多线性调频信号瞬时频率估计迭代算法

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多线性调频信号瞬时频率估计迭代算法

二炮工程大学士官学院 作者 于鹏鹏 黄向阳 艾名舜

摘要：针对多线性调频信号的瞬时频率估计问题提出一种快速算法，该算法以特征子空间跟踪算法为基础，结合矩阵线性变换和多项式方程求根得到参数估计。该算法的优点是计算量小，其计算量仅与短时傅里叶变换相当；频率分辨力较高；多信号情况下不存在交叉项问题；当多信号的功率差异达到14dB 时仍能有效估计瞬时频率。由于采用了矩阵求逆的步骤，该算法在低信噪比环境下性能较差。仿真实验显示在信噪比不低于6dB 时本文算法具有明显的优越性。 关键词：线性调频 瞬时频率 时频分析 一、引言

线性调频 (Linear Frequency Modulation, LFM) 信号在雷达、声纳、通信等领域有着广泛的应用，由于瞬时频率随时间变化，LFM 信号具有非平稳特性，因此通常采用时频分析的方法对其进行分析及参数估计。短时傅里叶变换是一种简单的时频分析方法，但是时频聚集性较差；Wigner-Ville 分布

[1]

（WVD ）的时频聚集性较好，但由于采用了二次型变换，在多LFM 信号情况下不可避免地存在

交叉项，为信号参数估计造成了一定的困难；在Cohen 类时频分布[2]的框架下各种核函数被设计出来用于抑制交叉项，自适应核函数[3-4]的提出进一步提高了交叉项的抑制能力，然而性能较优的时频分析方法计算量也较大，因此在一定程度上较低了此类算法的实用性。

上述方法都是描述信号功率在时频平面上的分布，即信号的功率谱，其频率分辨率受限于信号时窗长度的倒数，这个限制被称为“瑞利限”。超分辨算法利用信号特征子空间的正交性得到信号在频域上的“伪谱”，使有限长信号的频率分辨率能够突破“瑞利限”，从而获得更优的参数估计，但由于传统的超分辨频率估计算法的计算量较大，该类算法很少被用于估计非平稳信号参数。

本文提出一种基于子空间跟踪的信号瞬时频率估计算法，该算法利用数据投影实现信号特征子空间的跟踪，对特征子空间矩阵进行线性变换后得到多项式系数，进而利用多项式方程求根的方法获得信号瞬时频率的估计。本文算法得到的是信号在时频平面上的 “伪谱”，不仅具有较好的时频聚集性，而且在多LFM 信号情况下不存在交叉项的问题，更重要的是，本文算法的计算量仅与短时傅里叶变换相当，因此是一种快速算法。 二、信号模型

考虑一维时间序列S (t )由M 个调频信号线性叠加而成

1

()()(),1,2,...,M

m m m t A t t t T ==+=∑S s n

(1)

这里21()exp(2())2m m m t j f t k t π=-+s ，m =1,2,…,M ， A m 、f m 和m k 分别表示第m 个信号的幅度、起

始频率和调频斜率。T 表示有限长采样点数，设采样频率为f s ，测向无模糊范围不大于1

2s

f 。n (t )表

示通道噪声，这里假设为零均值高斯白噪声，设等间隔采样，将N 个连续的采样点构成的向量称为一个快拍，N > M ，忽略噪声，t 0时刻的快拍向量0()t y 可以表示为

[]0

000

022(1)1111122()(),(1),...,(1)(),(),...,()[(),(),...,()]m m t t

M M M

j f t j f N t m m m m m m m m m t t M M t t t t t t N A t A t e A t e A t A t A t ππ=-∆--∆======--+⎡⎤=⋅⋅⎢⎥⎣⎦=⋅∑∑∑y S S S s s s s s s F

(2)

其中，F 是包含当前瞬时频率的矩阵，表达式为

[]1

2T

M =F F F F L

(3)

0022(1)[1,,,],1,2,...,m m j f t j f N t T m e e m M ππ-∆--∆==F L

(4)

t ∆是采样时间间隔，f m0表示第m 个信号在t 0时刻的瞬时频率。以下将快拍()t y 作为采样单位，即每次采样得到一个数据向量，其原理如图1所示。

单快拍数据的协方差矩阵表示为()()()H t t t =⋅R y y ，这是一个秩为1的病态矩阵，直接对其进行特征值分解对测频没有帮助，但是在迭代模式的子空间跟踪当中采用单快拍协方差矩阵有利于降低运算量。

[ ]()t Y =()t S (1)t -S (2)

t -S (1)t N -+S ()

t S [ ](1)t -Y =(1)t -S (2)t -S (3)t -S ()

t N -S

图1 采样快拍示意图

三、算法描述

定理1：设G 为对称非负定的矩阵，N N C ⨯∈G ，其特征值满足120N λλλ≥≥>，每个特征值对

应的特征向量表示为12N ,,...,u u u 。{}n

U 为N L ⨯维的正交矩阵序列，定义迭代式

()orthnorm((1)) 1,2,...t t t =⋅-=U G U (5)

“orthnorm”表示正交归一化，通常可用Gram- Schmidt 方法实现正交化。如果初始矩阵0U 满足

012[,,...,]T L U u u u 非奇异，则有：

12lim ()[,,...,]L t t →∞

=U u u u

定理证明见文献[5]。在该定理的基础上，文献[6]首次提出数据投影法(DPM)，其表达式为

()orthnorm{(())(1)} 1,2,...t t t t μ=-⋅⋅-=U I R U (6)

设信号数目M 已经事先估计得到，构造初始矩阵U (0)为()N N M ⨯-维随机矩阵，利用上述迭代，U (t )能够逼近信号噪声子空间的基向量矩阵U n ，从而为超分辨频率估计奠定基础。这里μ被称为“步长因子”，当满足0<μ<

MUSIC 算法[7]是超分辨谱估计的经典算法，根据MUSIC 算法的原理，瞬时频率矢量m F 与信号噪声子空间的基向量满足正交关系，即

m n ⋅=F U 0 (7)

U 是一个秩为N-M 的列满秩矩阵，可以认为其后N-M 行向量2U 线性无关，前M 行向量1U 可用后

N-M 行向量线性表示，将矩阵U 分割为12⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

U U U ，根据线性变换可得

1

1

122

--⎡⎤⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦

U U U U U I (8)

线性变换不改变正交性，因此仍然有

m ⋅=f U 0

(9)

采用上述线性变换的好处是可以在不影响参数估计结果的情况下去掉原DPM 算法中的正交化步骤，从而降低计算量。去掉正交化的DPM 表达式为

()(())(1) 1,2,...t t t t μ=-⋅⋅-=U I R U (10)

此时，U 不能逼近噪声子空间基向量矩阵U n ，而是得到一个列向量线性无关的矩阵U 0，并且有

0n =⋅U U Ω，Ω是可逆的旋转矩阵。将0U 分割为01002⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

U U U ，则有

1111

01021212----⋅=⋅=⋅U U U ΩΩU U U

(11)