三角换元法在两类问题中的应用

三角换元法在两类问题中应用 浙江省三门中学 王 强

最常见的三角换元是利用同角三角函数中的平方关系对代数式中满足：

221(1(x y x y +=+=或其它常数），或其它常数）

的结构进行三角代换以挖掘代数式中的隐含条件或以单一变量替换双变量发挥三角恒等变换的功能进行解题。

一、求无理函数式的值域：

（一）0,0)y ax b m =>>型函数

例：求函数y x =

解：令cos ,[0,]x θθπ=∈

，则cos sin )4

y π

θθθ=+=+

所以函数的值域为[-

（二）0,0)b

y m a m

=

>+

>型函数

例：求函数y =

解：注意到根式中：(1)(1)2x x ++-=（代数结构中的隐含关系）

，那么就是求函数：

2)y t =≤≤的值域，令22cos ,[0,]2

t π

θθ=∈

sin )2sin(),[0,]42y ππ

θθθθ∴=+=+∈

y ∴∈

变式：求函数y =

解：y =

(1)(2)3x x ++-=，那么就是求函数：

3)y t =≤≤的值域，令23cos ,[0,

]2

t π

θθ=∈

3sin()y θθθϕ∴=+=+，其中锐角ϕ

满足：sin 3cos ϕϕ⎧

=⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

[,

]2

π

θϕϕϕ+∈+

y ∴∈

二、一类不等式问题的三角换元视角

例：已知实数,x y 满足22

41x y xy ++=，求2x y +的最大值

解析：本题是运用基本不等式进行结构变换求二元变量最值的典型例题，站在运用不等式的

角度：随着系数、结构的变化，问题也是越变越难，比如求x y +，22x y +的最值等，站

在三角换元的角度，22

+=1（ ）（ ）的结构是我们很熟悉的。

解：2241x y xy ++=

可变为：2

21()122y x x ⎛⎫

+

+= ⎪ ⎪⎝⎭

，令：1cos 2sin y x x θθ⎧

+=⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

cos x y θθθ⎧

=⎪⎪

∴⎨⎪=-⎪⎩

R θ∈

2cos )x y θθθϕ∴+=

+=+

2[55

x y ∴+∈-