《高中数学竞赛》数列

竞赛辅导

数列(等差数列与等比数列)

数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。

所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{a n }的第n 项a n 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。

一、 等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。 等差数列{a n }的通项公式为：)1()1(1d n a a n -+= 前n 项和公式为：)2(2

)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 从(1)式可以看出，n a 是n 的一次数函(0≠d )或常数函数(0=d )，(n a n ,)排在一条直线上，由(2)式知，n S 是n 的二次函数(0≠d )或一次函数(0,01≠=a d )，且常数项为0。在等差数列{n a }中，等差中项： 2

21+++=n n n a a a 且任意两项n m a a ,的关系为：d m n a a m n )(-+= 它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：

{

}n k a a a a a a a a k k n n n 3,2,1,123121∈+==+=+=++-- 若q p n m a a a a q p n m N q p n m +=++=+∈:,,,,,*则有且

等等或等差数列,,,,1

)12(,)12()1(232121 k n nk k k k k k n n n m S S S S S S S a n S a n S -+----++=-=

二、 等比数列

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示。等比数列{a n }的通项公式是： 11-⋅=n n q a a

前n 项和公式是：

1,1=q na

=n S

1,11)1(111≠--=--q q

q a a q q a n

n 在等比数列中，等比中项： 21++⋅=n n n a a a 且任意两项n m a a ,的关系为m n m n q a a -⋅=

如果等比数列的公比q 满足0＜q ＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：

q

a S -=11 从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：

{}

121121212321*123121)(,)(:,,

:,,,,,,3,2,1,+++--+---==⋅⋅=⋅=⋅∈∈⋅=⋅=⋅=⋅n n n n n n n n n m q p k n k n n n a a a a a a a a a a N q p n m n k a a a a a a a a πππ则有记则有若

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂n a C ，则{n a C }是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。

数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n 项和。

三、 范例

例1． 设a p ，a q ，a m ，a n 是等比数列{a n }中的第p 、q 、m 、n 项，若p+q=m+n ，

求证：n m q p a a a a ⋅=⋅

证明：设等比数列{n a }的首项为1a ，公比为q ，则

n

m q p n m n m q p q p n n m m q q p p a a a a q a a a q a a a q a a q a a q a a q a a ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅=-+-+----:,:2

212211

11

11

11

1故所以 说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，

即：a 1+k ·a n-k =a 1·a n

对于等差数列，同样有：在等差数列{n a }中，距离两端等这的两

项之和等于首末两项之和。 即：a 1+k +a n-k =a 1+a n

例2．在等差数列{n a }中，a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 9-a 10=

A.20

B.22

C.24 D28

解：由a 4+a 12=2a 8，a 6+a 10 =2a 8及已知或得

5a 8=120，a 8=24

而2a 9-a 10=2(a 1+8d)-(a 1+9d)=a 1+7d=a 8=24。

故选C

例3．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0，则有( )

A.a 1+a 101＞0

B. a 2+a 100＜0

C.a 3+a 99=0

D.a 51=51

[2000年北京春季高考理工类第(13)题]

解：显然，a 1+a 2+a 3+…+a 101

C

a a a a a a a a a a S 选从而故,0,00101)(2

1101199310021011101101=+==+=+=+=⨯+=

= 例4．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项之各，S 9=18，)9(304>=-n a n ，S n =336，

则n 为( )

A.16

B.21

C.9 D8

B n n n a a n S a a a a a a S n n n n 选故而

所以故由于解,2133616322

)(2,323022

,189:1145559===⨯=+==+=+=+==⨯=-