材料力学13章能量方法习题课

M ( ) RSin
2 AB 0
在施加单位载荷时 注：用能量法求两点的相对位移时，
一定要在这两个点上同时加一对 大小相等
M ( ).M ( ) Rd EI
方向相反的 单位载荷
Mechanics of Materials
例2:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对竖直位移 R
答案：B
2、如图所示，同一刚架的两种受力形式， 若P与 M 0 数值相同， 则比较二者变形，
A) C1 C 2 B) B1 B 2 C ) C1 B 2 D) C 2 B1
答案：C
M0
B1
B2 P
C1
C2
Mechanics of Materials
R
例1:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对水平位移和相对转角 1、求原载荷引起的内力： M ( ) PRSin θ P A 3、求相对转角，施加单位载荷 B P
2、求水平相对位移，施加单位载荷
θ
1 1
θ
1 1
2 AB 0
M ( ) 1
M ( ).M ( ) Rd EI
θ
P A B P
1、求原载荷引起的内力：
由于上下对称，所以考虑一半即可：
M ( ) PR(1 Cos )
4、积分： AB 2 0
M ( ).M ( ) Rd EI
2、求竖直相对位移，施加单位载荷
注：当原载荷与单位载荷 同时 对称于 同一根 对称轴时， 1
θ
我们在写内力方程时，可只考虑一半， 然后将积分结果乘以2，即可
A） BD 增大， CE 不变 B） BD 增大， CE 改变 C） BD 减小， CE 不变
D
E
B） BD 减小， CE 改变
答案：A
Mechanics of Materials
P 5、图示悬臂梁， 1
有 y12
3KN ，测得 21 0.01rad ，则梁在2处受 30N .mm P 1
Mechanics of Materials
4 5
例8：图示绗架，所有杆长均为L，且抗拉压刚度均为EA， 求A点沿铅垂方向的位移。 3 1 A P 杆号 1 2 3 1 分析： 根据莫尔积分求绗架结点位移公式
yA
6 2
N i .N i .li i 1 EAi
6
列表如下：
Ni
Ni 杆长 li l 2P 3
Mechanics of Materials
C
P a
例7:图示刚架,各部分刚度均相同, 求在P的作用下, A,C两截面的水平位移
A
B 解： 1、求A 点水平位移，画原载荷引起的内力图 a 3Pa C D Pa 3 Pa 1 a 2 4 D Pa M 图 A A B M图 P T图 3、画单位载荷引起的内力图 Pa a
B
XA
1 1 (1.M C1 2 .M C 2 3 .M C 3 4 .M C 4 ) (5 .TC 5 ) EI GI P 1 1 2a 1 1 2a a 1 ( .Pa.a. . pa.a.0 .2 Pa.a. Pa.a. ) (a.Pa.a ) EI 2 3 2 2 3 2 GI P
Mechanics of Materials
* y y * y * ( x) 1、如图所示，随着载荷P的移动，自由端B的挠度 由挠度表读出，
问方程
例9:选择题
y * y * ( x) 表示：
x
P
A）力P的作用点的挠度与x的关系 B）梁在自由端受集中力P的作用时的挠曲线方程 C）梁在自由端受集中力P的作用时的转角方程 D）无任何力学意义 可知：
Mechanics of Materials
例6：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同 的刚度， 求：1. A 端的铅垂位移； 2. A端绕BC 轴线（X轴）的转角。
解： 1、画原载荷引起的内力图
X
2、求A点竖直位移施加单位载荷 3、画单位载荷引起的内力图
4、图乘： 1 1 yA (1.M C1 2 .M C 2 ) (3 .TC 3 ) EI GI P 1 1 1 4a 1 2a ( Fa.2a.( a )) ( .2 Fa.2a. .Fa.a. ) GI P EI 2 3 2 3
1
由于上下对称，所以考虑一半即可：
M ( ) R.(1 cos )
Mechanics of Materials
例3:开口圆环,EI为常量,求AB之间垂直于纸面方向的相对位移 R A B 1、求原载荷引起的内力：
X
内力有几个？ 两个，弯矩和扭矩 对称否？ 对称，原载荷与单位载荷都对称于X轴
1
时，
1mm
21
2
集中力偶 M 2 A） 集中力偶 M 2 B） D）集中力 P2
300KN .mm C）集中力 P2 30 N 300KN
答案：B
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
解： 1、画原载荷引起的内力图
2、求A点绕BC轴转角
施加单位载荷 3、画单位载荷引起的内力图
4、图乘： 1 1 yA (1.M C1 2 .M C 2 ) (3 .TC 3 ) EI GI P 1 1 1 1 ( Fa.2a.(1)) ( .2 Fa.2a.0 .Fa.a.1) GI EI 2 2 P
3、如图所示，一简支梁分别承受两种形式的单位力，则
AA
C
1
VC
1
B
B
A
1
A)VC A
C )VC A B)VC A B
B A B D)VC
答案：D
VC
4、两悬臂梁，设BD之间的距离为 B C
BD ，CE之间的距离为 CE ，则
Mechanics of Materials
4、积分：
例5：求图示梁的挠曲线方程 P L
解：1、画原载荷引起的内力图
M图 PL 3、画单位载荷引起的内力图
2、求任一点挠度，施加单位载荷 1
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x
4、图乘
1
M 图
lx
D
1 (1.M C1 ) EI
l 1 .(l x) 1 1 3 .Pl ) ( .(l x).(l x) . EI 2 l
Mechanics of Materials
解： 5、求C 点水平位移，画原载荷引起的内力图 3Pa C
1
Pa M 图 D
1
2
A
Pa M图
3
4
B A
Pa
Pa
5
T图 a
B
6、求C的水平位移施加单位载荷 C C
7、画单位载荷引起的内力图 a a
B
D A 8、图乘： a
M 图
D
A
M 图
BA
T 图
Ni N ili 3 3 3 3 3
4 Pl 3 Pl 3 4 Pl 3 4 Pl 3 4 Pl 3 9 Pl 3
Ai
2
A
A
4
l l l l l
P 2P 2P 2P 3P
3 3 3
1 3 3 2 2 2
5
3
4 A 5 1 6
A A A A
6
2
3 3
yA
26Pl Pl 4 1 4 4 4 9 ( ) EA EA 3 3 3 3 3 3
Pa
5
B
2、求A的水平位移施加单位载荷 C C B
D
A
1
4、图乘：
BA M 图 T 图 M 图 1 1 XA (1.M C1 2 .M C 2 3 .M C 3 4 .M C 4 ) (5 .TC 5 ) EI GI P
DA
B

1 1 1 2a 1 5a 3a ( .Pa.a.0 . pa.a. .2 Pa.a. Pa.a. ) 0 EI 2 2 3 2 3 2
Mechanics of Materials
x2
D
x1
y E P
例4:图示正方形刚架,边长为L,各部分刚度均相同, E处有一开口, 开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力P, P 求切口两侧垂直于纸面方向的水平相对位移. y D C E 1 2、求切口水平相对 x 位移，施加单位载荷 C 1 x
A
x3
B 解: 1、求原载荷引起的内力：
F
A
3、求由单位载荷引起的内力 F 由于左右对称于y轴，所以考虑一半,即AFED即可: B M ( x1 ) P.x1 M ( x1 ) x1 弯曲变形 弯曲变形 ED段 ED段 M ( x2 ) P.x2 弯曲变形 M ( x2 ) x2 弯曲变形 DA段 DA段 l l 扭转变形 扭转变形 T ( x2 ) P. T ( x2 ) 2 2 M ( x3 ) P.x3 M ( x3 ) x3 弯曲变形 弯曲变形 FA段 FA段 扭转变形 T ( x3 ) P.l T ( x3 ) l 扭转变形