第4章 稳定性与李亚普诺夫方法

§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义
对于非线性系统通常存在多个平衡状态。
1 x1 例如：对于非线性系统 x
3 x x x x 2 1 2 2
的解。
x1 0 其平衡状态为： 3 x x x 1 2 2 0
即为：
0 0 0 xe1 , xe2 , xe3 0 1 1

第四章 稳定性与李亚普诺夫方法
李亚普诺夫稳定性理论是研究系统稳定性的普遍方法。 经典控制理论中的劳斯－赫尔维茨判据、奈奎斯特判据只适用 于研究线性定常系统，李亚普诺夫稳定性理论对于线性和非线 性系统都适用。

系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义
一.系统的平衡状态
若 与 t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义

( , t0 )
xe
图1 李亚普诺夫意义下的稳定
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义
2. 渐近稳定 若平衡状态 xe是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且满足 则称平衡状态 xe为渐近稳定。
t
lim ( t ; x0 , t 0 ) xe 0
试判别其平衡状态 xe 0 的稳定性。 2 2 解：取正定标量函数: V ( x) x1 x2
2 2 2 ( x) 2 x x V ( x) 对时间的导数为： V 2 x x 2 ( x x 1 2) 1 1 2 2
( x) 负定，故系统在平衡状态 xe 0 是渐近 由于V ( x) 正定， V 稳定的。
例如： 例如：
V ( X ) ( x1 x2 )2
2 V ( X ) ( x12 2 x2 )
(3). 如果标量函数 －V(X)是正定的，则标量函数 V(X) 为负定。
§4－3 李亚普诺夫第二法
(4). 如果标量函数 －V(X)是半正定的，则标量函数 V(X) 为半 负定。 例如： V ( X ) ( x1 x2 )2 (5). 如果在域 Q 内，不论 Q 多么小，V(X) 既可为正值也可为 负值。这标量函数V(X)称为不定。 2 例如： V ( X ) x1x2 x2 2. 二次型函数的正定性 设V(X)是一个二次型函数，即 V ( X ) X T PX ，其中 P 为对称 阵。当 X. 0 时，V(X)>0，则V(X)是正定的，因而矩阵P是 正定的。 判断V(X)为正定的准则为P的所有主子行列式均大于零。
第四章 稳定性与李亚普诺夫方法

稳定性是控制系统最重要的特性。 早在17世纪托里斯利（Torricelli）就对系统运动的稳定性 概念进行过描述。之后,拉普拉斯、拉格朗日、麦克斯威尔 等都提出过稳定性的概念。但都没有给出过严格的数学定 义和证明。
李亚普诺夫奠定了稳定性理论的基础。 直到1892年，俄国数学力学家李亚普诺夫在他的博士论文 “ 运动稳定性的一般问题”才给出了运动稳定性的严格的 精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳定性理论的基础 。
的任一初始状态出发的受扰运动都不满足不等式
( t ; x0 ,t 0 ) xe ， t t 0
则称平衡状态 xe 为李亚普诺夫意义下的不稳定状态。
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§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义

( , t0 )
xe
不稳定
§4－2 李亚普诺夫第一法
李亚普诺夫第一法的基本思想是通过系统状态方程的解来判 断系统的稳定性，因此这种方法又称为间接方法。 1. 外部稳定（输出稳定） 给定系统一个有界输入（扰动），判断系统的输出是否有 界，若系统的输出是有界的，则称系统在该输入（扰动） 下是稳定的。 2.内部稳定（状态稳定） 只需求出系统矩阵A的所有特征值（对于非线性系统，在平 衡状态附近一次线性化），若系统所有特征值均有负实部， 则系统是稳定，否则系统是不稳定的。
( x) 0 ； 由于 x1 0, x2 0 时，V ( x) 0 ； V 由于 x1 0, x2 0 时， ( x ) 0； 由于 x2 0 时， V ( x) 为半负定； 故V
§4－3 李亚普诺夫第二法
( x)就不恒等于0。 只要 x2 不恒等于0， V
2 x1 x2可知： 由状态方程：x 2 也不会等于0，即 x2 不会恒等于0。 只要 x1 0 即使 x2 0 ，x ( x) 0 只是暂时出现在某一时刻。 V
故系统在平衡状态 xe 0 是渐近稳定的。 由于 x , V ( x) ，故系统在平衡状态 xe 0 是大范围渐 近稳定的。
§4－3 李亚普诺夫第二法
( x) 0 （1） V ，这时运动轨迹在某个特定的曲面上 V ( x) C 。 ( x) 不恒等于0，这时运动轨迹只在某个时刻与某个特定 （2）V
x2 x2
的曲面相切，运动轨迹在切点处并未停留而继续向原点收敛。
x0
x1
x0
x1
0
0
§4－3 李亚普诺夫第二法
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义

( , t0 )
xe
图2 渐进稳定
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义
3．大范围渐近稳定 若平衡状态 xe是李亚普诺夫意义下的稳定状态，且对 任一系统的初始状态均满足
t 则称平衡状态 xe 为大范围渐近稳定。
lim ( t ; x0 , t 0 ) xe 0
例：系统的状态方程为
1 x2 x 2 x1 x2 x
试判别其平衡状态 xe 0 的稳定性。
2 2 解：取正定标量函数: V ( x) x1 x2
2 对时间的导数为： V ( x ) 2 x x 2 x x 2 x V ( x) 2 1 1 2 2
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义
x2
xe2 xe1 xe3
孤立的平衡状态：如果平衡状态是彼此孤立的，即在某一平 衡状态的任意小的邻域内不存在其它平衡状态，则称该平衡状 态为孤立的平衡状态。
x1
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义
二. 稳定性的几个定义 1.李亚普诺夫意义下的稳定 若一不受外力作用的系统（自治系统）
( x) 是负定的； (2) V 则系统在平衡状态是渐进稳定的。
(3) 除满足条件(1)、(2)外,若有 x , V ( x) ，则系统是 大范围渐进稳定的。
§4－3 李亚普诺夫第二法
例：对于非线性系统
2 1 x2 x1 ( x12 x2 x ) 2 2 x1 x2 ( x12 x2 x )
对于一个不受外部作用的系统
f ( x, t )， x(t0 ) x0， t t0 x
如果存在某个状态 成立，则称
xe ，使
e f ( xe , t ) 0 x
t t 0
xe 为系统的一个平衡状态。
Ax Axe 0 对于线性系统： x 当A非奇异，系统只有唯一的一个平衡状态，xe 0 。 当A奇异，则存在无穷多个平衡状态。
( x) 是半负定的； (2) V (3) 对于任意初始时刻 t0 时的任意状态 x0 0 ，在 t t0 除 x 0
( x) 不恒等于零。则系统在平衡状态是渐进稳 ( x) 0 外， 时有 V V 定的。 (4) 除满足条件(1)、(2)、（3）外,若有 x , V ( x) ，则 系统在平衡状态是大范围渐进稳定的。 ( x) 是半负定的，故在 x 0 时可能会出现 V ( x) 0 ，此时 由于 V 系统可能有二种运动情况：
t0
xe
§4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义
4．不稳定 对于一个不受外力作用的系统
f ( x , t )， x( t 0 ) x0， t t 0 x 若对于不管取多么大的有限实数 0 ，都不可能找到相应的 实数 (， , t0 ) 0 ，使得由满足不等式
x0 xe ( , t 0 )
由于 x , V ( x) ，故系统在平衡状态 xe 0是大范围渐近 稳定的。
§4－3 李亚普诺夫第二法
例：对于线性系统
1 x2 x 2 x1 x2 x
试判别其平衡状态 xe 0 的稳定性。
2 2 解：取正定标量函数: V ( x) x1 x2 2 对时间的导数为： V ( x) 2 x1 x1 2 x2 x2 2 x2 V ( x) ( x) 0 ； 由于 x1 0, x2 0 时，V
§4－3 李亚普诺夫第二法
定理3：设系统的状态方程为： x f ( x) xe 是其平衡状态。若存在一个具有连续一阶导数的正定标量 函数V(X)，且满足: (1)

xe0
§4－3 李亚普诺夫第二法
一.预备知识 1.标量函数V(X)符号性质的几个定义
(1). 如果对于在域 Q 中的所有非零向量 X ,有 V(X)>0,且在 X=0 有 V(X)=0, 则在域 Q 内称标量函数 V(X) 为正定。
例如：
V (X )
2 x1
2 2 x2
(2). 如果标量函数 V(X)除了在原点及某些状态等于零外，在域 Q 中的所有其它状态都为正，则标量函数 V(X) 为半正定。
( x) 0 ； V 由于 x1 0, x2 0 时，
( x) 为半负定； 故V
( x) 0 ； 由于 x2 0 时，V 由于李亚普诺夫第二稳定性判别定理，只是充分条件，而非必 要条件，故据此并不能判定系统在平衡状态不稳定。
§4－3 李亚普诺夫第二法
1 2 2 2 重新选取正定标量函数： V ( x) [( x1 x2 ) 2 x1 x2 ] 2 ( x) ( x x )( x x ) 2x x x x ( x 2 x 2 ) V ( x)对时间的导数为： V
f ( x , t )， x( t 0 ) x0， t t 0 x 对任意选定的实数 0 ，都存在另一实数 ( , t0 ) 0 ，使得
由满足不等式
x0 xe ( , t 0 )
的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式
( t ; x0 ,t 0 ) xe ， t t 0 则称平衡状态 xe为李亚普诺夫意义下的稳定状态。

判断V(X)为负定的准则为P的各阶主子行列式满足： i : i 偶数 i 0, i 奇数 i 0;
§4－3 李亚普诺夫第二法
二. 李亚普诺夫稳定性判据
f ( x) 定理1：设系统的状态方程为： x xe 是其平衡状态。若存在一个具有连续一阶导数的正定标量 函数V(X)且满足: (1) V ( x) 是正定的；
1 2 1 2 11 2 2 1 2
( x)负定。 显然 V ( x) 负定，故系统在平衡状态 xe 0 是渐近 由于V ( x) 正定， V
渐近稳定的。由于 x , V ( x) ，故系统在平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。
§4－3 李亚普诺夫第二法
f ( x) 定理2：设系统的状态方程为： x xe 是其平衡状态。若存在一个具有连续一阶导数的正定标量 函数V(X)，且满足: (1) V ( x) 是正定的；
§4－3 李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法基本思想: 李亚普诺夫第二法是基于这样一个基本的物理事实：如果一个 系统经受一个扰动，当扰动消失后，系统储存的能量将随着时 间的推移而逐渐衰减，直至趋于平衡状态，系统的能量趋于极 小值，那么这个平衡状态就是渐近稳定的；若当扰动消失后， 系统的能量不再增加，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义 下的稳定；若当扰动消失后，系统不断从外界吸收能量，系统 的储能随着时间的推移不断增加，那么这个平衡状态就是不稳 定的。 xe1