江西省南昌市第二中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理

南昌二中2014－2015学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分） 1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}- D ．{0,1,2} 2．若2
2520x x -+->2|2|x -等于 （ ） A ．45x - B ．3 C ．3- D ．54x -
3. 6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( ) A.C 3
9 B.A 39
C.. A 69
D. A 39·A 3
3
4．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )
A.13
B. 23
C. 12
D.34 5．若不等式
2
22
9t t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立,则a 的取值范围是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,61 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡134,61 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,132 D. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡22,61 6．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同
7．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为
全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽
取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
附表：
参照附表，下列结论正确的是（ ）．
A. 在犯错误的概率不超错误！未找到引用源。

过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；
B ．在犯错误的概率不超错误！未找到引用源。

过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；
C ．有错误！未找到引用源。

的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；
D ．有错误！未找到引用源。

的把握认为“小动物是否被感染与有没
有服用疫苗无关”．
8．如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上.当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于（ ）
A. 2
12
a
B.
214a
9．下列四个结论，其中正确的有 （ ）个． ①已知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

；
②过原点作曲线错误！未找到引用源。

的切线，则切线方程为错误！未找到引用源。

（其中错误！未找到引用源。

为自然对数的底数）；
③已知随机变量错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

④已知错误！未找到引用源。

为正偶数，用数学归纳法证明等式错误！未找到引用源。

时，若假设错误！未找到引用源。

时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明错误！未找到引用源。

时等式成立，即可证明等式对一切正偶数错误！未找到引用源。

都成立．
⑤在回归分析中，常用错误！未找到引用源。

来刻画回归效果，在线性回归模型中，错误！未找到引用源。

表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，错误！未找到引用源。

越接近1，表示回归的效果越好． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，则这两条棱互相垂直的概率为 （ ） A ．
2281
B ．
37
81
C ．
44
81
D ．
5981
11．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1，2，…，8，若同颜色的球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为 （ ）
A ．31
B ．27
C ．54
D ．62
12．在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关
合上时，电路畅通的概率是 ( ) A ．
3629 B ．720551 C ．7229 D ．144
29
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（用数字作答）。

14．由数字1，3，4，6，x 五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位上的数字之和的总值为2640，则x
15．已知x 的最大值为
16．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
三、解答题 17．（本小题满分10分）
已知集合错误！未找到引用源。

．
（Ⅰ）若错误！未找到引用源。

的充分条件，求错误！未找到引用源。

的取值范围； （Ⅱ）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的取值范围．
18 （本小题满分12分）
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
（I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）
已知函数()3,f x k x k R =--∈且(3)0f x +≥的解集为[]1,1-
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）若,,a b c 是正实数，且
111123ka kb kc ++=，求证：123
1999
a b c ++≥。

20．（本小题满分12分）
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：y a bx =+与y=2C x
1e C 哪一个作为繁殖的个数y 关于时间x 变化的回归方程类型为最佳？（给出判断即可，不必说明理
由）
其中ln i i z y =；
1
16i i z z ==∑
（2）根据（1）的判断最佳结果及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程。

参考公式： 1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑ a y bx =-
21．（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，已知,45︒=∠ABC O 在AB 上，且,3
2
AB OC OB =
=又PO ⊥平面1
,//,2
A B C D A P O D A
A O P O ==. （Ⅰ）求证：PD ⊥平面COD ；
（Ⅱ）求二面角B DC O --的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知函数2()(1)2ln k f x x x =--*()k N ∈.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）当k 为奇数时，0x >，*
n N ∈时，求证：/1/[()]2()2(22).n n n n n f x f x --≥-
南昌二中2014－2015学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷参考答案
一．选择题：ABABC AABBC AA 二．填空题
13．31； 14．8x =； 15
． 16．
112
三．解答题 17． 解：（Ⅰ）错误！未找到引用源。

①当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，不合题意;
②当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，由题意知错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

③当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，此时无解,综上：错误！未找到引用源。

（Ⅱ）错误！未找到引用源。

① 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，合题意．
② 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用
源。

③ 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用
源。

综上述：错误！未找到引用源。

时错误！未找到引用源。

18.解：（Ⅰ）设事件错误！未找到引用源。

为“两手所取的球不同色”， 则错误！未找到引用源。

.
（Ⅱ）依题意，错误！未找到引用源。

的可能取值为0,1,2． 左手所取的两球颜色相同的概率为错误！未找到引用源。

， 右手所取的两球颜色相同的概率为错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

， 所以Ｘ的分布列为： 错误！未找到引用源。

. ()3=--f x k x ，所以(3)0
+≥f x 19解：（Ⅰ）因为等价于≤x k 得0≥k ，且其解集为{}-≤≤x k x k 由≤x k 有解，
的解集为[]1,1-，故1=k
又(3)0+≥f x （Ⅱ）由（Ⅰ）知
111
123++=a b c
，又,,a b c 是正实数，由均值不等式得 111223323(23)()323233223233()()()322292332++=++++=++++++=
++++++≥+++=a a b b c c
a b c a b c a b c b c a c a b
a b a c b c b a c a c b 当且仅当23==a b c 时取等号。

也即123
1
999++≥a b c
20. (1)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=2C x
1e C 的周围，于是选择y=2C x
1e
C
ˆ
由6
1
6
2
1
()()
()
i
i
i i
i x x z
z b x x ==--=
=
-∑∑12.04
0.68817.5
=，a z bx =-=1.122 得ˆZ=0.688X 1.122+； 则有0.688x 1.122ˆy
=e + 21．解：（Ⅰ）设1,2,1
OA PO OB DA ====则， 由//,DA PO PO ⊥平面ABC ，知DA ⊥平面,ABC DA AO ∴⊥.
从而DO PD =在PDO ∆中2PO = PDO ∆∴为直角三角形，故DO PD ⊥ 又2,45OC OB ABC ==∠=︒ ，AB CO ⊥∴又PO ⊥平面,ABC
,,PO OC PO AB ∴⊥⊂平面,PAB PO AB O = ，⊥∴CO 平面PAB ． （Ⅱ）以,,OC OB OP 所在射线分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系如图
则
由
（
Ⅰ
）知
，
(2,0,0C B P D -,
(0,1,1),(2,2,0),(0,3,1)
PD BC BD ∴=--=-=-
由（Ⅰ）知
PD ⊥平面,COD PD ∴
是平面DCO 的一个法向量，
设平面
B D 的法向量为0220
(,,),,300n BC x y n x y z y z n BD ⎧⋅=-=⎧⎪=∴∴⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩
， 令1y =，则1,3,(1,1,3)x z n ==∴=
，
cos ,11||||PD n PD n PD n ⋅∴<>===-
由图可知，二面角B DC O --
22．解：（Ⅰ）由已知得0x >且/2()2(1)k
f x x x
=--⋅
当k 为奇数时，则/
()0f x >，则()f x 在(0,)+∞上是增函数；
当k 为偶数时，则/
22(1)(1)()2x x f x x x x
+-=-
= 所以当(0,1)x ∈时，/()0f x <，当(1,)x ∈+∞时，/()0f x >
故当k 为偶数时，()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数。

（Ⅱ）由已知得，/2()2f x x x =+(0)x >，所以左边=122(2)2(2)n n n
n x x x x -+-⋅+
12242142112()n n n n n n n n n n n C x C x C C x x ------=++⋅⋅⋅++ 令S=1224214211n n n n n n n n n n C x C x C C x x
------++⋅⋅⋅++倒序相加得 1224241
2244211112()()()()
n n n n n n n n n n n n n n S C x C x C x C x x x x x
----------=++++⋅⋅⋅++++2
≥1221()n n n n n n C C C C --++⋅⋅⋅++=2(22)n -，可得(22)n S ≥-，
所以：/1
/[()]2()2(22).n n n n n f x f x --≥-成立。