120082008200820012000⨯-⨯=_________ .
3. 计算：374841(0.625)()8(1)54
-⨯⨯⨯-.
4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______.
5. 20(0.300.310.320.69)÷++++的值的整数部分是_______ .
6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ .
7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个.
8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少?
§3. 有理数的巧算
知识要点：
整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数
n m 的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质.
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．
四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.
有理数计算中常用到的一些等式如下：
（1）11m n mn m n
+=+；（2）()11111n n n n =-++；（3）()11m n n m n n m =-++ （4）()()22a b a b a b +=+-；（5）()11232n n n ++++
+=； （6）()()22221211236n n n n ++++++=
例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷⨯-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦
实践练习：
1、计算：831.82
16.93 1.16 1.3255⎛⎫⨯÷÷⨯⨯ ⎪⎝⎭
2、计算：()()()43188431 2.524242641515⎧⎫⎡⎤⎛⎫----÷+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩
⎭
3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050⎛⎫+- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭÷+ ⎪⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭
例2.（1）计算：111112233419992000
++++⨯⨯⨯⨯
（2）计算：
111113243519982000++++⨯⨯⨯⨯
实践练习：
1、计算：
1111599131317101105
++++⨯⨯⨯⨯
2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56
15
3、计算： 2222222271911119917191111991
++++++++----
例3.计算：2222222123499100101-+-+
+-+
实践练习：
1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-+
+-+
2、计算：222222222468101298100-+-+-+
+-
3、计算：
()()2222222224610013599123891098321++++-++++++++++++++++
练习四
1、计算：237970.71
6.6 2.20.7 3.31173118
⨯-⨯-÷+⨯+÷
2、计算：137153163127255248163264128256
+++++++
3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56
15
4、计算：3112122911532140.25534335⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5、计算：111111111357911131517612203042567290
++++++++
6、计算：2222222213579114951-+-+-+
+-
7、计算：
11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯
8、1999减去它的
12,再减去余下的13,再减去余下的14,…,依此类推,一直减去余下的
11999
,那么最后剩下的数是多少?
第二章 整式
§1．单项式：
1.单项式的概念
由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.
判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5.
2.单项式系数和次数
单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式3
1
a 2h,2
πr,a bc,－m 的系数和次数.
例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.
①x ＋1； ②x
1； ③πr 2； ④－2
3a 2b.
例2.下面各题的判断是否正确?
①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥3
1πr 2h 的系数是3
1.
注意：
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.
§2．多项式
1．列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长是 ；
(2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______；
(3)图中阴影部分的面积为_________；
(4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只.
2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a ＋b); (2)21＋x ; (3)a ＋b ; (4)2a ＋4b .
几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式
5232+-x x 有三项,它们是23x ,－2x,5.其中5是常数项.
一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式.
单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.
例1.判断：
①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3,次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4,常数项为1.
例2.指出下列多项式的项和次数：
(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2.
例3.指出下列多项式是几次几项式.
(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2.
例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件.
课堂练习： ①填空：－4
5a 2b －3
4a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项
为 ,常数项为 ,写出所有的项 .
②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件.
§3．多项式的升(降)幂排列
请运用加法交换律,任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?
1．升幂排列与降幂排列：
有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.
例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.
若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.
例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如：
按x 降幂排列：
例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列.
例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列.
(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列.
想一想：
观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点?
例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列.
例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列
.
(1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： .
小结：
对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:
(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；
(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.
§4.同类项
创设问题情境
⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=
观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2,
83, 9a , －3
2
xy , 0, 0.4mn 2
, 9
5
,2xy 2
我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－
3
2xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一
类,还有8
3、0与9
5也可以归为一类.8x 2y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－32
xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.
像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的8
3、0与9
5也是同
类项.
例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( )
(3)3x 2y 与－3
1yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项. ( )
(5)23与32是同类项. ( )
例2.指出下列多项式中的同类项：
(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋3
1xy 2－2
3yx 2.
例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项?
例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)3
1(s ＋t)－5
1(s －t)－4
3(s ＋t)＋6
1(s －t)；
(2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t.
课堂练习：
1.请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?
2.若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______
§5.整式的加减
为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：
①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?
②若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?
可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x ＋25y)元.
由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则：
把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.
例1.找出多项式3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5种的同类项,并合并同类项.
例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.
(1)2x 2＋3x 2=5x 4； (2)3x ＋2y=5xy ； (3)7x 2－3x 2=4； (4)9a 2b －9b a 2=0.
例3.合并下列多项式中的同类项：
(1) 2a 2b －3a 2b ＋0.5a 2b ； (2)a 3－a 2b ＋a b 2＋a 2b －a b 2＋b 3；
(3)5(x ＋y)3－2(x －y)4－2(x ＋y)3＋(y －x)4.
例4.求多项式3x 2＋4x －2x 2－x ＋x 2－3x －1的值,其中x=－3.
试一试：把x ＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?
例1．化简下列各式： (1)8a+2b+（5a －b ）； （2）（5a －3b ）－3（a 2－2b ）．
(2)计算：5xy 2－[3xy 2－（4xy 2－2x 2y ）]+2x 2y －xy 2． [5xy 2] 小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项．
学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号.
不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：
（１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项. 例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差.
练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式.
例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3).
例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3.
复习题
1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.
3
z
y x ++,4xy,a
1,22
n m ,x 2+x+x
1,0,
x
x 212
-,m,―2.01×105
2.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,5
3xy 5,3
5
3z
y x
-.
3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?
4.化简,并将结果按x 的降幂排列：
(1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+2
1)］―(x ―1)；
(3)―3(21x 2―2xy+y 2)+
2
1(2x 2―xy ―2y 2).
5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+2
1a b)］―5a b 2,其中a =2
1,b=―3
2.
6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=―
2
1,y=2
1时,这个多项式的值.
7．如果关于
x 的两个多项式42142
ax x +-
与35b
x
x +的次数相同,求
3
212342
b b b -+-的值.
第三章 一元一次方程
§1.一元一次方程
1. 定义：
方程：含有未知数的等式称为方程.
一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=.
解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.
2. 等式的性质：
性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±.
性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =（0c ≠）,那么a b
c c
=. 3. 同解方程和方程的同解原理：
(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.
(2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程.
方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.
方程同解原理 Ⅲ：方程()()0f x g x ⋅=与()0f x =或()0g x =是同解方程.
4. 解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =；(5) 方程两边同除以未知数的系数.
解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.
5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定： (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解b
x a
=
； (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数； (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解.
例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x -=； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352
a
--=.
例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =.
实践练习：
1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31
342
x x -=+.
2. 解方程：2007122334
20072008
x x x
x
++++
=⨯⨯⨯⨯.
列简易方程解决问题
例3. 根据下列条件列方程
（1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的2
3
比它的相反数小5.
实践练习：
1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.
（1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?
（2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?
练习一
1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.251
0.0240.0180.012
x x x --+=-
.
2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值.
3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值.
4. 若关于x 的方程332
x
a x -=+的解是4,求22a a -的值.
5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月.
此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.
6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?
例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台?
例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?
实践练习：
1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂有工人多少人?
2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?
例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.
实践练习：
1. 已知::2:3:4
a b c
--的值.
a b c
a b c=,27
++=,求22
2. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.
例7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?
实践练习：
1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?
例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?
实践练习：
1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺?
2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树?
练习二
1. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米；慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇?
2. 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少?
3. 聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书店会员卡”,将享受八折优惠,请问在这次买书中,聪聪在什么情况下,办会员卡与不办会员卡一样?当聪聪买标价共计200元的书时,怎么做合算,办会员卡还是不办会员卡?
4. 有一列数为1,4,7,…,它的第n个数是多少?在这列数中取出三个连续数,其和为48,问这三个数分别是多少?
5. 若4
y=是关于y的方程
8
5()
3
y
m y m
+
-=-的解,解关于x的方程(32)
m-+
50 m-=.
6. 当m 取什么整数时,关于x 的方程1514()2323
mx x -=-的解是正整数?
7. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套衣服,就可以超过订货任务20套,问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成?
8. 这里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,这时杯子空了,问杯子里原来有多少毫升水?
§2.一元一次方程复习
代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此,掌握好这部分内容,有助于我们学习一些复杂的方程.
一.方程及一元一次方程的概念
1.含有未知数的等式叫做方程.
2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
【例1】判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.
(1) 5367x y x +-=; (2) 47x -; (3) 53x >; (4) 22x
=; (5) 2620x
x +-=; (6) ax b =(,a b 是常数); (7) 123+=; (8) 210x -=; (9) 0y =.
______________________是方程,____________________是一元一次方程. 【例2】(1)已知1
237m x ++=是一元一次方程,则m =_______________. (2) 已知2(1)20m m x ++=是一元一次方程,则m =_______________.
(3)若关于x 的方程
232(28)6
n m x x --+=-是一元一次方程,则m =_______________,n =_________________. 【思考1】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程,则
m =_______________.
【思考2】在关于x 的方程ax b =中,解的情况:当a ________时,方程有唯一解;
当a ________时,方程无解; 当a ________, b ________时,方程有无数个解.
【例3】已知2235x
x +=,则代数式2466x x --+=______________. 【思考3】下列说法正确的是____________. (1)如果a b =,那么ac bc =; (2) 如果ac bc =,那么a b =;
(3)如果a b c c =,那么ac bc =; (4) 如果ac bc =,那么a b c c
=. 二.解一元一次方程
去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1
【例4】解下列一元一次方程:
(1) 4(1)2(1)3(1)(1)x x x x -++=--+;
(2)
223146x x +--=; (3) 2121116518615
x x x x -+---=-;
(4)32(1)21235x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦; (5) 1114(2)6819753x ⎧+⎫⎡⎤+++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
(6)0.10.2130.020.5
x x ---=.
【例5】有四个数,其中三个数之和分别为22,20,17,25,求此四个数.
【例6】已知227a b c a b c ::=:3:4,++=,则22a b c --=__________.
【例7】若关于x 的方程40kx -=的解是整数,则k
=___________________.
1.解方程：()()()()24517332x x x x +--=+--
2.解方程：()()()()1131121132
x x x x +-
-=--+ 3.解方程：2931123224x x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
4解关于x 的方程：()()0ax b a b -+=
5.解关于x 的方程：1mx nx -=
6.解关于x 的方程：2421m x mx -=+
7.已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无数多个解,试求a b 、的值.
8已知关于x 的方程()()32215a x b x +=-+有无数多个解,试求a b 、的值.
9.已知方程32ax x b +=-有两个不同的解,试求()
1999a b +的值.
10.关于x 的方程90x p -=的根是9p -,求p 的值.
11. 已知关于x 的方程332
x a x -=+的解是1a -,求2()2a a --的值.
12.若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,求k 的值.
13. 关于x 的方程350mx +=和20x n +=是同解方程,求2()mn 的值.
14. 已知关于x 的方程21()1(2)532a x a x -+=---和3()5()1232
a x x a -=-+是同解方程,求a 的值.
15已知关于x 的方程(3)81a b x b -=-仅有正整数解,并且和关于x 的方程(3)81b a x a -=-是同解方程,若0a ≥,220a b +≠,求出这个方程可能的解.
16.(1) 解方程：
3834122x x +--= (2) 解方程：211132x x +--=
(3). 解方程：()()()()11323327322332
x x x x --
-=--- (4). 解方程：111233234324
x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭
(5). 解关于x 的方程：()()11234
m x n x m -=+
(6). 解关于x 的方程：()()1223
m x n x +=+
17. 已知关于x 的方程()3321x a x -=+无解,试求a 的值.
18. 关于x 的方程43mx x n +=-,分别求当,m n 为何值时,方程：（1）有唯一解；
（2）有无数多个解；（3）无解.
19. 若4y =是关于y 的方程
85()3
y m y m +-=-的解,解关于x 的方程(32)m x -+ 50m -=.
20. 当m取什么整数时,关于x的方程1514
()
2323
mx x
-=-的解是正整数?
21. 已知关于x的方程m
x11
32
27=
-和m
x2
2=
+有相同的根,求m的值
§3. 一元一次方程的应用
知识要点
1.列出一元一次方程解应用题的一般步骤是：
（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数及数量关系.用字母（如x）表示题目中的一个未知数.
（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.
（3）根据这个相等关系列出需要的代数式,从而列出方程.
（4）解这个方程,求出未知数的值.
（5）检验、写出答案（包括单位名称）.
设未知数可分为直接设未知数、间接设未知数两类.直接设未知数指题目中为什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况.间接设未知数,顾名思义就是问东设西,迂回前进,如求整体时,可先设其某部分为x；求部分时,又可设其整体为未知数；求速度时,先设路程为未知数；求工作时间时设工作效率为未知数.
解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理.
2．几类应用题常用的策略
（1）和、差、倍、分问题：抓住关键词列方程.
（2）形积变化问题：利用各种几何图形的面积、体积公式,列出相等关系.
（3）行程问题
（i）相遇（相向）问题：双方所走路程之和=全部路程。