应变软化岩体分析原理及其应用_王水林
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－28] －24]
、 扰动态理论[25]、
－34]
F Q M A D 1 F A d d
复合体理论[26 方法
[35]
、内嵌不连续方法[29
[36]
、复合单元
、自适应有限单元法
等。在这些理论与方
法中，大多数都引入了一个与材料颗粒尺度有关的 几何量，目的是消除问题的病态性和数值解的网格 依赖性。这些模型、理论和方法的提出及应用极大 地推进了应变软化问题的研究，对上述工作的特点 与发展，文献[37]进行了详细的分析和评述。 基于经典弹塑性力学理论，本文将应变软化过 程简化为一系列的脆塑性过程，由此，应变软化问 题的求解就归结为一系列脆塑性问题的求解。提出 了应变软化本构模型分析方法及其相应的有限元求 解过程，编制了计算程序，并尝试在工程中进行应 用。从理论上讲，本文方法的核心是求解脆塑性问 题；从数值计算结果来看，数值解虽然无法消除网 格依赖性，但宏观上得到的变形和塑性区与半解析 解的结果是吻合的， 与其他方法的解是基本一致的。
2 经典弹塑性理论本构矩阵特性介绍
对弹塑性介质，假设其屈服准则表示为 F ( , ) 0 （1）
第3期
王水林等：应变软化岩体分析原理及其应用
611
相关的力学问题（本文暂不考虑时间因素的影响） ， 其边值问题按增量方式给出较为简便
[39]
之和，即
。下面的表
d f
（17）
对硬化材料 A>0，对理想弹塑性材料 A=0，对 应变软化材料 A<0。 文献[38]阐述了 Dep 矩阵的特性，对关联流动法 则，从数学上证明了当材料在塑性阶段表现为应变软 化时， Dep 为不定矩阵。这直接说明了采用有限元方 法形成的应变软化介质的切线刚度矩阵是不定的。 文献 [39 - 40] 也阐述了无论对于遵守关联流动 法则还是遵守非关联塑性流动法则的应变软化材 料，当应变软化速率超过某一个特定值时， Dep 矩 阵变得没有意义。应变软化材料 Dep 矩阵的上述特 性导致了应变软化问题求解的困难。
3 脆塑性分析方法简述
基于经典塑性力学理论，文献[39, 41]从宏观唯 象的角度提出了脆塑性介质的分析原理与方法，为 研究脆塑性岩体的力学行为与相应工程的稳定性提 供了一条非常有效的途径。为了本文的完整性，下 面对脆塑性问题的求解方法[39]进行简要阐述。 3.1 增量边值问题及其变分提法 岩土体的工程行为是一个与时间和过程密切
d d e d p
（4）
进一步可以导出塑性阶段应力增量（ d ）与应变 增量之间的关系式为
d Dep d
其中， Dep D Dp , Dp
（5）
T
1 Q F D D M
T
（6） （7） （8）
（包括应变
梯度理论和内变量梯度理论） 、 偶应力理论 （Cosserat 、 非局部应变理论[20
第 35 卷第 3 期 2014 年 3 月
文章编号：1000－7598 (2014) 03－609－15
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.35 No. 3 Mar. 2014
应变软化岩体分析原理及其应用
王水林，郑 宏，刘泉声，郭明伟，葛修润
（中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071）
Principle of analysis of strain-softening rock mass and its application
WANG Shui-lin，ZHENG Hong，LIU Quan-sheng，GUO Ming-wei，GE Xiu-run
（State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering, Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China）
针对岩土体软化与脆性破坏问题，从细观角度 出发提出的模型与方法有损伤力学模型[1]、细观力 学模型[2]、 强度统计分布方法[3
[5]
－4]
和物理细胞自动机
方法 等，这类方法主要考虑材料颗粒在外载荷作 用下引起的变形、错位、损伤和破坏，由此研究其 宏观力学响应。这些成果能很好地描述变形局部化 的发生与发展机制，解释变形局部化现象，再现应 变软化过程中力与变形的关系。由于该类方法中有 的引入了一些难以准确确定的参数，理论与方法还 有待于完善。而且，其中有些方法离工程应用还有 一段距离。
摘
要：应变软化是指应力-应变曲线中轴向应力随应变的增加而减小的现象，许多种类的岩土介质在工程扰动的作用下呈
现应变软化的行为。在分析应变软化问题时，其应力-应变关系式中的切线刚度矩阵是非正定的，由此导致计算求解的困难。 将岩体应变软化过程简化为一系列脆塑性过程，于是应变软化问题的求解归结为一系列脆塑性过程的分析。基于经典弹塑性 力学理论，提出了应变软化过程模拟方法及其相应的有限元求解过程，编制了计算程序，研究了应变软化本构模型中不同强 度弱化速率对圆形洞室围岩塑形区分布的影响，进一步分析了应变软化模型对应的隧道径向变形沿洞轴方向的分布特征，并 与已有监测数据得到的分布规律进行了对比。初步的研究结果表明，应变软化模型得到的计算结果是比较合理的。 关 键 词：应变软化；脆塑性模型；圆形隧道；数值解；摩尔-库仑屈服准则 文献标识码：A 中图分类号：TU452
[18 理论）
－19] －17]
式中： 为应力张量； 为硬化或者软化参数。对 岩土类软化材料， 通常取塑性剪应变。与屈服函 数对应的塑性势函数为 Q( , ) 。 材料进入塑性状态后， 在当前载荷增量下， 如 果加载条件成立，则 F ( )T Dd 0 （2） 式中： D 为弹性应力-应变关系矩阵， d 为应变增量。 那么，在增量载荷作用下，介质的塑性应变增量为 Q d p d （3） 式中： p 为塑性应变张量； d 为待求的塑性乘子。 总应变增量 （ d ） 可以分解为弹性应变增量 （ d e ） 与塑性应变增量（ d p ）之和，即
1 引 言
在岩土工程中，工程岩土体大多呈现应变软化 现象，室内单轴（或三轴）力学试验和现场大尺寸 压缩（或剪切）试验很好地佐证了岩土介质的这种 力学特性。为了较为准确地分析工程岩土体的变形 与受力情况，国内外众多学者采用不同的方法、从 不同的角度对应变软化行为的发生机制、分析理论 及方法进行了系统的研究， 取得了卓有成效的成果。 综合而言，应变软化研究方法可以划分为细观和宏 观分析方法。
达式中字母前的符号“ ”表示与增量载荷对应的有 限增量以区别于上一部分中微分增量的表述方法。 设研究区域内岩体在某阶段处于平衡状态后 的位移、应变与应力张量形式为u、பைடு நூலகம்、 ，其分量 分别为ui、εij、σij。 下一个施工作业导致岩体内位移、应变与应力 的增量为Δui、Δεij、Δσij。 应力增量应满足平衡条件
收稿日期：2013-02-20 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.51179185，No.41130742） 。 第一作者简介：王水林，男，1965 年生，博士，研究员，主要从事岩土工程数值方法及其应用研究。E-mail：slwang@whrsm.ac.cn
610
岩
土
力
学
2014 年
从研究岩土体宏观变形与破坏现象出发而提 出的模型与方法多基于塑性理论。经典弹塑性力学 理论在分析岩土体非线性行为和工程稳定性时得到 了广泛应用， 但当材料变形过程中出现应变软化时， 在峰值后区，问题的求解面临两大困难：其一为边 值问题出现病态。介质强度进入峰值后区后，研究 对象的本构方程特性发生变化， 应力增量-应变增量 关系矩阵为非正定矩阵，描述问题的偏微分方程失 去椭圆型方程的性质。其二为数值分析过程中计算 结果对网格划分的依赖。当采用数值方法求解该类 问题时，问题的病态性以解的不稳定和解的网格依 赖性出现， 得到的计算结果有时变得没有物理意义。 例如在有限元求解过程中，当网格划分越来越精细 时，塑性区（或破损区）有可能会集中在一个非常 狭小的范围，由此使得计算结果失去客观性。 关于应变软化本构关系与相关问题求解，文献 [6]对峰后本构模型的研究进展进行了探讨， 文献[7] 对建立在经典弹塑性理论基础上的应变软化问题的 理论及其求解方法进行了深入分析，阐述了各种不 同计算方法的优缺点， 指出了需要深化研究的内容。 为克服经典的塑性力学理论求解应变软化问题 的缺陷，国内外学者考虑材料尺寸效应，提出了各 种不同的理论与方法，如梯度理论[8
Abstract: In stress-strain curve, the process of decline of uniaxial stress at increasing strain is defined as strain-softening. Many types of geomaterials behave in strain-softening way in the case of disturbance of engineering activities. When the stress-strain relationship is described in mathematical formulation, the matrix of tangential elastic moduli is no longer positive-definite. Thereby difficulties arise in finding the solution to strain-softening problem. Strain-softening process is simplified into a series of brittle-plastic behavior; and solving brittle-plastic problem comes down to obtaining a series of brittle-plastic solutions. On the basis of classic plasticity theory, the method for analyzing strain-softening behaviour is proposed; and the corresponding solution process is implemented in finite element code. Furthermore, the influences of different strength-weakening modes on the distribution of plastic zone in the surrounding rock mass of a circular tunnel are studied. The longitudinal deformation profile (LDP) obtained by strain-softening constitutive model is also analyzed; and it is compared with the measurements in a tunnel. The preliminary numerical analyses indicate that the presented results look reasonable. Key words: strain-softening; brittle-plastic model; circular tunnel; numerical solution; Mohr-Coulomb yield criterion
、 扰动态理论[25]、
－34]
F Q M A D 1 F A d d
复合体理论[26 方法
[35]
、内嵌不连续方法[29
[36]
、复合单元
、自适应有限单元法
等。在这些理论与方
法中，大多数都引入了一个与材料颗粒尺度有关的 几何量，目的是消除问题的病态性和数值解的网格 依赖性。这些模型、理论和方法的提出及应用极大 地推进了应变软化问题的研究，对上述工作的特点 与发展，文献[37]进行了详细的分析和评述。 基于经典弹塑性力学理论，本文将应变软化过 程简化为一系列的脆塑性过程，由此，应变软化问 题的求解就归结为一系列脆塑性问题的求解。提出 了应变软化本构模型分析方法及其相应的有限元求 解过程，编制了计算程序，并尝试在工程中进行应 用。从理论上讲，本文方法的核心是求解脆塑性问 题；从数值计算结果来看，数值解虽然无法消除网 格依赖性，但宏观上得到的变形和塑性区与半解析 解的结果是吻合的， 与其他方法的解是基本一致的。
2 经典弹塑性理论本构矩阵特性介绍
对弹塑性介质，假设其屈服准则表示为 F ( , ) 0 （1）
第3期
王水林等：应变软化岩体分析原理及其应用
611
相关的力学问题（本文暂不考虑时间因素的影响） ， 其边值问题按增量方式给出较为简便
[39]
之和，即
。下面的表
d f
（17）
对硬化材料 A>0，对理想弹塑性材料 A=0，对 应变软化材料 A<0。 文献[38]阐述了 Dep 矩阵的特性，对关联流动法 则，从数学上证明了当材料在塑性阶段表现为应变软 化时， Dep 为不定矩阵。这直接说明了采用有限元方 法形成的应变软化介质的切线刚度矩阵是不定的。 文献 [39 - 40] 也阐述了无论对于遵守关联流动 法则还是遵守非关联塑性流动法则的应变软化材 料，当应变软化速率超过某一个特定值时， Dep 矩 阵变得没有意义。应变软化材料 Dep 矩阵的上述特 性导致了应变软化问题求解的困难。
3 脆塑性分析方法简述
基于经典塑性力学理论，文献[39, 41]从宏观唯 象的角度提出了脆塑性介质的分析原理与方法，为 研究脆塑性岩体的力学行为与相应工程的稳定性提 供了一条非常有效的途径。为了本文的完整性，下 面对脆塑性问题的求解方法[39]进行简要阐述。 3.1 增量边值问题及其变分提法 岩土体的工程行为是一个与时间和过程密切
d d e d p
（4）
进一步可以导出塑性阶段应力增量（ d ）与应变 增量之间的关系式为
d Dep d
其中， Dep D Dp , Dp
（5）
T
1 Q F D D M
T
（6） （7） （8）
（包括应变
梯度理论和内变量梯度理论） 、 偶应力理论 （Cosserat 、 非局部应变理论[20
第 35 卷第 3 期 2014 年 3 月
文章编号：1000－7598 (2014) 03－609－15
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.35 No. 3 Mar. 2014
应变软化岩体分析原理及其应用
王水林，郑 宏，刘泉声，郭明伟，葛修润
（中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071）
Principle of analysis of strain-softening rock mass and its application
WANG Shui-lin，ZHENG Hong，LIU Quan-sheng，GUO Ming-wei，GE Xiu-run
（State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering, Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China）
针对岩土体软化与脆性破坏问题，从细观角度 出发提出的模型与方法有损伤力学模型[1]、细观力 学模型[2]、 强度统计分布方法[3
[5]
－4]
和物理细胞自动机
方法 等，这类方法主要考虑材料颗粒在外载荷作 用下引起的变形、错位、损伤和破坏，由此研究其 宏观力学响应。这些成果能很好地描述变形局部化 的发生与发展机制，解释变形局部化现象，再现应 变软化过程中力与变形的关系。由于该类方法中有 的引入了一些难以准确确定的参数，理论与方法还 有待于完善。而且，其中有些方法离工程应用还有 一段距离。
摘
要：应变软化是指应力-应变曲线中轴向应力随应变的增加而减小的现象，许多种类的岩土介质在工程扰动的作用下呈
现应变软化的行为。在分析应变软化问题时，其应力-应变关系式中的切线刚度矩阵是非正定的，由此导致计算求解的困难。 将岩体应变软化过程简化为一系列脆塑性过程，于是应变软化问题的求解归结为一系列脆塑性过程的分析。基于经典弹塑性 力学理论，提出了应变软化过程模拟方法及其相应的有限元求解过程，编制了计算程序，研究了应变软化本构模型中不同强 度弱化速率对圆形洞室围岩塑形区分布的影响，进一步分析了应变软化模型对应的隧道径向变形沿洞轴方向的分布特征，并 与已有监测数据得到的分布规律进行了对比。初步的研究结果表明，应变软化模型得到的计算结果是比较合理的。 关 键 词：应变软化；脆塑性模型；圆形隧道；数值解；摩尔-库仑屈服准则 文献标识码：A 中图分类号：TU452
[18 理论）
－19] －17]
式中： 为应力张量； 为硬化或者软化参数。对 岩土类软化材料， 通常取塑性剪应变。与屈服函 数对应的塑性势函数为 Q( , ) 。 材料进入塑性状态后， 在当前载荷增量下， 如 果加载条件成立，则 F ( )T Dd 0 （2） 式中： D 为弹性应力-应变关系矩阵， d 为应变增量。 那么，在增量载荷作用下，介质的塑性应变增量为 Q d p d （3） 式中： p 为塑性应变张量； d 为待求的塑性乘子。 总应变增量 （ d ） 可以分解为弹性应变增量 （ d e ） 与塑性应变增量（ d p ）之和，即
1 引 言
在岩土工程中，工程岩土体大多呈现应变软化 现象，室内单轴（或三轴）力学试验和现场大尺寸 压缩（或剪切）试验很好地佐证了岩土介质的这种 力学特性。为了较为准确地分析工程岩土体的变形 与受力情况，国内外众多学者采用不同的方法、从 不同的角度对应变软化行为的发生机制、分析理论 及方法进行了系统的研究， 取得了卓有成效的成果。 综合而言，应变软化研究方法可以划分为细观和宏 观分析方法。
达式中字母前的符号“ ”表示与增量载荷对应的有 限增量以区别于上一部分中微分增量的表述方法。 设研究区域内岩体在某阶段处于平衡状态后 的位移、应变与应力张量形式为u、பைடு நூலகம்、 ，其分量 分别为ui、εij、σij。 下一个施工作业导致岩体内位移、应变与应力 的增量为Δui、Δεij、Δσij。 应力增量应满足平衡条件
收稿日期：2013-02-20 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.51179185，No.41130742） 。 第一作者简介：王水林，男，1965 年生，博士，研究员，主要从事岩土工程数值方法及其应用研究。E-mail：slwang@whrsm.ac.cn
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岩
土
力
学
2014 年
从研究岩土体宏观变形与破坏现象出发而提 出的模型与方法多基于塑性理论。经典弹塑性力学 理论在分析岩土体非线性行为和工程稳定性时得到 了广泛应用， 但当材料变形过程中出现应变软化时， 在峰值后区，问题的求解面临两大困难：其一为边 值问题出现病态。介质强度进入峰值后区后，研究 对象的本构方程特性发生变化， 应力增量-应变增量 关系矩阵为非正定矩阵，描述问题的偏微分方程失 去椭圆型方程的性质。其二为数值分析过程中计算 结果对网格划分的依赖。当采用数值方法求解该类 问题时，问题的病态性以解的不稳定和解的网格依 赖性出现， 得到的计算结果有时变得没有物理意义。 例如在有限元求解过程中，当网格划分越来越精细 时，塑性区（或破损区）有可能会集中在一个非常 狭小的范围，由此使得计算结果失去客观性。 关于应变软化本构关系与相关问题求解，文献 [6]对峰后本构模型的研究进展进行了探讨， 文献[7] 对建立在经典弹塑性理论基础上的应变软化问题的 理论及其求解方法进行了深入分析，阐述了各种不 同计算方法的优缺点， 指出了需要深化研究的内容。 为克服经典的塑性力学理论求解应变软化问题 的缺陷，国内外学者考虑材料尺寸效应，提出了各 种不同的理论与方法，如梯度理论[8
Abstract: In stress-strain curve, the process of decline of uniaxial stress at increasing strain is defined as strain-softening. Many types of geomaterials behave in strain-softening way in the case of disturbance of engineering activities. When the stress-strain relationship is described in mathematical formulation, the matrix of tangential elastic moduli is no longer positive-definite. Thereby difficulties arise in finding the solution to strain-softening problem. Strain-softening process is simplified into a series of brittle-plastic behavior; and solving brittle-plastic problem comes down to obtaining a series of brittle-plastic solutions. On the basis of classic plasticity theory, the method for analyzing strain-softening behaviour is proposed; and the corresponding solution process is implemented in finite element code. Furthermore, the influences of different strength-weakening modes on the distribution of plastic zone in the surrounding rock mass of a circular tunnel are studied. The longitudinal deformation profile (LDP) obtained by strain-softening constitutive model is also analyzed; and it is compared with the measurements in a tunnel. The preliminary numerical analyses indicate that the presented results look reasonable. Key words: strain-softening; brittle-plastic model; circular tunnel; numerical solution; Mohr-Coulomb yield criterion