第8课时 函数的最值与导数

潞城一中·高二数学（理）导学案 班级： 姓名：

勤学勤问 百炼成钢

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第8课时 函数的最值与导数

主备：魏国栋

【学习目标】

1、能够区分极值与最值两个不同的概念

2、掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法

3、能根据函数的最值求参数的值

【自学指导】

复习回顾 1、函数极值的概念

2、判断函数y=f(x)的极值的一般方法

3、用导数求函数极值的方法和步骤 教材预览（阅读P29-P31） 1、函数的最值

函数的最值分为函数的最大值与函数的最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者,最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者. 2、函数的最值与极值的区别

(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小值是一个整体性概念; (2)函数的极值可以有多个,但最值只能有一个; (3)极值只能在区间内取得,最值可以在端点处取得; (4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值; (5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是极值.

3、求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤

(1)求函数f(x)在开区间(a,b)上所有使f'(x)=0的点. (2)计算函数f(x)在区间上使f'(x)=0的所有点及端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

【课堂互动】

合作探究

探究1：利用导数求函数的最大值与最小值 探究2：含参数的函数最值问题 讲练互动

知识点一：求函数的最值

【例1】(1)求函数f(x)=1

3x 3-4x+4在[0,3]上的最大值

与最小值.

(2)求下列函数的最值. (1)f(x)=x 3-3x 2+6x-2,x ∈[-1,1]; (2)f(x)=5-36x+3x 2+4x 3,x ∈(-2,2).

知识点二：求最值问题中的含参问题

【例2】(1)函数f(x)=x 3-3ax-a 在(0,1)上有最小值,则a 的取值范围是( ). A.0≤a<1 B.0

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潞城一中·高二数学（理）导学案

儒雅匠心 乐业爱生 2020年 月 日

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(2)若方程k

x

=ln x 有两个不同实根,则k 的取值范围为 .

知识点三：利用导数解决恒成立和存在性问题 【例3】(1)已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x 2+ax-2. 若函数y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x 1,x 2(x 1ln 2,求实数a 的取值范围.

(2)设f(x)=x 3-12x 2-2x+5.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)当x ∈[-1,2]时,有f(x)

【检测训练】

1.下列是函数f (x )在[a ,b ]上的图象,则f (x )在(a ,b )上无最大值的是( ).

2.函数y=√x +√1−x 在定义域上的最大值为( ). A .√2

B .1

C .0

D .不存在

3.若函数f (x )=x 3-3x-a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ,则M-N 的值为 .

4.已知函数f (x )=1

2x 2+ln x.

(1)求函数f (x )在[1,e]上的最大值、最小值; (2)求证:在区间[1,+∞)上,函数f (x )的图象在函数g (x )=2

3x 3图象的下方.

5.已知函数f (x )=a ln x+x 2(a 为实数).

问题1:若a=-2,求证:函数f (x )在(1,+∞)上是单调递增函数.

问题2:求函数f (x )在[1,e]上的最小值及相应的x 值. 问题3:若存在x ∈[1,e],使得f (x )≤(a+2)x 成立,求实数a 的取值范围.