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高一数学上学期第二次月考(12月)试题及答案

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2024学年吉林省长春外国语学校高一上学期12月月考数学试题及答案

2024学年吉林省长春外国语学校高一上学期12月月考数学试题及答案

长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭2. 实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A. a c b<< B. a b c<< C. b a c<< D. b<c<a 3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +的图象大致是（）.A.B.C. D.4. 已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A. 2B. 3C. 5D. 75. 设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 的不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. (],e -∞ B. (],1-∞ C. []0,e D. []0,16. 已知点(1,2)在α终边上，则cos α=（ ）A.B.C.23D.137. 已知α锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）9. 下列选项中正确的是（ ）A. ()sin 3sin απα-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()tan tan απα--=- D. 5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭的为10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（ ）A. ()23f x x-= B.()1xf x e=C. ()()23log 1f x x =+ D. ()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4a b += B. lg 4b a -= C. 22lg 5ab < D. lg 5b a ->12. 下列正确的命题是（ ）A 5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 若()cos cos 2f x x =，则()sin 30f ︒=C. 若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D. 若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.15. 设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x=++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----++..18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．19. 已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.21. 已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．22. 已知函数()1lg 1xf x x -=+.（1）求不等式()()()lg20ff x f +>解集；（2）函数()()30,1xg x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.的长春外国语学校2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷出题人 ：赵宇审题人：王骏牧本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()ln(12)f x x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.【详解】定义域要求120x ->，即12x <.故选：B ．2. 实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. a b c<< C. b a c<< D. b<c<a【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得到a b c 、、的范围从而得到答案.【详解】000.21a <=<=，0.20b =<=，1c =>=，所以b a c <<，故选：C.3. 已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +图象大致是（）.A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可.【详解】由题意，1a >，()()1log 1afx x +=+，()()11f x f x -+=+，所以函数()1f x +是偶函数，当0x =时，()()01log 010af+=+=，故排除选项C 、D ，当0x >时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A.故选：B【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题.4. 已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】D 【解析】的【分析】根据给定的分段函数，按条件分段计算即可作答.【详解】函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则2(1)log 10f ==，0((1))(0)912f f f ==+=，而331log log 202=-<，因此，33log 2log 222331(log )(log 2)91(3)12152f f =-=+=+=+=，所以31((1))(log 2572f f f +=+=故选：D5. 设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. (],e -∞B. (],1-∞C. []0,eD. []0,1【答案】A 【解析】【分析】分0x ≤、0x >解不等式()1g x ≤，综合可得出原不等式的解集.【详解】当0x ≤时，由()e 1xg x =≤可得0x ≤；当0x >时，由()ln 1g x x =≤可得0e x <≤.综上所述，不等式()g x 的解集为(],e -∞.故选：A.6. 已知点(1,2)在α的终边上，则cos α=（ ）A.B.C.23D.13【答案】B 【解析】【分析】根据终边上点，结合三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由题设cos α==.故选：B7. 已知α为锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.的的【答案】D 【解析】【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭由诱导公式得ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππcos sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π3tan π3cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意将数据120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ =代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ =时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝，所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）9. 下列选项中正确的是（ ）A. ()sin 3sin απα-= B. 7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()tan tan απα--=- D. 5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】利用诱导公式一一验证即可；【详解】解：sin(3)sin()sin()sin απαππαα-=-=--=-，故A 不正确；71cos cos sin 22απαπα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；tan()tan()tan απαα--=-=-，故C 正确；51sin sin cos 22παπαα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD10. 下列所给函数中值域为()0,∞+的是（）A. ()23f x x-= B.()1xf x e=C. ()()23log 1f x x =+ D. ()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩【答案】AD 【解析】【分析】A. 利用幂函数的性质判断；B.令 ()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，转化为指数函数判断；C. 令211t x =+≥，转化为对数函数判断；D. 分0x >和 0x ≤讨论求解判断.【详解】A. 因为()23f x x -=的定义域为{}|0x x ≠，因为函数在()0,∞+上是减函数且为偶函数，所以其值域是()0,∞+，故正确；B.令 ()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，则()()()10,11,x f x e =∈⋃+∞，故错误；C. 令211t x =+≥，则()()23log 1[0,)f x x =+∈+∞，故错误；D. 当0x >时，()()0,f x ∈+∞，当 0x ≤时，()[1,)f x ∈+∞，综上：()()0,f x ∈+∞，故正确；故选：AD11. 若105a =，1020b =，则（ ）A. 4a b += B. lg 4b a -= C. 22lg 5ab < D. lg 5b a ->【答案】BC 【解析】【分析】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，再利用对数运算公式对,a b 进行a b +，b a -，ab 运算，从而可判断各选项.【详解】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，则()lg 5lg 20lg 520lg1002a b +=+=⨯==，选项A 错误；20lg 20lg 5lglg 4lg 55b a -=-==<，选项B 正确，选项D 错误；()2lg 5lg 20lg 5lg 4lg 5lg 5lg 4lg 5ab =⨯=⨯+=⨯+，lg 4lg 5<Q ，222lg 5lg 4lg 5lg 5lg 5lg 52lg 5⨯+<⨯+=∴，22lg 5ab <∴ ，选项C 正确.故选：BC.12. 下列正确的命题是（ ）A. 5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 若()cos cos 2f x x =，则()sin 30f ︒=C. 若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D. 若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--【答案】ACD【解析】【分析】运用诱导公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数的商数关系即可求得各个选项.【详解】对于A 项，5ππlg sin lg sin lg1022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 项正确；对于B 项，因为()cos cos 2f x x =，所以1(sin 30)(cos 60)cos1202f f ︒︒︒===-，故B 项错误；对于C 项，因为()1sin πsin 2αα+=-=-，所以1sin 2α=，所以()1sin 4πsin()sin 2ααα-=-=-=-，故C 项正确；对于D 项，因为()tan πtan 2αα+==，所以()()()()sin πcos πsin cos sin cos tan 1213sin πcos πsin cos sin cos tan 121αααααααααααααα-+---+++=====+---+---，故D 项正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．【答案】25π【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求出．【详解】设扇形的圆心角的大小为α，由212S r α=可得，241252πα=⨯⨯，解得25πα=．故答案为：25π．14. 若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.【答案】4.【解析】【分析】根据对数的运算性质，可得(1)(3)5x x +-=，解得答案．【详解】解：因为5()log f x x =，所以()()555(1)(3)log 1log 3log (1)(3)f x f x x x x x ++-=++-=+-，5(1)(3)log (1)(3)1f x f x x x ++-=+-= 即(1)(3)5x x +-=，所以4x =或2x =-（舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于基础题．15. 设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得()f x 在R 上为增函数，利用函数的单调性解不等式即可得解.【详解】由于当2x <时，()2xf x =为增函数，且()()24f x f <=，由于当2x ≥时，()2f x x =为增函数，且()()24f x f ≥=，∴()f x 在R 上为增函数，∵()()121f a f a +≤-，∴121a a +≤-，解得2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞，故答案为：[2,)+∞．16. 已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x =++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】由题可得函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，进而可得当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，利用基本不等式即得.【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，又当12x >时，1()f x x m x =++，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()f x 单调递增，要使函数()f x 的值域为R ，则当12x >时，1()0f x x m x=++≤有解，又当12x >时，12x m m m x ++≥=+，当且仅当1x x =，即1x =取等号，∴20m +≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----++【答案】（1）8 ；（2）132【解析】【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案（2）利用指数运算性质化简即可得到答案.【详解】(1)原式6232=lg 4lg 252log 3log 23+++⨯2lg100263=++⨯2248=++=；(2)原式34413162992=--++=18. 已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】sin α=，cos α=tan 4α=-.【解析】【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.【详解】角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，取角α的终边上的点(1,4)P -，则||r OP ===，所以sin α==cos α==；4tan 41α==--.19. 已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．【答案】（1）1225-；（2）75．【解析】【分析】（1）由1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，利用三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）知sin cos 0θθ⋅<，得出可得sin θcos θ0->，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】（1）由题意知1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，可得21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+⋅=，解得12sin cos 25θθ⋅=-．（2）由（1）知12sin cos 025θθ⋅=-<，所以sin 0,cos 0θθ><，可得sin θcos θ0->，所以sin cos θθ-===75=．20. 已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.【答案】（1）17-；（2）-1.【解析】【分析】（1）用诱导公式化简函数得()tan f x x =，已知条件为1tan 3α=，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；（2）由“1”的代换得2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+，然后分子分母同除以2cos αtan α的函数再代入求值．【详解】（1）cos sin (tan )()tan cos sin x x x f x x x x -==- ∵1()3f α=，∴1tan 3α= 2sin cos 2tan 1sin 2cos tan 2αααααα--=++121131723⨯-==-+（2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+2211212tan tan 19311tan 119ααα⨯----===-++．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间三角函数关系，齐次式求值问题．关于sin ,cos αα的齐次分式均可化为关于tan α的函数求值．21. 已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；的（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1；（3）[1,1]-【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；（2）利用函数奇偶性的定义求解即可；（3）求出函数的值域，利用子集关系求解即可.【小问1详解】证明：设12x x <且12,x x R∈则()()()()()121212122552251515151x x x x x x f x f x m m -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭121212510,510,550x x x x x x <∴+>+>-< ()()120f x f x -<即()()12f x f x <()f x 在R 上单调递增【小问2详解】()f x 是R 上的奇函数，22()()05151x x f x f x m m -+-=-+-=++即225202205151x x x m m ⎛⎫⨯-+=⇒-= ⎪++⎝⎭1m =【小问3详解】由22500225151x x x m m m >⇒<<⇒-<-<++(2,)D m m =-，[3,1]D ⊆-23111m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨≤⎩m 的取值范围是[1,1]-22. 已知函数()1lg1x f x x -=+.（1）求不等式()()()lg20f f x f +>的解集；（2）函数()()30,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()3,+∞【解析】【分析】（1）求得()f x 的定义域和值域及函数的单调性，得1111012x x -<<+，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当01x ≤<时，()f x 的值域；以及讨论1a >，01a <<时()g x 的值域，由题意可得()f x 和()g x 的值域存在交集，即可得到所求范围；【小问1详解】由101x x ->+，可得11x -<<，故函数定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()11lg lg 11x x f x f x x x +--==-=--+，即()f x 为奇函数.又()()1212lg lg lg 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，函数211y x =-++在()1,1-上单调递减，值域()0,∞+.由复合函数的单调性质知()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()lg20f f x f +>，转化为()()()lg2f f x f >-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()lg2lg2ff x f f >-=-，因为()f x 在()1,1-上单调递减，所以()1lg2f x -<<-，即11lg lg21x x --<<-+，即1111012x x -<<+，即111102x x x ++<-<，解得19311x <<，为则原不等式的解集为19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以[)0,1x ∈时，()f x 的值域与()g x 的值域有交集.因为()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭在[)0,1上是减函数，()01f =，所以()f x 的值域为(],0-∞，当1a >时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递减，故()g x 的值域为(]3,2a -，所以30a -<即3a >，当01a <<时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递增，故()g x 的值域为[)2,3a -，不符.综上所述，实数a 的取值范围为()3,+∞.。

四川省成都市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

四川省成都市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。

湖北省襄阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

湖北省襄阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

襄阳2023-2026届高一上学期12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α的值为（）A.35 B.45-C.35±D.45±【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()3,4-，所以3cos 5α==.故选：A.2.在平面直角坐标系中，点()tan 2023,sin 2023P ︒︒位于第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式判断得P 点坐标的符号，从而得以判断.【详解】因为()tan 2023tan 5360223tan 2230︒=⨯︒+︒=︒>，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒=⨯︒︒+︒=<，所以()tan 2023,sin 2023P ︒︒在第四象限；故选：D.3.函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.()e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.4.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，设4054N =⨯，则N 所在的区间为（）A.()101110,10 B.()111210,10C.()121310,10 D.()131410,10【答案】C 【解析】【分析】先求出lg N 的值，结合选项即可判断．【详解】4051020423N =⨯=⨯，()10200lg lg 10lg 1002.30103220lg 3200.477112.552N ⨯≈⨯==+⨯=+，所以N 所在的区间为()121310,10.故选：C5.已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，在下列不等式中，一定成立的是（）A.()()12f f ->-B.()()12f f -<-C.()()21f f -> D.()()21f f -<【答案】A 【解析】【分析】由题意得到()f x 在()0,∞+单调递增，可得到()()12f f <，结合奇函数的性质即可得解.【详解】因为对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在()0,∞+单调递增，则()()12f f <，因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的奇函数，则()()()()11,22f f f f =--=--，所以()()12f f --<--，即()()12f f ->-，故A 正确，B 错误；而CD ，由于()f x 不连续，故无法判断()()2,1f f -的大小关系，故CD 错误.故选：A.6.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．7.设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞-C.(,-∞ D.11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为()2,7x ∈，故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解，则max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，又()7g x x x =+在(上单调递减，在)上单调递增，且()7112222g =+=，()()777827g g =+=>，故78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解则8a <.故选：A8.已知1,0,0x y x y +=>>，则121xx y ++的最小值为（）A.43B.54C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y x y +=>>，所以()21212152122224244244x y x x y x x x x y x x y x x y x y x y x x y x x y x x y ++++++=+=+=+=++³+=+++´+++，当且仅当242x y x x x y +=+时，即21,33x y ==时，取等号.故选：B二、多选题9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则（）A.()f x 的最小值为1- B.()f x 在()1,1-上单调递减C.()0f x ≤的解集为(][],20,2-∞-⋃ D.存在实数x 满足()()2f x f x +=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可以写出函数()f x 的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB ；画出函数的图形即可判断C ，特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当0x <时，()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以，函数()f x 的图像如下：显然，函数()f x 没有最小值，故A 错误；根据函数图像可得()f x 在()1,1-上单调递减，故B 正确；令()0f x ≤得(][],20,2-∞-⋃，故C 正确；由图可知，令0x =得()()200f f ==，故D 正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.若,a b n >为正整数，则n n a b >B.若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C.22222a ba b ++≥D.若0απ<<，则0sin 1α<<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则2222222a b ab a b ++≥⨯=⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．11.某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈+R 性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（）A.函数()f x 的图象关于点(0,0)对称B.若12x x <，则()()12f x f x >C.函数()f x 的值域为(1,1)-D.函数()()2xg x f x =-有三个零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇函数的定义判断选项A ；按0x ≥和0x <时分别化简()f x ，结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域，判断选项B 和C ；将函数零点问题转化为方程根，直接求解判断选项D ．【详解】因为函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<.当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时()10f x -<<.因此函数()f x 在R 上是单调递增的，值域为()1,1-，因此B 错误，C 正确；由()()0()0221||2x x x x g x f x f x x x =-=⇒=⇒=⇒=+或1x =或=1x -，所以D 正确，故选：ACD .【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的零点，考查学生运算求解能力，函数零点的求法主要有两种：1.代数法：求方程()0f x =的实数根；2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以画出()y f x =的图象，或者转化为两个图象的交点问题．12.已知函数()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>的零点分别为12,x x，则（）A.1210x x ⋅<B.12lg x x =C.12111x x += D.124x x +>【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数10x y =，lg y x =与1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系，从而逐项分析判断即可得解.【详解】因为()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>，令()0f x =，()0g x =，得101x x x =-，lg 1x x x =-，因为10x y =与lg y x =互为反函数，所以它们的图象关于直线y x =对称，因为1111x y x x ==+--，所以由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象，故函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，即可知点,A B 关于直线y x =对称，作出1xy x =-，10x y =与lg y x =的大致图象，如图，由图象可知A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，对于A ，由上述分析得121110,xx x =>，则11010x >，所以11211010xx x x ⋅=⋅>，故A 错误；对于B ，由上述分析得212212lg ,11x x x x x x ==>>-，故B 正确；对于C ，由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-，故C 正确；对于D ，()211212122124121x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+=≥++⎪++⎝⎭，当且仅当2211x x x x =，即122x x ==时，等号成立，显然(2)2lg 20g =-≠，则22x ≠，故等号不成立，所以124x x +>，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数10x y =与对数函数lg y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，而1x y x =-的图象也关于y x =对称，从而得解.三、填空题13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式21122S lr r α==求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径623r ==，所以该扇形的面积162S lr ==.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，若点P 是角θ终边上的一点，则sin θ=______________.【答案】2【解析】【分析】利用对数函数的性质求得定点P ，再利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，令21x +=，则=1x -，1y =，所以()1,1P -，所以sin 2θ==.故答案为：2.15.已知函数()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则满足不等式()31log 9f x <的x 的取值范围是___________.【答案】10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】因为()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以其定义域为{}0x x ≠，又()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =-在()0,∞+上均单调递减，所以()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，又()119f =，所以()31log 9f x <可化为()3log (1)f x f <，所以()()3log 1fx f <，则3log 1x >，则3log 1x <-或3log 1x >，解得103x <<或3x >，所以不等式的解集为10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)7,9【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，因为()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，先利用指数函数与对数函数的性质作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象，又当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，即每过两个单位，将()f x 的图象向右平移2个单位，同时将对应的y 坐标变为原来的两倍，再作出函数122(0)x y x -=≥的图象，如图所示：由图象可得：11x =，23x =，35x =，L ，21n x n =-，则()2113521nii xn n ==++++-=∑ ，因为()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，所以216n =，得4n =，结合图象，可得实数a 的取值范围是[)7,9.故答案为：[)7,9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.四、解答题17.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{}|211B x m x m =-<≤+.（1）当0m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}14x x -<≤（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A ，从而利用集合的并集运算即可得解；（2）由题意得到B 是A 的真子集，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，根据集合的包含关系即得解.【小问1详解】因为()f x =，所以1620210x x ⎧-≥⎨->⎩，解得142x <≤，所以142A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，当0m =时，集合{11}B x x =-<≤，所以14}A B x x ⋃=-<≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，因为{}|211B x m x m =-<≤+，当B =∅时，211m m -≥+，解得2m ≥，符合题意；当B ≠∅时，则211121214m m m m -<+⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩（等号不同时成立），解得324m ≤<，综上，34m ≥，故m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【答案】（1）112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[]18,68.【解析】【分析】（1）根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >，由此求解出x 的取值范围，则集合A可知；（2）采用换元法令[]42,4xt =∈，将函数变形为关于t 的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.【详解】（1）因为()22log 2log 0x x ⋅≤，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()2444x x y =⋅+，令[]42,4x t =∈，所以24y t t =+，对称轴为18t =-且开口向上，所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=，所以函数的值域为[]18,68.19.设a 为实数，给定区间I ，对于函数()f x 满足性质P ：存在x I ∈，使得()()21f x f x ≥+成立.记集合()(){|M f x f x =具有性质}P ..（1）设[)()0,,I f x =+∞=，判断()f x M ∈是否成立并说明理由；（2）设(]()20,1,log I g x a x ==+，若()g x M ∈，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x M ∈，理由见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）利用函数满足性质P 的定义取值判断并说理即可；（2）根据函数满足性质P 的定义，将问题转化为能成立问题，从而得解.【小问1详解】()f x M ∈，理由如下：因为[)()0,,I f x =+∞=，取1x =，此时()()2122f f =>=，所以()f x M ∈.【小问2详解】因为(]()20,1,log I g x a x ==+，()g x M ∈，所以存在(]0,1x ∈，使得()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++，所以221log x a x +≥，令()()221log 01x h x x x +=<≤，令22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，因为01x <≤，所以11x ≥，所以2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)1,h x ∈+∞，则1a ≥，所以a 的取值范围[)1,+∞.20.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+，且()f x 在()0,∞+上单调递减．（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）解关于x 的不等式()()122f x f -+≥．【答案】（1）证明见解析；（2）13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .【解析】【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.【小问1详解】令1x y ==得()()()1111f f f +=+，即()11f =；令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-，即()11f -=．令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数得证；【小问2详解】由已知定义()()()12221f x f f x -+=-+，所以()()122f x f -+≥即()221f x -≥，所以()()221f x f -≥，因为()f x 是偶函数，且在()0,∞+单调递减，所以()22131122220x x x x ⎧-≤⇒≥≥≠⎨-≠⎩，即()()122f x f -+≥的解集为13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．21.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【解析】【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.22.已知函数()1ln1x f x x -=+.（1）求不等式()()()ln 20f f x f +>的解集；（2）函数()()20,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减.试判断()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否恒成立，并说明理由.【答案】（1）1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）()2,+∞（3）恒成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出()f x 的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为111lnln 12x x --<<+，由此得解；（2）将问题转化为()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；（3）将问题转化为判断ln(21)20n n -++>，再利用()()ln 1h x x x =--的单调性即可得解.【小问1详解】因为()1ln 1x f x x -=+，由101x x ->+，可得11x -<<，即()f x 的定义域为()1,1-；又()()l 111ln n 1x f x f x x x x +-==-+-=--，所以()f x 为奇函数，当01x <<时，易得()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()ln 20f f x f +>，可化为()()()()ln 2ln 2f f x f f >-=-，所以()()11ln 2f x f x ⎧-<<⎪⎨<-⎪⎩，即()1ln 2f x -<<-，即111ln ln 12x x --<<+，即111e 12x x -<<+，解得1e 13e 1x -<<+，则原不等式的解为1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭；【小问2详解】函数()()20,1x g x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；由（1）可知：01x ≤<时，()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 的值域为(],0-∞；若1a >，则()2x g x a =-在[)0,1上单调递减，所以()g x 的值域为(]2,1a -，此时只需20a -<，即2a >，所以2a >；若01a <<，则()2xg x a =-在[)0,1上单调递增，可得()g x 的值域为[)1,2a -，此时[)1,2a -与(],0-∞的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数a 的范围是()2,+∞；【小问3详解】()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，理由如下：因为2121ln l 2n 1212111n n f n nn ⎛⎫ -⎪⎝-==++⎭，所以1111135ln ln l 1n 2462l 223n 157f n f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭+ ()211ln ln 2111351ln 35722n n n n -⎛=⨯⨯⨯⨯⎫==-+ ⎪++⎝⎭，因为()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减，所以当1x >时，()(1)0h x h <=，所以(21)0h n +<，即[]1n(21)(21)10n n +-+-<，即ln(21)20n n +-<，所以ln(21)20n n -++>，即()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。

湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。

安徽省合肥市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

安徽省合肥市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

合肥2023级高一年级数学阶段性限时作业（答案在最后）一､单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合A B ､均是Z 的子集，若A B ⊆，则()Z A B ⋂=ð（）A.∅B.AC.BD.Z Bð【答案】A 【解析】【分析】根据交集，补集和包含关系定义即得.【详解】因为Z A B ⊆⊆，所以()Z A B =∅ ð故选：A .2.23πtan6=（）A. B.3-C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式即可求解.【详解】23ππππtan tan 4πtan tan 66663⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:B.3.不存在函数()f x ，()g x 满足（）A .定义域相同，值域相同，但对应关系不同B.值域相同，对应关系相同，但定义域不同C.定义域相同，对应关系相同，但值域不同D.定义域不同，对应关系不同，但值域相同【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，举例判断，对于C ，由两函数相等的条件分析判断.【详解】对于A ，如2(),[0,1],(),[0,1]f x x x g x x x =∈=∈，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A 错误，对于B ，如22(),[0,1],(),[1,1]f x x x g x x x =∈=∈-，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B 错误，对于C ，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同，所以不存在函数()f x ，()g x 满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C 正确，对于D ，如2(),[0,1],(),[1,1]f x x x g x x x =∈=∈-，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D 错误，故选：C4.已知全集U =R，集合{{}12,R x A x y B y y x +====∈∣,∣，则“()U x A B ∈⋃ð”是“{}0x xx ∈≠∣”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.【详解】由{A xy ==∣可得220x x -≥，解得02x ≤≤，所以{}02,{0},{0U A xx B y y A x x =≤≤=>∴=<∣∣∣ð或(){}2},0U x A B x x >⋃=≠∣ð，故选:C .5.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，()f x 的定义域为{}0xx ≠∣，又因为224cos()4cos ()()11()22x xf x f x x x x x --===-+⋅-+，所以，()f x 为偶函数．当π02x <<时，()0f x >，当π3π22x <<时，()0f x <，当3π5π22x <<时，()0f x >.故选：C ．6.已知函数()()232,1,2,3,3,N a x x f x a x x x ⎧-+=⎪=⎨>∈⎪⎩是减函数，则a 的取值范围是（）A.213172a <<B.213172a ≤<C.283232a << D.283232a ≤<【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.【详解】由条件可知，()3230028320282323232234a a a a a a a ⎧⎧⎪-<<<⎪⎪⎪>⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪>⎪⎪-+>⎩⎩,故选：C.7.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道宽度W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.当100SN≥时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽W 变为原来的3倍，信噪比SN从1000提升到16000，则C 大约是原来的（）倍（其中lg50.7≈）A.4.1B.4.2C.4.3D.4.4【解析】【分析】由22123log 160003lg1600034lg27lg5log 1000lg1000C W C W ===+=-即可求解.【详解】解：当1000SN=时，12log 1000C W =，当16000=SN时，223log 16000C W =，则22123log 160003lg1600034lg274lg5740.7 4.2log 1000lg1000C W C W ===+=-≈-⨯=，故C 大约是原来的4.2倍.故选：B.8.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．二､多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9.下列关于单调性的表述中，错误的是（）A.[],x a b ∀∈，若()()0f a f b -<，则函数()f x 在区间[],a b 上单调递增B.x D ∀∈且1x D +∈，若()()10f x f x -+<，则函数()f x 在区间D 上单调递增C.12,x x D ∀∈且12x x <，若()()120f x f x -<，则函数()f x 在区间D 上单调递增D.12,x x D ∀∈，若()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在区间D 上单调递增【答案】AB【分析】根据函数单调性的定义逐一判断.【详解】对于A ：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故A 错误；对于B ：不满足两个自变量的任意性，故B 错误；对于C ：与单调递增的定义吻合，故C 正确；对于D ：()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，得()()1212f x f x x x ⎧>⎨>⎩，或()()1212f x f x x x ⎧<⎨<⎩，则函数()f x 在区间D 上单调递增，故D 正确，故选:AB .10.已知实数a b c d ､､､，则下列命题中正确的是（）A.若,a b c d ><，则a c b d ->-B.若0a b c >>>，则(1)(1)a b c c +>+C.若a b >，则11a b<D.若0a b c >>>，则()()log 1log 1a b c c +<+【答案】AB 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 、C ；结合指数函数，对数函数的单调性判断B 、D.【详解】对于A :c d c d <⇒->-，又a b >，故由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故A 正确；对于B ：011c c >⇒+>，故(1)x y c =+在R 上单调递增，又0a b >>，故(1)(1)a b c c +>+，故B 正确；对于C ：当0a b >>时，110a b>>，故C 错误；对于D ：()011ln 10c c c >⇒+>⇒+>，故()()()()ln 1ln 111log 1log 1ln ln ln ln b a c c c c aba b+++<+⇔<⇔<，又0a b >>，故ln ln a b >，结合C 可知，D 错误，故选：AB .11.下列说法正确的是（）A.若命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x-<B.若不等式220ax x c ++<的解集为{1xx <-∣或2}x >，则2a c +=C.若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--D.定义在R 上的奇函数()f x ､偶函数()g x 在(],0-∞上单调递减，则()()()()120f g f g -<【答案】BC 【解析】【分析】结合全称量词命题的否定，不等式的解集及函数的单调性与奇偶性依次判断即可.【详解】解：对于A ：量词任意改成存在，结论否定应是小于等于，故A 不正确；对于B ：不等式220ax x c ++<解集为{1xx <-∣或2}x >，则方程220ax x c ++=两根为12-，，且0a <，故21,2-==-ca a，则2,4,2=-=∴+=a c a c ，故B 正确；对于C ：设函数()()223f m x m x =++，则()f m 单调递增，故()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则只需()10f <，即2320,21x x x ++<-<<-，故C 正确；对于D ： 偶函数()g x 在(],0-∞上单调递减，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()1(2),g g ∴< 奇函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，()()()1(2),f g f g ∴>D 错误.故选：BC.12.已知0,0a b >>，且33a b +=，则（）A.ab 的最大值为34 B.113a b +的最大值是43C.2219a b +的最小值是8 D.12a b a b+++的最小值是3-【答案】AC 【解析】【分析】利用基本不等式判断AC ；利用基本不等式“1”的妙用判断B ，利用消元法与基本不等式判断D.【详解】对于A ，0,0a b >> ，所以33a b +=≥，34ab ∴≤，当且仅当332a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，()1111113143223333333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当33b a a b =，即332a b ==时，等号成立，故B 错误；对于C ，34ab ≤，221964683a b ab ∴+≥≥≥⨯=，当且仅当2219a b =且3a b=，即332a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，由33a b +=，得33b a =-，由0330a b a >⎧⎨=->⎩，得01a <<，()()11113332233223333a b a a a a a b a a a a ++=++-=+-=+--++---33≥-=，当且仅当()1233a a =--，即32a =±时，等号成立，此时312±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误，故选：AC.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三､填空题：本大题共4小题.13.已知幂函数()f x 过点()4,2，则不等式()()30x f x ->的解集为__________.【答案】()3,+∞【解析】【分析】代入法求出()f x =，再利用符号法则求解不等式.【详解】设()af x x =，则24a =，所以12a =，()()()(3030f x x f x x =∴->⇔-，即3030x x x ->⎧⇔>⎨>⎩，∴解集为()3,+∞.故答案为：()3,+∞14.已知函数()f x 是函数()()()11,0xg x a a a -=+>-≠的反函数，则()f x 过定点__________.【答案】()1,0【解析】【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解【详解】 函数()f x 是函数()()()11,0x g x a a a -=+>-≠的反函数，又函数()()()11,0xg x a a a -=+>-≠过定点()0,1,所以函数()f x 过定点()1,0.故答案为：()1,015.已知平面直角坐标系xOy ，点P 在半径为2的圆O 上，现点P 从圆O 与y 轴非负半轴的交点A 出发按顺时针方向运动了16圆周，则此时点P 的纵坐标为__________.【答案】1【解析】【分析】根据三角函数的定义可得.【详解】由题意，点P 顺时针转过了60 角，故130,sin 2xOP xOP ∠=∠=，sin 1P y r xOP ∴=∠=.故答案为：1.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为()*Ni x i ∈，若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是__________.（121nin i xx x x ==+++∑ ）【答案】[7,9)【解析】【分析】根据函数()f x 的类周期性作出函数()f x 的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，则当24x ≤≤时，022x ≤-≤，当23x ≤<时，021x ≤-<，此时2()2(2)2(21)x f x f x -=-=-，当34x ≤<时，122x ≤-<，此时2()2(2)2log (5)f x f x x =-=-，依次类推：作出函数()f x 的图象：()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =与12()2x h x -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和12()2(0)x h x x -=>的图象由图象知，当1x =时,()21log 21f ==,()0121h ==，即1x =是函数)(()f x h x =在[0,2]内的唯一一个根，则3x =是函数)(()f x h x =在[2,4]内的唯一一个根，5x =是函数)(()f x h x =在[4,6]内的唯一一个根，7x =是函数)(()f x h x =在[6,8]内的唯一一个根，9x =是函数)(()f x h x =在[8,10]内的唯一一个根，116nii x==∑，135716∴+++=，()()f x h x ∴=在[8,]a 内没有根，则79a ≤<，故实数a 的取值范围是[)7,9故答案为：[)7,9．四､解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()y g x =为偶函数，函数()y h x =为奇函数，()()3xg x h x +=对任意实数x 恒成立.（1）计算()3log 2g 、ln3ln9h ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）试探究()2g x 与()h x 的关系，并证明你的结论.【答案】（1）54，3（2）()()2221g x h x =+，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性求函数解析式，进而可得结果；（2）根据（1）中函数解析式分析证明.【小问1详解】由()()3xg x h x +=得()()3xg x h x --+-=，因为()y g x =为偶函数，()y h x =为奇函数，则()()3xg x h x --=，即()()()()33xx g x h x g x h x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得()332x x g x -+=，()332x x h x --=，所以()33log 2log 23123352log 2224g -++===，1122ln3133ln9223h h --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知：()332x x g x -+=，()332x xh x --=，探究结果：()()2221g x hx =+.证明如下：()223322x x g x -+=，()22223333224x x x x h x --⎛⎫-+-==⎪⎝⎭，所以()()2221g x hx =+.18.已知关于x的一元二次不等式2tan 0x θ-+≤的解集中有且只有一个元素，（1）计算sin cos θθ的值；（2）计算33sin cos θθ+的值.【答案】（1）25（2）25±【解析】【分析】（1）由已知，得Δ0=，所以tan 2θ=，再利用弦化切求值；（2）先求出sin cos 5θθ+=±，再因式分解33sin cos θθ+求值即可.【小问1详解】由已知，关于x 的不等式2tan 0x θ-+≤的解集中有且只有一个元素，Δ84tan 0θ∴=-=，则tan 2θ=.222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5θθθθθθθθ===++.【小问2详解】29(sin cos )12sin cos 5θθθθ+=+=，sin cos 5θθ∴+=±，33sin cos θθ+()()22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ=++-()3sin cos 525θθ=+=±.19.已知函数()21f x ax bx =++．（1）若()10f =，()221f b >+，解关于x 的不等式()0f x ≤；（2）若()011f ≤≤，()122f ≤≤，求()1f -的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）()115f ≤-≤.【解析】【分析】（1）先转化为关于a 的不等式，然后对a 进行分类讨论即可；（2）先求出()1f 和()2f ，再应用待定系数法求出()1f -，最后应用不等式的性质相加即可.【小问1详解】因为()110f a b =++=，所以1b a =--，又因为()242121f a b b =++>+，所以0a >，所以()2010f x ax bx ≤⇒++≤，代入可得()2110ax a x -++≤，即()()()111010ax x a x x a ⎛⎫--≤⇒--≤ ⎪⎝⎭，即()110x x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭当1101a a >⇒<<时，不等式的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当111a a=⇒=时，不等式的解集为{}1；当111a a <⇒>时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当01a <<时不等式的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1a =时不等式的解集为{}1，当1a >时不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】()()01101110122142120421f a b a b f a b a b ⎧≤≤≤++≤-≤+≤⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≤≤≤++≤≤+≤⎪⎩⎩⎩，又因为()11f a b -=-+，令()()42a b x a b y a b -=+++，解得31x y =-⎧⎨=⎩，而()0330421a b a b ⎧≤-+≤⎨≤+≤⎩，两式相加可得04a b ≤-≤，所以115a b ≤-+≤，即()115f ≤-≤.20.已知常数R a ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（1）若3a =，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）若函数()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，求实数a 的取值范围；【答案】（1）()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）6a >【解析】【分析】（1）然后根据对数的单调性进行求解即可.（2）函数()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，化简为()()24510a x a x -+--=在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上有解，对4a =和4a ≠讨论即可.【小问1详解】当3a =时，函数()21log 3,f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22112110log 30log 13102x f x x x x x +⎛⎫∴>⇔+>=⇔+>⇔>⇒<- ⎪⎝⎭或0x >，即不等式的解集为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()()2221log 4250log log 4250f x a x a a a x a x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤--+-=⇔+--+-= ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()14250a a x a x ⇔+=-+->，即()()24510a x a x -+--=且10a x +>，故()()2log 425y f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦至少有一个零点在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，即()()24510a x a x -+--=在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，且10a x +>，当4a =时，=1x -，不符合题意；当4a ≠时，=1x -或14a -，111,22⎛⎫-∉- ⎪⎝⎭，所以,111224a ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭-，则40111242a a a -+>⎧⎪⇒⎨-<<⎪-⎩24011421142a a a ->⎧⎪⎪>-⎨-⎪⎪<-⎩22 46,4 6a a a a a a ⎧>⎪⇒⇒>⎨⎪⎩或或综上所述，实数a 的取值范围是6a >.21.()f x 是定义在R 上的函数，满足以下性质：①x ∀、y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，②当0x <时，()0f x <．（1）判断()f x 的单调性并加以证明；（2）不等式()22303x x f f a x ⎛⎫++> ⎪+⎝⎭恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）判断出()f x 在R 上为增函数，令0x y ==，可得出()00f =，令y x =-，可得出()()f x f x -=-，然后任取1x 、2x ∈R 且12x x <，可得出()120f x x -<，利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）将已知不等式变形可得()2233x x f f a x ⎛⎫+>- ⎪+⎝⎭，利用（1）中的结论可得2233x x a x +-<+，整理可得()21330a x x a +++>对任意的x ∈R 恒成立，分10a +=、10a +≠两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：令0x y ==，可得()()020f f =，则()00f =，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，所以，()()f x f x -=-，任取1x 、2x ∈R 且12x x <，则120x x -<，故()120f x x -<，所以，()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=-<，即()()12f x f x <，因此，函数()f x 在R 上为增函数.【小问2详解】由()22303x x f f a x ⎛⎫++> ⎪+⎝⎭可得()()2233x x f f a f a x ⎛⎫+>-=- ⎪+⎝⎭，所以，2233x x a x +-<+，整理可得()21330a x x a +++>对任意的x ∈R 恒成立，当10a +=时，即1a =-，则有330x ->，解得1x >，不合乎题意；当10a +≠时，则有()10Δ91210a a a +>⎧⎨=-+<⎩，解得12a >.因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.22.已知函数()1(1)x f x a a x=->，（1）试判断函数()f x 的单调性（无需证明），若()f x 在[]3,4上的最小值为803，求a 的值；（2）证明：函数()f x 有且仅有一个零点0x ，且()0000log 222a x x x a x -<-.【答案】（1）增函数，3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的性质判断单调性和求参数即可.（2）先利用零点存在性定理确定范围，再证明即可.【小问1详解】当1a >时，函数x y a =是增函数，又函数1y x=-在[]2,3上也是增函数，()1x f x a x ∴=-在[]2,3上是增函数，（做出判断即可，无需证明）()f x 在[]3,4上的最小值为()8080,333f ∴=，即33180,27,333a a a -=∴=∴=.【小问2详解】()f x 定义域为()(),00,∞∞-⋃+，在()(),00,∞∞-+､上单调递增，当0x <时，()10x f x a x=->，∴函数()f x 在(),0∞-上不存在零点.当0x >时，111,1,1,a f a a a a a ⎛⎫=->∴< ⎪⎝⎭ 函数x y a =是增函数，1a a a ∴<，即10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()()110,f a f x =->在()0,∞+上单调递增，()f x ∴在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点0x ，且01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()0000010,1x x f x ax a x =-=∴=，故要证()0000log 222a x x x a x -<-，即证()020002log 20x a x x a x -+-<，即证()2002log 20a x x -+-<，设()()2log 2g x x =-，则()g x 在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()01g x g a ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，即()01log 2log 2,a a x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭ 当1a >时，12a a+>，()0112,log 2log 2log 1a a a a x a a a ⎛⎫∴-<∴-<-<= ⎪⎝⎭，设()22h x x =-，则()h x 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()011h x h ∴<=-，即()()022*********,2log 22log 2110x a x x x a x x x α-<-∴-+-=-+-<-+=，综上所述，函数()f x 有且仅有一个零点0x ，且()020002log 20x a x x a x -+-<.。

2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期12月月考数学检测试题(含答案)

2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期12月月考数学检测试题(含答案)

2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期12月月考数学检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的零点所在的一个区间是（）()23xf x x =+A ．（-2，-1） B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）2．下列运算中正确的是（ ）A ．B ．373log 7log 4log 4=lg 21ln(ln e)210-⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．D ．若，则=114a a -+=2121a a-+=3．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的？（ ）75%1100（参考数据：）lg20.3010,lg30.4771≈≈A ．16B ．17C ．18D ．194．已知，，，则（ ）0.32=a 0.43b =0.2log 0.3c =A ．B ．a b c >>bc a>>C ．D ．cb a>>b a c>>5．若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（ ）()()2ln 2x x f x e e a =--x R∈a A ．B ．C ．D ．(),-∞+∞()1,+∞()1,1-(),1-∞-6．若是定义在的奇函数，且是偶函数，当时，，则()f x R ()1f x +01x ≤≤()()ln 1f x x =+时的解析式为（）23x ≤≤()f x A ．B ．()()ln 1f x x =-()() ln 1f x x =--C ．D ．()()ln 3f x x =--()()ln 3f x x =-7．已知函数为定义在R 上的奇函数，且在上单调递增，满足()f x [)0,+∞，则实数a 的取值范围为（ ）212(log )(log )2(3)f a f a f -≤A ．B ．C ．D ．[)8,+∞1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,8⎛⎫⎪⎝⎭(]0,88．已知函数且在上单调递减，且函数()()()2433,0,(0log 11,0a x a x a x f x a x x ⎧+-+<⎪=>⎨++≥⎪⎩1)a ≠(),-∞+∞恰好有两个零点，则的取值范围是（ ）()()2g x f x x =+-a A ． B ． C ．D ．123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭ 20,3⎛⎤⎥⎝⎦23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（ ）A ．函数（且）的图象恒过定点()12x f x a -=-0a >1a ≠()1,2-B ．若函数满足，则函数的图象关于点对称()g x ()()6g x g x -+=()g x ()0,3C ．当时，函数的最小值为0x >311y x x =+-+1D ．函数()g x =1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若()f x []12,1a a -+01x a ≤≤+()31f x x x =-+，则（）()2log 1f m >A ．B ．2a =3a =C ．的值可能是16D ．的值可能是6m m 11.已知函数，，则下列说法正确的是（ ）()22()log 21f x mx x m =++-Rm ∈A ．若，则不等式的解集为0m =()1f x <3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．若函数的定义域为，则实数的取值范围是()f x R m ⎫⎪+⎭∞⎪C ．若函数的值域为，则实数()f x [1,)-+∞2m =D ．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是()f x [2,)+∞m ）+∞,0[三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数,若，则的取值范围是；2()log (1)f x x =+10(12)()2f x f x <--<x 13.设函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么的取值范围是________.1()2ax f x x a+=+a 14．若，，且，则的最小值为 ．0x >0y >224log 3log 9log 81x y+=213x y +四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）函数，.2()243f x ax x a =+--a R ∈（1）当时，求函数在上的最大值；1a =()f x []1,1-（2）如果函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围.()f x []1,1-a16．（本小题15分）已知函数是奇函数.1()log (0,1)1amx f x a a x +=>≠-且（1）求实数m 的值；（2）当x ∈（1，a -2）时，函数f （x ）的值域是（1，+∞），求实数a 的值．17．（本小题15分）已知函数．()424x f x =+(1)若函数的图象关于成中心对称图形，求b 值；()f x 12（，b)(2)判断的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式．()f x ()()212f ax x f x ++<+18.（本小题17分已知函数，)22()log (1)1f x x =+-1()2.xg x +=-求证：为奇函数；(1)()f x (2)解关于的不等式x g(x)−g(2−x)≤2x−2(3)若恒成立，求实数k 的取值范围；2f(2x)−k ≥g(x)19．（本小题17分)若函数对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的，()y f x =2x使成立，则称该函数为“依赖函数”.12()()1f x f x =（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；()2xg x =（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数乘积的取值2()(1)f x x =-[,](1)>m n m ,m n mn 范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，24()()3f x x a a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的，有不等式都成立，求实数s 的最大值.t R ∈2()()4f x t s t x ≥-+-+数学答案1.【正确答案】B 因为函数f(x)=2+3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=x,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-153022-=-<1,0），选B ．2.【正确答案】B ，A 错；，B 正确；334log 7log log 47=lg 2lg 21ln(ln e)10ln120210-⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，C 错误；时，，==114a a -+=112122()216a a a a --+=++=，D 错．11224a a-+=3.【正确答案】A 设该种放射性物质初始质量为，经过年，剩留量变为，m n 1100m则可建立模型为， 即，31()4100n m m⋅=1lg22100163lg 32lg 20.477120.3010lg 4n --===≈--⨯所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的. 故选：A.11004．【正确答案】D,,则有：0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>,a c b c>>故有：故选：D0.30.30.4233a =<<b a c >>5．【正确答案】D 由题意得：对恒成立，即恒成立，220x x e e a -->x R ∈2(2)2x x x x a e e e e =-<-令，当且仅当即时，有最小值，故，故选：．(2)x x y e e -=1xe =0x =1-1a <-D6.【正确答案】B 由题意可得，即，()()()111f x f x f x +=-=--()()2f x f x =--当时，，所以，.23x ≤≤021x ≤-≤()()()()2ln 21ln 1f x f x x x =--=--+=--7.【正确答案】D 函数为定义在R 上的奇函数，且在上单调递增，所以在()f x [)0,+∞()f x 上是增函数，，即，所以R 212(log )(log )2(3)f a f a f -≤22(log )(log )2(3)f a f a f +≤，2(log )(3)f a f ≤所以，所以，即实数a 的取值范围为.322log 32log a ≤=08a <≤(]0,88.【正确答案】A 因为函数是上的减函数，则，解得()f x R()234020104303log 11aa a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪+-⋅+≥+⎪⎩，1334a ≤≤函数恰好有两个零点，即方程恰好有两个根，如图，在()()2g x f x x =+-()2f x x=-上方程恰好有一解，所以在上，方程有且仅有一解，[)0,∞+()2f x x =-(),0∞-()2f x x =-当即时，由，即，，则32a >23a >()24332x a x a x +-+=-()242320x a x a +-+-=0x <，解得或1（舍去），()()2Δ424320a a =---=34a =当时，经检验符合题意；34a =当即时，由图象知符合题意.132a ≤≤1233a ≤≤综上，的取值范围是.故选：A.a 123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭9.【正确答案】BD 对A ：令，解得，当时，，故恒过定点10x -=1x =1x =()1f x =-()f x ，A 错误；对B ：因为，则，故的图象关于()1,1-()()6g x g x -+=()()32g x g x +-=()g x 对称，B 正确；()0,3对C ：因为，故，0x>311y x x =+-+312221x x =++-≥=+当且仅当时取得等号，故C错误；1x =-对D ：要使有意义，则，解得，则的定义域()g x =220x x --+≥21x -≤≤()g x 为，[]2,1-由复合函数的单调性可得单调递增，在单调递减，故Dy =12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦正确.10.【正确答案】AD 由于是定义在上的偶函数，所以()f x []12,1a a -+，12120,2a a a a -++=-==A 选项正确，B 选项错误.当时，.由.03x ≤≤()31f x x x =-+312103x x x x ⎧-=⎪⇒=+⎨⎪≤≤⎩若，则，不合题意，C 选项错误.16m =[]22log log 1643,3m ==∉-若，则，，在上递增，所6m =222log log 6log 42m =>=()32213f =-=()31f x x x =-+[]0,3以成立，D 选项正确.故选：AD()2log 1f m >11.【正确答案】BCD 对于A ，当时，，由，可得0m =2()log (21)f x x =-()1f x <，解得，故A 错误.对于B ，因为的定义域为，所以0212x <-<1322x <<()f x R 恒成立，当时，上式不等式为，显然不恒成立；当时，2210mx x m ++->0m =210x ->0m ≠则，解得B 正确；对于C ，因为的值域为，0Δ44(1)0m m m >⎧⎨=--<⎩m >()f x [1,)-+∞所以的最小值为，显然，否则没有最小值，所以221y mx x m =++-120m ≠()f x ，解得，故C 对；20111212m m m m m >⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩2m =对于D ，因为函数在区间上为增函数，()f x [2,)+∞所以当时，，符合题意；0m =2()log (21)f x x =-当时，，解得；综上，，故D 对；0m ≠0124410m m m m >⎧⎪⎪-≤⎨⎪++->⎪⎩0m >0m ≥12.答案解析：由，，且1(33-2210(22)(1)2log x log x<--+<2211x x -∴<<+220x ->，得．10x +>133x -<<13.答案[1，＋∞),解析：　f (x )＝＝a －，ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a2a 2－1x ＋2a ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴即即a ≥1.14.因为，，所以,x >00y >422222log 3log 3log 3log 4x y+=()242221log 33log 3log 29x y =⨯=，所以 ，即22333x y⨯=22x y +=()1212x y +=所以()211212323x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1242233y x x y ⎛⎫=+++⎪⎝⎭1823⎛≥+ ⎝1823⎛≥ ⎝≥当且仅当，即，此时时取等号,43y xx y =4322yx x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩61x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩15.解：（1）当时，则，1a =2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-因为，所以时，[]1,1x ∈-1x =；........................................................................................2分max ()(1)2f x f ==（2）当时， ，令，得，所以函数在上有一个0a =()43f x x =-()430f x x =-=34x =[]1,1-零点, 故时成立........................4分0a =①当时，令, 解得，..................5分0a ≠168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=1,a =-2a =-当时, ，由，得；1a =-22()2422(1)f x x x x =-+-=--()0f x =1[1,1]x =∈-当 时,．由，得，.2a =-221()4414()2f x x x x =-+-=--()0f x =[]11,12x =∈-所以当 时, 均恰有一个零点在上..............................8分12a =--或()y f x =[]1,1-②当，即时，在上必有零点，(1)(1)(7)(1)0f f a a -⋅=-+≤17a -≤≤()y f x =[]1,1-....................9分222121()2422(1),()0157()14410,()01,[1,1]7(a f x x x x f x x a f x x x f x x x =-=-+-=--====+-==-=∈-∴当时，由得，符合题意；当时，则由解得函数有两个零点不合题意，舍去）所以，...............................12分17a -≤<函数恰有一个零点综上所述，函数在区间上存在零点，实数的取值范围是或 (13)()f x []1,1-a 1a ≥-2a =-分16.解（1）由f （x ）=log a （a ＞0且a ≠1）是奇函数，得11mx x +-f （-x ）+f （x ）=log a +log a ==0对于定义域内的任意x 恒成立，11mx x ---11mx x +-22211am x log x --即，得m 2=1，即m =±1．........................................5分222111m x x -=-当m =-1时，原函数化为f （x ）=，定义域为{x |x ≠1}（舍去），∴m =1； (7)11axlog x --分（2）由（1）知，设u =1+，则y =log a u ，1()log 1ax f x x +=-21x -...................9分213a a ->∴> 又∵函数f （x ）的值域是（1，+∞），即y ＞1，∴u =1+（1＜x ＜a -2）的值域为（a ，+∞），........................11分21x -因为函数u =1+在上单调递减，所以a =1+，解得：a =2+；21x -(1,2)x a ∈-23a -3综上，a =2+．..............................15分317.解（1）∵...........5分()144444844(1)22424242442(24)x xx x x x xf f x x -⋅+⋅+-=+=+==+++⋅++函数的图象关于点成中心对称图形，..............................7分()f x 1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,1bb ∴==（2）易知函数为单调递增函数，且对于恒成立,则函数24xy =+240x +>x R ∈在上为单调递减函数，...........................9分()424x f x =+R 由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即，()f x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()()12f x f x +-=不等式得： ，()()212f ax x f x ++<+()()212f ax x f x +<+-即，则，整理得，......................12分()()211f ax x f x +<+-211ax x x ++>-()210x a x ++>所以，当时，不等式的解集为；.............................13分1a =-{}0x x ≠当时，不等式的解集为；.............................14分1>-a {}10x x a x <-->或当时，不等式的解集为..............................15分1a <-{}01x x x a <>--或18.解：证明：函数，即，可得，解得(1)22()log (1)1f x x =+-21()log 1x f x x +=-101x x +>-或，可得定义域为或，关于原点对称...................................2分1x >1x <-{|1x x <-1}x >，则为奇函数；................................4分2211()log log ()11x x f x f x x x -+-==-=-+-()f x （2）不等式，即为式g(x)−g(2−x)≤2x−2g(x)−x ≤g(2−x)−(2−x)设，即，可得在R 上递减，..................................6分()()h x g x x =-1()2x h x x +=--()h x 所以，所以，解得，................................8分g(x)≤g(2−x)x ≥2−x x ≥1所以原不等式的解集为 ................10分[1,).+∞（3）由或，解得，..................11分21x >21x <-0x >所以()恒成立，即，.................................13分)(22)(x g k x f ≥-0x >22112122x x log x k ++--≥-化为，即对恒成立.121221x x x k ++-≥--1212232(21)2121x x x x x k ++≤+=++---0x >...............15分由，当且仅当即时，取得等号，232(21)322721x x ++-+⨯=-…22(21)21x x =--1x =所以，即k 的取值范围是；.............................17分7k ≤(,7]-∞19．解（1）对于函数的定义域R 内任意的，取，则()2x g x =1x 21x x =-，且由在R 上单调递增，可知的取值唯一，故是1112()()221x x g x g x -=⋅=()2x g x =2x ()2x g x =“依赖函数”；..............4分（2）在递增，故，即，21,()(1)m f x x >=- [,]m n ()()1f m f n =22(1)(1)1m n --=由，得：，故，.............................6分1n m >>(1)(1)1m n --=1mn m =-由，得：，即在上单调递减，1n m >>12m <<211211m mn m m m ==-++--()1,2m ∈故，............................8分()4,mn ∈+∞（3），故在上单调递增，即，43a < ()()2f x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭即，即，解得：或(舍)，.............................10()224413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭()4413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1a =133a =分从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t R ∈()()2214x t s t x -≥-+-+即恒成立，.............................13分()22230t xt x s x ++-+-≥由，得：，()224230x x s x ⎡⎤∆=--+-≤⎣⎦()242312s x x +≤-由，可得：，.............................15分4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()12423s x x +≤-又在单调递增，故当时，，即，123y x x =- 4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4x =max 1239x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()429s +≤解得：，故实数s 的最大值为..............................17分14s ≤14。

2022-2023学年江苏省连云港外国语学校高一年级上册学期12月第二次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港外国语学校高一年级上册学期12月第二次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港外国语学校高一上学期12月第二次月考数学试题一、单选题1．集合，，则（ ）{}11M x x =-<<{}02N x x =≤<M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<<{}01x x ≤<{}01x x <<{}10x x -<<【答案】B【分析】根据集合交集的定义进行运算即可.【详解】在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，,M N 由图象可知， .{}|01M N x x =≤< 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x 1≤C ．对任意实数x, 都有x 1D ．存在实数x ，使x 1≤≤【答案】C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．已知角的终边经过点，且，则m 等于（ ）θ()4,P m 4cos 5θ=A ．－3B ．3C ．D ．1633±【答案】D【分析】由三角函数的定义求解即可【详解】因为角的终边经过点，且，θ()4,P m 4cos 5θ=，45=解得，3m =±故选：D4．已知，若，则的大小关系为（ ）01x <<22log ,2,x a x b c x ===,,a b c A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<b D ．c b a <<【答案】B【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出的范围，即可判断的大小关,,a b c ,,a b c 系.【详解】当时，，01x <<22log 0,2,101x x x ><<<故，a c b <<故选：B.5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，1CD =2AB =则图中的长度为（ ）ACBA ．BC ．D 2ππ【答案】B【分析】设圆的半径为，根据勾股定理可求得的值，求出，利用扇形的弧长公式可求得r r AOB ∠结果.【详解】设圆的半径为，则，，r )1OD r CD r =-=-112AD AB ==由勾股定理可得，即，解得222OD AD OA +=)2211r r ⎡⎤-+=⎣⎦r =所以，，所以，，故，OA OB ==2AB =222OA OB AB +=2AOB π∠=因此，.2ACB π==故选：B.6．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图像可能是（ ）1xy a =1log ()2a y x =+0a >1a ≠A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】分类讨论与，然后每种情况利用指数函数和对数函数求解即可.01a <<1a >【详解】当时，则，由指数函数的性质可知单调递增，由对数函数的性质可知01a <<11a >1xy a =单调递减，且当时，，A,B,C,D 中，选项D 满足；1log (2a y x =+1x =13log (1)log 022a a y =+=<当时，则，由指数函数的性质可知单调递减，由对数函数的性质可知1a >101a <<1x y a =单调递増，且当时，，在选项A,B,C,D ，均不满足.1log (2a y x =+1x =13log (1)log 022a a y =+=>故选：D7．若θA ．B ．C ．D ．2tan θ2tan θ2tan θ-2tan θ-【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系化简可求出.【详解】为第二象限角，，θsin 0θ∴>==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=-.1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-故选：D.8．若函数是定义在上的奇函数，且对任意()()2,2x x bf x a b a +=∈+R R ()()()210f mx f mx f +->成立，则m 的取值范围为（ ）x ∈RA ．B ．C ．D ．[)0,4()0,4(-()2-【答案】A【分析】利用奇函数的定义求出的值，并证明函数在上单调递增，即可解抽象不等式,a b R ，转化为一元二次不等式的恒成立问题求解.()()()210f mx f mx f +->【详解】因为函数是定义在上的奇函数，()()2,2x x bf x a b a +=∈+R R 所以解得，所以，()002002b f a +==+1b =-()212x xf x a -=+又因为，()()0f x f x -+=所以即对任意恒成立， 21210,22x x x x a a ----+=++(21)(1)0(21)(2)x x x a a a --=⋅++x ∈R 所以，1a =所以，()21212121x x xf x -==-++接下来证明在上单调递增，()f x R 任意1212,,,x x x x ∈<R 则，12121221222(22)()()(1)(1)2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=---=++++因为所以，所以，12,x x <2122x x >21()()f x f x >所以在上单调递增，()f x R 由得，，()()()210f mx f mx f +->()()210f mx f mx +->即，即，()()21f mx f mx >--()()21f mx f mx >-因为在上单调递增，所以，()f x R 21mx mx >-即对任意恒成立，210mx mx -+>x ∈R 若则恒成立；0,m =10>若则，解得，0,m ≠20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩04m <<综上04m ≤<所以m 的取值范围为.[)0,4故选:A.二、多选题9．若，则下列不等式中正确的是（ ）0a b <<A ．B ．22a b>11a b >C ．D ．122a b<<a b ab+<【答案】ABD【分析】根据不等式的性质结合指数函数的单调性比较大小即可求解.【详解】对于A ，因为，所以，0a b <<0a b ->->所以，即，故A 正确；()()22a b ->->22a b >对于B ，，因为，所以，11b a a b ab --=0a b <<0ab >且，所以，即，故B 正确；0b a ->0b a ab ->11a b >对于C ，根据指数函数在上单调递增，且可知，2xy =R 0a b <<，即，故C 错误；0222a b <<221a b <<对于D ，因为，所以 ，故D 正确.0a b <<0a b ab +<<故选:ABD.10．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）()f x R (),0∞-A ．在上单调递减()f x ()0,∞+B ．最多一个零点()f x C ．()()0.52log 3log 5f f >D ．若实数a 满足，则()(2af f >12a <【答案】ACD【分析】A.由偶函数在对称区间上的单调性判断；B.举例判断；C.由偶函数得到 ，再利用单调性判断；D. 由偶函数得到，再利用单调性求)()(0.52log 3log 3f f=(f f=解判断；【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，)(f x R )(,0∞-所以在上单调递减，故A 正确；)(f x )(0,∞+如，令，得或，函数有2个零点，故B 错误；)(12log f x x=)(12log 0f x x ==1x ==1x -由偶函数得到 ，)()(0.52log 3log 3f f =因为，所以，故C 正确；22log 3log 5<)()(22log 3log 5f f >若实数a满足，即，则，解得，故D 正确；)((2a f f >)(2af f >1222a<=12a <故选：ACD11．下列说法不正确的是（ ）A ．若，，则的最大值为,0x y >2x y +=22x y+4B ．若，则函数的最大值为12x <1221y x x =+-1-C ．若，，，则的最小值为0x >0y >3x y xy ++=xy1D ．函数的最小值为y =4【答案】AC【分析】利用基本不等式及其变形处理.【详解】对于选项A ，，，，则，当且仅当，即0x >0y >2x y +=224x y +≥=22x y =时取等号，即的最小值为，即A 错误；x y =22x y +4对于选项B ，当，则函数12x <，当且仅当即时1221y x x =+-11211112x x ⎛⎫=--++≤-=- ⎪-⎝⎭11212x x -=-0x =取等号，即B 正确；对于选项C ，若，，，则，即，即，则的0x >0y >3x y xy ++=3xy +≤01<≤1xy ≤xy 最大值为，即C 错误；1对于选项D ，函数，当且仅当4y ==+≥=D 正确，=x =故选：AC.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查和的最值及乘积的最值，难度一般,解答时，注意“一正二定三相等”.12．已知函数，下列结论正确的是（ ）()()3log 1,11,13xx x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩A ．若，则()1f a =4a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若，则或()3f a ≥1a ≤-28a ≥D ．若方程有两个不同的实数根，则()f x k=13k ≥【答案】BCD【分析】对A ，分段讨论求解即可；对B ，根据解析式先求出，再求出；20232022f ⎛⎫ ⎪⎝⎭20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对C ，分段讨论解不等式可判断；对D ，画出函数图象，观察图象可得.【详解】对A ，若，则，解得；1a >()()3log 11f a a =-=4a =若，则，解得，故A 错误；1a ≤()113af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭0a =对B ，，33202320231log 1log 202220222022f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，故B 正确；331log 2022log 20223202311log 32022202220223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对C ，若，则，解得；1a >()()3log 13f a a =-≥28a ≥若，则，解得，故C 正确；1a ≤()133af a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1a ≤-对D ，画出的函数图象，()f x方程有两个不同的实数根等价于与有两个不同的交点，()f x k=()y f x =y k =，则观察图象可得，故D 正确.()113f =13k ≥故选：BCD三、填空题13．已知角的终边经过点，且，则实数的值是______．θ()8,3P m --4cos 5θ=-m 【答案】##0.512【分析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】根据三角函数的定义可知，4cos 5θ==-解得或，12m =-12m =又因为，所以即，所以.4cos 05θ=-<80m -<0m >12m =故答案为：.1214．已知，则__________________ ．tan 2α=sin cos sin cos αααα-=+【答案】13【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切，再将代入即可求解.tan 2α=【详解】，sin cos tan 1211sin cos tan 1213αααααα---===+++故答案为：.1315．函数_____________________．y =【答案】()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎣⎦【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．2sin 10x -≥1sin 2x ≥【详解】解：依题意可得，2sin 10x -≥可得，解得，，1sin 2x ≥52266k x k ππππ+≤≤+Z k ∈所以函数的定义域为.()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为：．()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦16．已知函数满足，当时，，若不等式的解()f x ()()2f x f x =-1x ≥()22f x x =-()22f x a ->-集是集合的子集，则a 的取值范围是______．{}13x x <<【答案】24a ≤≤【分析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，()f x ()22f x a ->-再利用子集的要求即可求得a 的取值范围.【详解】由可知，关于对称，()()2f x f x =-()f x 1x =又，当时，单调递减，()22f =-1x ≥()22f x x =-故不等式等价于，即，()22f x a ->-211x a --<122a ax <<+因为不等式解集是集合的子集，{}13x x <<所以，解得．12132aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩24a ≤≤故答案为：24a ≤≤四、解答题17．已知集合，．{}212200,RM x x x x =-+<∈{}1,R N x x m x =-<∈(1)当时，求；2m =M N ⋂(2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的m 存在，求出m 的取值范围；若问题中的m 不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数m ，使得“”是“”的______？x M ∈x ∈N 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1){}23M N x x ⋂=<<(2)答案见解析【分析】（1）先解不等式求出集合，再求出两集合的交集即可，,M N （2）若选择①，则，从而可求出的范围；若选择②，则或，，从而12110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩m 0m ≤012110m m m >⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩可得结果【详解】（1）由，得，解得，212200x x -+<()()2100x x --<210x <<所以，{}{}212200,R 210M x x x x x x =-+<∈=<<当时，，2m ={}12N x x =-<由，得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<所以，{}13N x x =-<<所以．{}23M N x x ⋂=<<（2）当时，，0m ≤N =∅当时，，0m >{}11N x m x m =-<<+选择①充分条件，则有，M N ⊆则，解得，012110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩9m ≥所以存在正实数，使得“是“”的充分条件，且的取值范围为．m ”x M ∈x ∈N m [)9,+∞选择②必要条件，则有，N M ⊆则或，解得，0m ≤012110m m m >⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩0m ≤所以不存在正实数，使得“”是“”的必要条件．m x M ∈x ∈N 18．（1）计算：．230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭（2）计算：．22π5πππcossin sin 3tan 3426⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭（3）已知α【答案】（1）；（2）0；（3）.14cos sin αα-【分析】（1）利用分数指数幂和对数的运算化简计算；（2）利用诱导公式化简计算即可；（3）利用同角三角函数的关系化简即可.【详解】（1）230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭()233222lg 4lg 92lg 253lg 3lg 4---⎡⎤⎛⎫=-+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222lg 32lg103lg 3--⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭92224=--+；14=（2）22π5πππcossin sin 3tan 3426⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭()221πsin π1324⎛⎫=-+⋅--⨯ ⎪⎝⎭；11130223=+-⨯=（3====，sin cos αα=-因为是第四象限角，α所以，sin cos 0αα-<所以原式.cos sin αα=-19．已知函数，其中()1422x x f x a +=-⋅+[]0,3.x ∈(1)若的最小值为，求的值；()f x 1a (2)若存在，使成立，求的取值范围．[]0,3x ∈()33f x ≥a 【答案】(1)5a =(2)1a ≥【分析】（1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值；()()2224x f x a =-+-()min 1f x =a （2）令，，由可得出，求出函数在区间[]21,8x t =∈()2433g t t t =-++()0f x ≥()a g t ≥()g t 上的最小值，即可得出实数的取值范围.[]1,8a 【详解】（1）解：因为，，[]0,3x ∈()()()22242224x x x f x a a =-⋅+=-+-当时，即当时，函数取得最小值，即，解得.22x =1x =()f x ()()min 141f x f a ==-=5a =（2）解：令，则，由可得，[]21,8x t =∈()24f x t t a =-+()33f x ≥2433a t t ≥-++令，函数在上单调递增，在上单调递减，()2433g t t t =-++()g t [)1,2(]2,8因为，，所以，，.()136g =()81g =()()min 81g t g ==1a ∴≥20．已知函数．()()22log 3f x x ax a =-++(1)若的定义域为R ，求a 的取值范围；()f x (2)若对恒成立，求a 的取值范围．()1f x ≥[]2,3x ∈【答案】(1)()2,6-(2)(,2⎤-∞⎦【分析】（1）转化为，可得答案；Δ0<（2）转化为时，利用基本不等式对求最值可得答案．[]2,3x ∈211x a x +≤-2121211+=-++--x x x x 【详解】（1）由题意得恒成立，230x ax a -++>得，()2430a a ∆=-+<解得，故a 的取值范围为．26a -<<()2,6-（2）由，得，()()22log 31f x x ax a =-++≥210x ax a -++≥即，因为，所以，()211x a x +≥-[]2,3x ∈211x a x +≤-因为，所以10x ->，()()2112121222111x x x x x x x -+++==-++≥=---当且仅当，即时，等号成立．211x x-=-1x =故，a 的取值范围为．2a ≤(,2⎤-∞⎦21．中国“一带一路”倡议构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为万元,每生产台,需另投入成本(万元),当年产500x ()C x 量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元),80()21402C x x x =+80()81001012180C x x x =+-若每台设备售价为万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.100（1）求年利润 (万元)关于年产量（台）的函数关系式；y x （2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）902160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：（1）年利润，再根据产量分段求解析式：100()500y x C x =--2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）求分段函数最值，先分段求，再比较大小得最值，当时,根据二次函数对称轴与定义080x <<区间位置关系求得：当时,取得最大值；当时,利用基本不等式求最值：当60x =y 130080x ≥时,最大值为，比较大小得当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最90x =y 150090大值为万元.1500试题解析：（1）当时,;080x <<2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时,,80x ≥.2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<∴=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）当时,, 此时, 当时,取得最大值, 最大值为080x <<()216013002y x =--+60x =y 1300(万元); 当时,, 当且仅当,即时,80x ≥8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭8100x x =90x =最大值为(万元), 所以, 当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为y 150090万元.1500【解析】分段函数求最值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 分段函数最值可以先求各区间段上最值，再综合比较得函数最值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.22．已知函数（a 为常数，且，a ∈R ）.82()4x xx a f x a ⋅+=⋅0a ≠(1)求证：函数在上是增函数；1()h x x x =+[1,)+∞(2)当时，若对任意的，都有成立，求实数m 的取值范围；1a =-[1,2]x ∈(2)()f x mf x ≥(3)当为偶函数时，若关于x 的方程有实数解，求实数m 的取值范围.()f x (2)()f x mf x =【答案】(1)证明见解析(2)(5,]2-∞(3)1m ≥【分析】（1）利用单调性的定义进行作差进行证明；（2）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，()f x 再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；m （3）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方a 122x x t =+程在给定区间有解进行求解.【详解】（1）证明：任取，，且，1x 2[1,)x ∈+∞12x x <则，()()()()121212121212111x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，，121x x ≤<120x x -<120x x >1210x x ->所以，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <所以在上是增函数.1()h x x x =+[1,)+∞（2）解：当时，在上单调递增，1a =-1()22x x f x =-[1,2]所以当时，[]1,2x ∈，()13152,224x x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦所以对任意的，都有成立，[]1,2x ∈()()2f x mf x ≥转化为恒成立，22112222x x x x m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭即对恒成立，122x x m ≤+[]1,2x ∈令，则恒成立，[]22,4x t =∈1m t t ≤+所以，min ()m h t ≤由（1）知在上单调递增，()1h t t t =+[]2,4所以，()min 5()22h t h ==所以的取值范围是.m (5,]2-∞（3）解：当为偶函数时，()f x 对∀x ∈R ，都有，()()0f x f x --=即恒成立，1122022x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭即恒成立，112102x x a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，解得，110a -=1a =所以，()122x x f x =+所以方程，()()2f x mf x =即有实数解()221122*22x x x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令（当时取“”），1222x x t =+≥=0x ==则222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭所以方程，()2*2t mt ⇔-=即在上有实数解，2m t t =-[)2,t ∈+∞而在上单调递增，2m t t =-[)2,t ∈+∞所以.1m ≥。

2024学年西双版纳州部分学校高一数学上学期12月考试卷及答案解析

2024学年西双版纳州部分学校高一数学上学期12月考试卷及答案解析

高一年级数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1,0,1,2,3U =-，{}13,N A x x x =-<<Î，则U A =ð（ ）A. {}1,3- B. {}1,2C. {}1,0,3- D. {}0,1,2【答案】A【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}13,N 0,1,2A x x x =-<<Î=，{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð.故选：A.2. 若π1cos 22a æö+=ç÷èø，则sin a =（ ）A. 12 B. 12- C. D. 【答案】B【解析】【分析】由诱导公式化简条件即可求解.【详解】因为π1cos sin 22a a æö+=-=ç÷èø，所以1sin 2a =-，故选：B3. 函数()22log x f x x =+的零点所在区间为（ ）A. 10,4æöç÷èø B. 11,42æöç÷èø C. 13,24æöç÷èø D. 3,14æöç÷èø【答案】B【解析】【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.【详解】函数()22log x f x x =+是定义域()0,¥+上的增函数，又1412204f æö=-<ç÷èø，1102f æö=>ç÷èø，所以11042f f æöæö×<ç÷ç÷èøèø，所以函数()22log x f x x =+的零点所在区间为11,42æöç÷èø.故选：B .4. 挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】根据分针与时针的特点求解即可.【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时，根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内，因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次，所以一共会重合13次.故选：C.5. 已知幂函数()n f x mx =的图象过点，设()a f m =，()b f n =，()0.8c f =，则（ ）A. c b a<< B. c a b<< C. b c a << D. a b c <<【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出,m n 的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小.【详解】因为幂函数()n f x mx =的图象过点，所以n ìïí=ïî，解得13m n =ìí=î，所以幂函数的解析式为()3f x x =，函数()f x 为R 上的单调递增函数，又0.813<<，所以()()()0.813f f f <<，即c a b <<.故选：B.6. 已知a 终边经过点ππsin ,cos 66P æö-ç÷èø，则a 可能是（ ）A. 5π6 B. π6 C. π3- D. π3【答案】C【解析】【分析】先由题意推出a是第四象限角，接着求出tan a =即可得解.【详解】因π1πsin ,cos626=-=，所以1,2P æççèP 在第四象限，则由题意a 是第四象限角，又因为tan a =所以a 可能是π3-.故选：C.为7. 已知0a >，0b >，211a b +=且a b m +³恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (,3-¥+B. (],6-¥C. (],7-¥D. (,3-¥+【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式与不等式求解a b +最小值即可得实数m 的取值范围，【详解】因为0a >，0b >，211a b +=，所以a b +=()21233b a a b a b a b æö++=++³+ç÷èø，当且仅当2b a a b=，即a =时等号成立，所以()min 3a b +=+，若a b m +³恒成立，则(,3m ¥Î-+.故选：A.8. 已知函数()222,02,0x x x f x x x x ì-³=í--<î在(),1m m +上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (][),21,-¥-+¥U B. []2,1-C. (][),12,-¥-È+¥ D. []1,2-【答案】A【解析】【分析】作出分段函数的函数图象，由图象得到单调区间，建立不等式，得出m 取值范围.【详解】画出分段函数()222,02,0x x x f x x x x ì-³=í--<î的图象，如图所示，所以要使函数()f x 在(),1m m +上单调递增，则1m ³或11m +£-，解得1m ³或2m £-，所以实数m 的取值范围为(][),21,-¥-+¥U ．的故选：A二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题“2:,220p x x x $Î++<R ”，则命题p 的否定是“2,220"Î++³R x x x ”B. “11x y>”是“x y <”的必要不充分条件C. 命题“2,0x x "Î>Z ”是假命题D. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】ACD【解析】【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C ；利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】对于A ：命题p 的否定是x "ÎR ，2220x x ++³，故A 正确；对于B ：11x y >不能推出x y <，例如1123>-，但23>-；x y <也不能推出11x y >，例如23-<，而1123<-；所以“11x y>”是“x y <”的既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ：当0x =时，20x =，故C 正确；对于D ：关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->ìÛÛ<í<î，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.故选：ACD.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若角a 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)(0)P a a a -¹，则2cos()sin(π)a a -++=（ ）A. 25- B. 2- C. 25 D. 2【答案】BD【解析】【分析】由三角函数定义以及诱导公式即可得解.【详解】由题意34cos ,sin 55a a a a a a -===，所以3cos 54sin 5a a ì=ïïíï=-ïî或3cos 54sin 5a a ì=-ïïíï=ïî，所以2cos()sin(π)2cos sin 2a a a a -++=-=±.故选：BD.11. 给出定义：若()1122m x m m -<£+ÎZ ，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论，其中正确的是（ ）A. 函数()y f x =值域为10,2éùêúëûB. 函数()y f x =是偶函数C. 函数()y f x =在11,22éù-êúëû上单调递增D. 函数()y f x =图象关于直线()2k x k =ÎZ 对称【答案】ABD【解析】【分析】根据{}x 的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =，则{}{}11,22x x x -<£+即{}11,22x x -<-£所以{}10,2x x £-£故函数()y f x =值域为10,2éùêúëû，A 正确；函数()y f x =的图象如下图所示，有图可知函数()y f x =是偶函数，B 正确；函数()y f x =在11,22éù-êúëû上有增有减，C 错误；由图可知()y f x =的图象关于()2k x k =ÎZ 对称，D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得弧EC 、连结AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为______.【答案】2π【解析】【分析】结合正六边形的性质及等腰三角形，直角三角形求得,AC EAC Ð，应用扇形面积公式即可求解.【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴2AB BC ==，()621801206ABC BAF -´Ð=Ð==o o ，∵180ABC BAC BCA Ð+Ð+Ð=o∴()()111801*********BAC ABC Ð=-Ð=´-=o o o o ，过B 作BH AC ^于H ，∴AH CH =112122BH AB ==´=，在Rt ABH △中，AH ===，∴AC =，同理可证，30EAF Ð=o ，∴120303060CAE BAF BAC EAF Ð=Ð-Ð-Ð=--=o o o o ，∴2πCAE S ==扇形，∴图中阴影部分的面积为2π.故答案为：2π.13. 若关于x 的不等式 21208kx kx ++£的解集为空集，则实数k 的取值范围是__________【答案】[)0,1【解析】【分析】先对k 进行分类讨论，当0k =时，108£，符合题意；当0k ¹时，若想不等式解集为空集，必有0Δ0k >ìí<î，解之可得k 的范围.【详解】由题意得，关于x 的不等式 21208kx kx ++£的解集为空集，当0k =时，108£，符合题意；当0k ¹时，则须满足0Δ0k >ìí<î，即20Δ0k k k >ìí=-<î，解得01k <<，综上所述，k 的取值范围是01k £<，故答案为：[)0,114. 已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ì++³ï=íæö-<ïç÷èøî的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+¥，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x æö=-çÎ-¥÷èø．因为()f x 的值域为R ，则当0x ³时，min ()3f x £．当0x ³时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+¥，上单调递增，min ()=(0)3f x f \£，即2log 3a £，解得08a <£，即a 的最大值为8．故答案为：8．四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知集合12324x A x ìü=££íýîþ，{}22440,R B x x x m m =-+-£Î.（1）若3m =，求A B Ç；（2）若存在正实数m ，使得“x A Δ是“x B Δ成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.【答案】（1）[]1,5A B =-∩（2）[)4,+¥【解析】【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；【小问1详解】[]12322,54x A x ìü=££=-íýîþ因0m >，则()(){}[]22,R 2,2B x x m x m m m m éùéù=---+Î=-+ëûëû.当3m =时，[]1,5B =-，所以[]1,5A B =-∩.【小问2详解】因“x A Δ是“x B Δ成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集.所以[)002244,253m m m m m m m ¥>>ììïï-£-Þ³ÞÎ+ííïï+³³îî，经检验“=”满足.所以实数m 的取值范围是[)4,+¥.16. 如图，以Ox 为始边作角a 与π0π2b b a æö<<<<ç÷èø，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q的坐标为x æççè.（1）求2sin 5cos 3sin 2cos b b b b+-的值；（2）若OP OQ ^，求P 的坐标.【答案】（（2）P æçè【解析】【分析】（1）首先由点Q 在单位圆上，求x ，再根据三角函数的定义求sin ,cos b b ，即可求解；（2）利用诱导公式求sin a ，cos a ，再根据三角函数的定义求点P 的坐标.【小问1详解】因为点Q 在单位圆上且02b p <<，所以221x +=，得x =即Q ，且由三角函数定义知，sin b =cos b =，1tan 2y x b ==故1252sin 5cos 2tan 521213sin 2cos 3tan 2322b b b b b b ´+++===---´-.【小问2详解】由题意：πsin sin cos 2a b b æö=+==ç÷èø，πcos cos sin 2a b b æö=+=-=ç÷ø，故P æçè17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<£ìï=í+->ï-î.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ì-+-<£ï=í-+->ï-î（2）20，1350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<£ìï=í+->ï-î，.所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ì-+-<£ï=--=í-+->ï-î；【小问2详解】当020x <£时，()()225090451975W x x x x =-+-=--+，由函数性质可知当45x £时单调递增，所以当20x =时，()max 1350W x =，当20x >时，()()()8000400201950201193011W x x x x x éù=-+-=--++êú--ëû，由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x éù=--++£-´+=êú-ëû，当且仅当40011x x -=-，即21x =时，等号成立，所以()max 1130W x =，综上当20x =时，()max 1350W x =.18. 已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性（3）若对任意的t R Î，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）减函数，证明见解析（3）13k <-【解析】【分析】(1)由题意结合()00f =确定实数a 的值即可；(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；(3)由题意结合函数单调性和函数的奇偶性脱去f 符号，结合恒成立的结论求解实数k 的取值范围即可.【详解】（1）由题设，需()()1200112xxf a f x -=\=\=+．经验证，()f x 为奇函数，1a \=（2）减函数.证明：任取1212,,x x R x x Î<，()()()()()1221212121222121212121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，121222x x x x <\<Q ，的的()()210f x f x \-<，所以()f x 在R 上是减函数.（3）由()()22220f t t f t k -+-<得()()2222f t t f t k -<--，()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t \-<-，由（2）知()f x 在是减函数，故原问题可化为2222t t k t ->-即：2320t t k -->对任意t R Î恒成立，4120k \=+<V ，解得13k <-.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题.19. 设函数y =f (x )的定义域为M ，且区间I M Í．若函数()y f x x =+在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质A ；若函数()y f x x =-在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质B ．（1）试证明：“函数()f x 在区间I 上具有性质B ”是“函数()f x 在区间I 上单调递增”的充分不必要条件；（2）若函数()kf x x=在区间[)2,+¥上具有性质A ，求实数k 的取值范围；（3）若函数()32f x x x=+在区间[],1+a a 上同时具有性质A 和性质B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）{}4k k £（3）{1a a £-∣或a ³【解析】【分析】（1）根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断；（2）分析可知()()kg x f x x x x=+=+在区间[)2,+¥上单调递增，结合单调性的定义分析求解；（3）分析可知13y x x æö=+ç÷èø在区间[],1+a a 上单调递增，3y x x=+在区间[],1+a a 上单调递增，结合对勾函数单调性分析求解.【小问1详解】若函数()f x 在区间I 上具有性质B ，对任意12,x x I Î且12x x <，由条件可知()()2211f x x f x x ->-变形可得()()21210f x f x x x ->->，即()()210f x f x ->，所以()f x 在区间I 上单调递增，即充分性成立；若函数()f x 位区间I 上单调递增，如()f x x =在任意区间I 上单调递增，但()0f x x -=，故不符合性质B ，即必要性不成立；所以“()f x 在区间I 上具有性质B ”是“()f x 在区间I 上单调递增”的充分不必要条件.【小问2详解】若具有性质A ，即可知()()kg x f x x x x=+=+在区间[)2,+¥上单调递增．对任意[)12,2,x x Î+¥，且12x x <，则()()()()1212212121120x x k x x kk g x g x x x x x x x --æö-=+-+=>ç÷èø，因为122x x £<，则12120,40x x x x ->，可得12k x x <恒成立，则4k £，所以实数k 的取值范围是{}4k k £．【小问3详解】由条件可知，()f x 具有性质A ，即()13y f x x x x æö=+=+ç÷èø在区间[],1+a a 上单调递增；由条件可知，()f x 具有性质B ，即()3y f x x x x=-=+在区间[],1+a a 上单调递增；由对勾函数可知：13y x x æö=+ç÷èø的增区间为(][),1,1,¥¥--+，3y x x=+的增区间为(),,¥¥-+，要使得条件成立，需要1a +£或a ³解得1a £-或a ³所以实数a 的取值范围是{1a a £-∣或a ³．。

重庆市中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)

重庆市中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)

重庆市2023—2024学年度上期高2026级月考数学试题（答案在最后）（满分150分考试时间120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（）A.513B.－513C.512D.－512【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．【详解】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-.故选：B ．【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．2.函数()22xf x x =+的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,0-C.()1,2 D.()2,3【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，判断()1f -、()0f 等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.【详解】()3102f -=-<，()010f =>，且函数为增函数，由函数零点存在定理，()f x 的零点所在的区间是()1,0-．故选：B .3.直角坐标平面上将函数1()2x f x a +=-（0a >，1a ≠）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数()g x 的图像恒过定点（）A.(2,0)-B.(0,1)C.(2,1)- D.(0,1)-【答案】A 【解析】【分析】先求出()f x 的图像所过定点，再将定点按题中要求平移，从而得解.【详解】因为1()2x f x a +=-（0a >，1a ≠）,令10x +=，得=1x -，021y a =-=-，所以()f x 的图像过定点()1,1--，将定点()1,1--向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得()2,0-，所以()g x 的图像恒过定点()2,0-.故选：A.4.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（）（π3≈）A.185B.180C.119D.120【答案】C 【解析】【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式12S lr =，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案．【详解】设外弧长为1l ，外弧半径为1r ，内弧长为2l ，内弧半径为2r ，该扇面所在扇形的圆心角为α,∵扇形的弧长为l r α=，∴1136πl r α==，2215πl r α==，∵扇形的面积为12S lr =，∴该扇面画的面积为1122111361153572410119222π2ππS l r l r =-=⨯⨯-⨯⨯=≈，故选：C ．5.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<，则不等式20cx bx a ++>的（）A.1125x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣ B.12x x ⎧<-⎨⎩∣或15x ⎫>-⎬⎭C.1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ D.15xx ⎧<⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭【答案】C 【解析】【分析】依题意可得2x =、5x =为方程20ax bx c ++=的两根且a<0，利用韦达定理得到7b a =-、10c a =，则不等式20cx bx a ++>化为210710x x -+<，解得即可.【详解】解：因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<，所以2x =、5x =为方程20ax bx c ++=的两根且a<0，所以2525b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以7b a =-、10c a =，所以不等式20cx bx a ++>，即为20710ax ax a -+>，即210710x x -+<，即()()21510x x --<，解得1152x <<，即不等式20cx bx a ++>的解集为1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣；故选：C6.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长.请预测，从（）年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A.2018 B.2019C.2020D.2021【答案】D 【解析】【分析】根据题意得340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，再利用对数函数的性质解之即可得解.【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y 万吨，n 表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得()3400150%4002nny ⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭，由于第n 年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，即340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取对数得3lg 12n >，即115.67863lg 3lg 2lg 2n >=≈-，又*N n ∈，因此从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故选：D ．7.若关于x 的不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则a 的取值范围是（）A.510,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.(,10)-∞-C.(,2)-∞- D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，转化为max 323a x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，求出33y x x =-的最大值可得答案.【详解】因为1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由不等式23(2)30x a x -+->得233323x a x x x-+<=-，不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，只需max 323a x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，因为33y x x =-在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y 的最大值为393222y =⨯-=，可得922a +<，解得52a <.故选：D .8.已知函数()f x 在[)1,-+∞是增函数，(1)=-y f x 关于y 轴对称，(1)(21)0f m f m --+<成立，则实数m 的取值范围是（）A.(,2)(0,)-∞-+∞B.(2,0)-C.22,3⎛⎫--⎪⎝⎭ D.2(,2),3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()()1g x f x =-，由题意得到()g x 的性质，从而将问题转化为()()22g m g m <+，从而利用()g x 的奇偶性与单调性即可得解.【详解】令()()1g x f x =-，因为()f x 在[)1,-+∞是增函数，(1)=-y f x 关于y 轴对称，所以()g x 在[)0,∞+是增函数，且在R 上是偶函数，又()()(1),22(21)g m f m g m f m =-+=+，所以由(1)(21)0f m f m --+<，得()()220g m g m -+<，即()()22g m g m <+，则()()22g m g m <+，所以22m m <+，两边平方得()2222m m <+，解得2m <-或23m >-.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.“a b >"是“|||a b >∣”的充分不必要条件B.命题“()23,,9x x ∞∃∈-+ ”的否定是“()23,,9"x x ∞∀∈-+>C.设,x y ∈R ，则“2x 且2y ”是“4x y + ”的必要不充分条件D.“1m "是“关于x 的方程220x x m -+=有实根”的充要条件【答案】BD 【解析】【分析】根据充分条件、要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．【详解】对于A ，例如0,1a b ==-满足a b >，但a b <，所以A 错误；对于B ，特称命题的否定为全称命题，命题“()23,,9x x ∞∃∈-+ ”的否定是“()23,,9"x x ∞∀∈-+>，所以B 正确；对于C ，例如2,1x y ==满足224x y + ，但2y <，所以C 不正确；对于D ，方程220x x m -+=有实根Δ4401m m ⇔=-⇔≤ ，所以D 正确．故选：BD ．10.下列对应关系是从A 到B 的函数的是（）A.Z A =，Z B =，2:f x y x →=B.R A =，{}0B x x =>，:||f x y x →=C.Z A =，Z B =，:f x y →=D.{}11A x x =-≤≤，{1}B =，:1f x y →=【答案】AD 【解析】【分析】根据函数定义进行判断即可．【详解】根据函数定义，集合A 中的每一个元素，对应集合B 中唯一元素．对于A ，符合函数的定义，是从A 到B 的函数，故A 正确；对于B ，A 中有元素0，在对应关系下0y =，不在集合B 中，不是函数，故B 错误；对于C ，A 中元素0x <时，B 中没有元素与之对应，不是函数，故C 错误；对于D ，A 中任意元素，在对应关系下1y =，都在集合B 中，是从A 到B 的函数，故D 正确；故选：AD ．11.已知函数21()21x x f x -=+，下面说法正确的有（）A.()f x 的图象关于y 轴对称B.()f x 的图象关于原点对称C.()f x 的值域为()1,1-D.12,x x R ∀∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-恒成立【答案】BC 【解析】【分析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项.【详解】21()21x x f x -=+的定义域为R 关于原点对称,()()2122112()()2112212x x x x x x x xf x f x --------====-+++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 不正确，选项B 正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，22021x--<<+，所以211121x -<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <，则()()()121221121222()()1121212121212222221x x x x x x x x f x f x 骣琪-=---=-=琪++++++桫-，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.12.已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（）A.若2a b +=，则lg lg 0a b +≤B.若20ab a b --=，则29a b +≥C.若2a b +=，则1122a b ab +-≥D.若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+【答案】ACD 【解析】【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可．【详解】对于A ，因为0a >，0b >，所以2a b =+ ，故1ab ，当且仅a b =时取等号，此时()lg lg lg lg10a b ab +== ，故选项A 正确；对于B ，因为20ab a b --=，所以2ab a b =+ ，当且仅当2a b =时取等号，所以228a b ab ，解得8ab ，则28a b + ，故选项B 错误；对于C ，因为2a b +=，所以2111524244(2)a b b a a a b ab b ab b a +-=+-=+≥+，当且仅当552b -==时取等号，故选项C 正确；对于D ，因为111123a b +=++，所以27ab a b =++，所以271b a b +=-，因为0a >，0b >，所以1b >，所以41418237373(1)141461411b ab a b a b b b b b +++=++=++=-++=-- ，当且仅当1b =+时取等号，故14ab a b +++ ，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角θ的终边经过点1(,22-那么tan θ的值是_______.【答案】33-【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角θ的终边经过点1(,),22-所以θ为第二象限角，tan 0θ∴<，由三角函数的定义可得12tan 32θ==-，故答案为3-.【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.14.已知幂函数()f x 满足以下条件：①()f x 是奇函数；②()f x 在(0,)+∞是增函数；③(2)3f >.写出一个满足条件①②③的函数()f x 的一个解析式()f x =______.【答案】3x 【解析】【分析】分别由幂函数，奇函数，增函数定义验证以及(2)3f >验证即可.【详解】因为3()f x x =，定义域为R ，关于原点对称；又()()33()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数；因为30>所以()3f x x =为()0,+∞上的增函数；()32283f ==>；故答案为：3x 15.计算7log 2334log lg 25lg 47log 8log +-+⋅______.【答案】2【解析】【分析】利用对数的运算法则与换底公式计算即可得解.【详解】7log 234log lg25lg47log 8log ++-+⋅21333231log 27(lg 25lg 4)log 2l 22og 3=++⋅-+33321log 3lg1003213log 2log 26+⨯=+-312222=+-+2=.故答案为：2.16.设函数2343,0()1log ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩，给出下列四个结论：①对0t ∀>，方程()f x t =都有3个实数根；②0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x f x -=；③若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是35(,5]9-.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】分析并作出函数()f x 的图象，再利用图象判断各个命题得解.【详解】当0x ≤时，()f x 的图象是开口向上、对称轴为直线2x =-的抛物线243y x x =++在y 轴及左侧部分，当0x >时，()f x 的图象是对数函数3log y x =的图象向上平移1个单位而得，如图，对于①，观察图象知，当3t >时，方程()f x t =只有2个实数根，①错误；对于②，当00x >时，使得有00()()f x f x -=成立，即24+3y x x =-与31+log y x =有交点，而24+3(0)y x x x =->的图象与函数()f x (0)x <的图象关于y 轴对称，显然24+3(0)y x x x =->的图象与函数31+log y x =的图象有公共点，②正确；对于③，不妨设互不相等的实数123,,x x x 且123x x x <<，当满足123()()()f x f x f x ==时，由图可知1222+=-x x ，即124x x +=-，当0x >，()1f x =-，即31+log 1x =-时，19x =，当0x >，()3f x =，即31+log 3x =时，9x =，因此3199x <≤，所以1325359x x x -<++≤，③正确，所以所有正确结论的序号是②③.故答案为：②③四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）已知实数x ，y 满足21x -≤≤-，23y ≤≤，求32x y -的取值范围;（2）已知实数1x >，求21x x +-的最小值.【答案】（1）[12,7]--；（2） 1.【解析】【分析】（1）由不等式的性质求解；（2）由基本不等式求最小值．【详解】（1）因为21x -≤≤-，所以633x -≤≤-，因为23y ≤≤，所以624y -≤-≤-，所以12327x y -≤-≤-，所以32x y -的取值范围是[12,7].--（2）1x >，则10x ->，所以22(1)111x x x x +=-++--11≥=当且仅当211x x -=-，即1x =时，等号成立，所以21x x +-的最小值为 1.18.已知函数()24,02,012,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩.（1）求函数()f x 的零点；（2）当43x -≤<时，求()f x 的值域.【答案】（1）1,22-（2）[)7,4-【解析】【分析】（1）根据题中所给的函数解析式，结合零点的定义分情况运算求解；（2）分情况求得函数在相应区间上的值域，取并集得结果.【小问1详解】当0x <时，令()120=+=f x x ，可得12x =-；当0x =时，可得()(0)20==≠f x f ，不合题意；当0x >时，令2()40==-f x x ，可得2x =或2x =-（舍去）；综上可得，函数()f x 的零点为1,22-．【小问2详解】当40x -≤<时，()12f x x =+，可得7121-≤+<x ，即()71-≤<f x ；当0x =时，()(0)2f x f ==；当03x <<时，2()4f x x =-，可得2544-<-<x ，即5()4f x -<<；综上可得，当43x -≤<时，求函数()f x 的值域为[)7,4-．19.已知函数()()0,1x f x a a a =>≠.（1）若()12f -=，求()()22f f +-的值.（2）若函数()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值.【答案】（1）174；（2）3或13.【解析】【分析】（1）由题意可得12a =，解得12a =，再代入求解即可.（2）讨论1a >和01a <<，运用指数函数的单调性，可得a 的方程，解方程即可得到所求值．【详解】（1）因为()x f x a =，()12f -=，所以12a =，解得12a =，当12a =时，()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22111722224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）①当1a >时，()x f x a =在[]1,1-上单调递增，所以()()()()1max min 8113f x f x f f a a--=--=-=，化简得23830a a --=，解得3a =或13a =-（舍去）.②当01a <<时，()x f x a =在[]1,1-上单调递减，所以()()()()1max min 8113f x f x f f aa --=--=-=，化简得23830a a +-=.解得13a =或3a =-（舍去）.综上可得实数a 的值为3或13.【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；2、问题中的条件是分类给出的；3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.20.已知集合{}2log (1)2A x x =+<，{}48x B x =>，{}22(21)0,C x x a x a a x A =-+++=∈.（1）计算A B ⋂；（2）若集合C 是单元素集，求实数a 的取值范围.【答案】（1）332xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣（2）23a ≤<或21a -<≤-【解析】【分析】（1）利用对数函数、指数函数的单调性求出集合,A B ，再由集合的交运算即可求解.（2）解方程求得集合C ，再利用单元素集的定义列出不等式组即可求解.【小问1详解】由2log (1)2x +<得()222log 1log 2x +<，又函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则2012x <+<，即13x -<<，则{13}A xx =-<<∣，由48x >，得2322x >，故32x >，则32B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∣，所以332A B xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭ ∣.【小问2详解】解22(21)0x a x a a -+++=，得1x a =或21x a =+，所以{C x x a ==或}1,x a x A =+∈，因为集合C 是单元素集，{13}A xx =-<<∣，1a a <+，所以1313a a -<<⎧⎨+≥⎩或1113a a ≤-⎧⎨-<+<⎩，解得23a ≤<或21a -<≤-，所以实数a 的取值范围为23a ≤<或21a -<≤-.21.已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，当1x >时，()0f x >，且()()x f f x f y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求()1f 的值，并证明()f x 在定义域上是增函数；（2）若112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值，解不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.【答案】（1）()10f =，证明见解析；（2）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）令1y =，可得(1)0f =，利用增函数的定义可证()f x 在()0,∞+上是增函数；（2）利用赋值法求出(4)2f =，将不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭化为1(4)x f f x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，根据()f x 的单调性可解得结果.【详解】（1）令1y =，则()()()1f x f x f =-，得(1)0f =，任取210x x >>，则211x x >，210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,∞+上是增函数；（2）在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，令1x =，2y =，则1((1)(2)2f f f =-，即10(2)f -=-得()21f =，再令2x =，4y =，则2((2)(4)4f f f =-，即11(4)f -=-，得()42f =，∵0x >，∴11(1)(4)2x f x f f f x x +⎛⎫⎛⎫++=≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()f x 在()0,∞+上递增得14x x +≥且0x >，得103x <≤.所以不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭的解集为1(0,3.【点睛】关键点点睛：在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，通过赋值法求出(4)2f =是解题关键.22.已知函数()41()log 412x f x x =+-，x R ∈.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）若函数()f x 的图象与直线12y x a =+没有公共点，求a 的取值范围；（3）若函数[]()22()421,0,log 3xf x xg x m x +=+⋅-∈，是否存在m ，使()g x 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）(,0)-∞；（3）存在，1m =-.【解析】【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；（2）根据函数()f x 的图象与直线12y x a =+没有公共点，用分离参数法；（3）复合函数问题，用换元法，令2x t =，讨论2()g t t mt =+即可.【详解】解：（1）证明：因为x ∈R ，又()()4411()()log 41log 4122x x f x f x x x ---=++-++4444141log log 4log 104141x x x x x x --⎛⎫++=+=⨯== ⎪++⎝⎭，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数.（2）原题意等价于方程()411log 4122+-=+x x x a 无解，即方程()4log 41=+-x a x 无解.令()4()log 41x h x x =+-，因为()444411()log 41log log 144x xx x h x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，显然1114x+>，于是()0h x >，即函数()h x 的值域是(0,)+∞.因此当0a ≤时满足题意.所以a 的取值范围是(,0)-∞.（3）由题意1()2()42142f x x x x x g x m m +=+⋅-=+⨯，[]20,log 3x ∈.令2x t =，则[1,3]t ∈.则2()g t t mt =+，[1,3]t ∈.①当2m ≥-时，12m -≤，min ()10g x m =+=，解得1m =-；②当62m -<<-时，132m <-<2min ()04m g x =-=，解得0m =（舍去）；③当6m ≤-时，32m -≥min ()930g x m =+=，解得3m =-（舍去）.综上，存在1m =-，使得()g x 最小值为0.【点睛】方法点睛：（1）对函数奇偶性的证明用定义：()()f x f x =-或()()f x f x =-；。

山东省济宁市济宁市实验中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

山东省济宁市济宁市实验中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年度济宁市实验中学高一数学12月月考卷第I卷（选择题）一、单选题1．下列说法中正确的个数是（）①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角．A．1B．2C．3D．42．已知集合，则（）A．B．C．D．3．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．，B．，C．，D．，4．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．5．设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．(-∞，1]B．[1，+∞)C．(-∞，5]D．[5，+∞)6．函数为定义在上的奇函数，则等于（）A．B．-9C．-8D．7．设函数，若对任意实数，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．二、多选题9．下列说法正确的是（）A．的解集为B．若，则的最小值为3C．D．角终边上一点P的坐标是，则10．如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=a t.关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t311．下列说法正确的是（）A．函数（且）的图象恒过定点B．若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称C．的单调递增区间为D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是第II卷（非选择题）三、填空题12．函数的定义域为．13．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是．14．已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是；的取值范围是．四、解答题15．已知幂函数在上单调递增.(1)求解析式；(2)若在上的最小值为，求m的值.16．计算：（1）（2）（3）已知，用a，b表示．17．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据如图提供的信息，(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；(2)为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.18．设为奇函数，为常数.（1）求的值；（2）证明在区间内单调递增；（3）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数，其反函数为．(1)定义在的函数，求的最小值；(2)设函数的定义域为D，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”．已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数m的取值范围．2024级高一12月月考数学试题参考答案选择题答案题号12345678910答案B B D A B C C C BC ABD 题号11答案ABD8【详解】依题意得，，当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，，即，填空题答案12．13．14．14【详解】当时，令，解得或，因为即为，由题意可知：与有个交点，结合图象可知实数的取值范围是；不妨设，则，，，且，显然，可得，则，即，可得，由对勾函数可知在上单调递增，且，则，即，可得所以的取值范围为.简答题答案15．（1）由题意得，，解得，则.（2）由，对称轴为，当时，，则，即；当时，，则，即（舍去）或（舍去）；当时，，则，即.综上所述，或3.16．（1）（2）；（3）由知：，，而，所以；17．（1）因为图中直线过点，所以图象中线段的方程为，又点在曲线上，所以，所以，所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为.（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，即，所以，所以，解得，所以从药物释放开始，至少需要经过0.5小时，学生才能回到教室.18．（1）∵，∴.∴，即，解得，检验（舍），∴；（2）由（1）可知，证明：任取，即有，即，即，即有，即，∴在上为增函数；（3）设，由（2）得在上为增函数，在上单调递减，则在上为增函数，，又对恒成立，，.19．（1）解：由题意得，所以，．令，，设，，则为开口向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．（2）①设在上存在满足“奇点函数”性质，则．令，则，当且仅当时取等号，又，所以，即，所以，所以，所以；②设在存在满足“奇点函数”性质，则，即有解，因为在上单调递减，所以；同理当在存在满足“奇点函数”性质时，解得；所以实数m的取值范围．。

江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．设集合，，则（ ）{}220A x x x =--<{}1B x x =≤A B = A ．B ．C ．D ．{}11x x -<<{}11x x -<≤{}11x x -≤<{}11x x -≤≤2．命题“2,230x x x ∃∈-+<R ”的否定是（ ）A ．2,230x x x ∃∈-+>R B ．2,230x x x ∀∈-+>R C ．2,230x x x ∃∈-+≥R D ．2,230x x x ∀∈-+≥R 3．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．94．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()224f x x x =-+，则(3)f -的值是（ ）A ．19B ．7C ．7-D ．19-5．如图所示，函数12()f x x=的图象大致为（　）．A ．B ．C ．D ．6．已知函数()120,1x y a a a -=+>≠的图象恒过的定点A ，且A 点在直线()0,0mx y n m n -+=>上，则111m n ++的最小值为（ ）A ．4B ．1C ．2D ．57．小强在研究幂函数11,2,3,,12a y x a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象和性质时得到如下结论，则其中正确的是（ ）A ．幂函数的图象必过定点()0,0和()1,1B ．幂函数的图象不可能过第四象限C ．幂函数12y x =为偶函数D ．幂函数1y x -=在其定义域上为减函数8．已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型：()1.4e 0.12500e 0t y k k -=⋅>．自2023年初起，经过n 年后()*n ∈N ，当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，n 的最小值为（参考数据：）（ ）ln5 1.6094≈A ．10B ．11C ．12D ．13二、多选题（本大题共4小题）9．下列各式中，最小值为4的是（ ）A ．82x y x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．e 4exxy -=+D．y =10．下列说法中正确的是（ ）A ．任取0x >，均有32x x>B．图象经过⎛ ⎝的幂函数是偶函数C ．在同一坐标系中，函数21x y =+与21xy -=+的图象关于y 轴对称D ．方程2log 2x x=-有两根11．下列表达式正确的是（ ）A ．若π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ=+B ．在锐角ABC 中，sin cos A B >恒成立C ．()()sin πtan cos πααα-=-+D ．α∀，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos sin cos αβαβ+<+12．已知()f x 的定义域为R 且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的1x ，()21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）A ．是偶函数B ．()f x ()20230f =C ．的图象关于对称D ．()f x ()1,071948f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题（本大题共4小题）13．已知22log 2log 21x y +=，则3x y +的最小值为.14．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是.15．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上单调递减，()()332f f +-=，则关于x 的不等式()11f x +≥的解集为.16．已知直线π02x a a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与函数()sin f x x =和函数()cos g x x =的图象分别交于,P Q 两点，若14PQ =，则线段PQ 中点的纵坐标为.四、解答题（本大题共6小题）17．（1）设全集为R ，{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，求()A B⋂R ð；（2）7log 2log lg 25lg 47++．18．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,4．(1)求a 的值；(2)求函数|1|()(33)x g x a x -=-≤≤的值域．19．已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．(1)求tan α的值；(2)求2sin cos sin 1ααα-+的值．20．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元()0x ≥满足关系式81ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为1036a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）(1)求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？21．已知函数()121xaf x =++为奇函数.（1）求实数a 的值，并用定义证明()f x 是R上的增函数；（2）若关于t 的不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，求实数k 的取值范围.22．已知a ∈R ，函数2()log ().f x x a =+(1)若关于x 的方程221()log ()0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值;(2)设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间11[,1t t +的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.答案1．【正确答案】B【详解】{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}{}111B x x x x =≤=-≤≤，则{}11A B x x ⋂=-<≤.故选B.2．【正确答案】D【详解】命题“2,230x x x ∃∈-+<R ”的否定是“2,230x x x ∀∈-+≥R ”.故选D.3．【正确答案】D【详解】设半径为r ，则周长1520.5r r =+，则6r =，扇形面积210.592r ⨯=，故选D ．4．【正确答案】C【详解】因为当0x >时，()224f x x x =-+，所以()2332347f =-⨯+=，又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()337f f -=-=-.故选C.5．【正确答案】A 【详解】12()f x x=的定义域为R ,1122()()f x x x f x -=-==，图象关于y 轴对称，可排除选项A,B ；又因为当0x ≥时，12()f x x == C.【方法总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．【正确答案】B 【详解】函数()120,1x y a a a -=+>≠中，由10x -=可得1x =，3y =，即函数的图象恒过定点(1,3)A .若点A 在直线()0,0mx y n m n -+=>上，即有14m n ++=，于是得1111111[(+1)]()(2(2114+14141n m m n m n m n m n ++=++=++≥+=++，当且仅当11n mmn +=+,即2=1m n =，时取等号成立.所以21m n ==，时，111m n ++的最小值为 1.故选B.7．【正确答案】B【详解】对选项A ：1y x -=不过()0,0，错误；对选项B ：0x >时，0ay x =>，幂函数的图象不可能过第四象限，正确；对选项C ：幂函数12y x =的定义域为[)0,+∞，是非奇非偶函数，错误；对选项D ：=1x -时，1y =-；1x =时，1y =，不是定义域上减函数，错误；故选B.8．【正确答案】D【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e00e20%ety k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 5t -<，则ln 50.125ln 5,8ln 512.87520.125t t >>=≈所以，由于*n ∈N ，故n 的最小值为13.故选D.9．【正确答案】CD【详解】对于A ，当0x <时，0y <，所以82x y x =+无最小值，A 不符合题意;对于B ，由已知sin 0x >，所以4sin 4sin y x x =+≥=，当4sin sin x x =即sin 2x =时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以4sin (0)sin y x x x =+<<π 的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C，e 4e 4x x y -=+≥=，当e 4e xx-=即时，取等号，所以ln 2x =最小值为4，C 符合题意;e 4e x x y -=+对于D ，，当4y =≥==x =取等号，所以 的最小值为4，所以符合题意．y =故选CD ．【方法总结】利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.10．【正确答案】ACD 【详解】对选项A ，令()3xf x =，()2xg x =，当0x >时，()3xf x =的图象恒在()2xg x =的上，则A 正确；对选项B ，设()nf x x=，则()22n f ==12n =-，则0x >，所以函数不是偶函数，故B 错误；对选项C ，函数2xy =与2x y -=的图象关于y 轴对称，往上平移1个单位就得到函数21x y =+与21x y -=+的图象，所以还关于y 轴对称，故C 正确；对选项D ，方程2log 2x x=-的根即为函数2log ,2y x y x==-图象交点的横坐标，在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程2log 2x x=-有两根，故D 正确；故选ACD ．11．【正确答案】BCD 【详解】A ：由题设==|sin cos |θθ=-，又π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin cos θθ=-，错；B ：由题意ππ2A B <+<且π0,2A B <<，则ππ22B A -<<，所以πsin sin()cos 2A B B>-=，对；C ：()()sin πsin tan cos πcos ααααα-==-+-，对；D ：由22sin cos (sin cos )sin (sin 1)cos (cos 1)αβαβααββ+-+=-+-，又α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0sin ,cos 1αβ<<，故22sin cos (sin cos )0αβαβ+-+<，所以22sin cos sin cos αβαβ+<+，对.故选BCD.12．【正确答案】ABC 【详解】()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于点(1,0)对称且关于直线2x =对称，故C 正确；所以(1)=(1)f x f x +--，(2)=(2)f x f x +-，(1)0f =，(2)(2)(11)=[1(1)]()f x f x f x f x f x +=-=+----=-(4)(2)=()f x f x f x +=-+，所以()f x 是周期函数，最小正周期为4．(1)(3)(21)(21)(1)0f f f f f -==+=-==，(2023)(45061)(1)0f f f =⨯-=-=，故B 正确；()(2)(2)[2(2)]=()f x f x f x f x f x -=-+=--=--，()f x 是偶函数，A 正确；对任意的()12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()1212f x f x x x ->-，即1212x x <<<时，，所以在是单调递增，12()()f x f x <()f x (1,2)，，，77()=(44f f -19191913(((4)(8888f f f f -=-+=7132148>>>，所以，故D 错．713()()48f f >719()(48f f ->故选ABC ．13．【正确答案【详解】由题可知，0,0x y >>，且222log 2log 2log (22)1x y x y +=⋅=，所以1422xy xy =⇒=，3x y +≥==3x y =时等号成立，又10,0,2x y xy >>=，解得x y ==.14．【正确答案】()2f x x =【详解】()f x 是幂函数，()211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递增，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.15．【正确答案】(][),42,-∞-+∞ 【详解】由题设，易知偶函数()y f x =在(],0-∞上递减，在(0,)+∞上递增，且(3)(3)1f f =-=，所以()11(|3|)f x f +≥=±，故|1|3x +≥，可得13x +≥或13x +≤-，所以2x ≥或4x ≤-，故解集为(][),42,-∞-+∞ .16．【正确答案【详解】由题意知：1sin cos 4PQ a a =-=，()21sin cos 12sin cos 16a a a a ∴-=-=，152sin cos 16a a ∴=；设PQ 中点的纵坐标为b ，当π0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0a >，cos 0a >，sin cos 02a ab +∴=>，215112sin cos 31164464a ab ++∴===，b ∴=【思路导引】由1sin cos 4PQ a a =-=，平方后可求得2sin cos a a ，再将线段PQ 中点的纵坐标求平方值，代入2sin cos a a 进行运算求解.17．【正确答案】（1）{|23x x <<或}710x ≤<（2）154【详解】（1）{|3A x x =<R ð或}7x ≥，所以()A B ⋂=R ð{|23x x <<或}710x ≤<.（2）7log 2log lg 25lg 47++()()13433log lg 25423=+⨯+()143log 3lg 2542-=+⨯+1224=-++15.4=18．【正确答案】(1)a =(2)[]1,4【详解】（1）因为()xf x a =的图象经过点()4,4，则44a =，又0a >且1a ≠，所以a =（2）当33x -≤≤时，412x --≤≤，则014x -≤≤，因为1>，所以()x f x =在R 上单调递增，则4，即114-，所以()g x 的值域为[]1,4．19．【正确答案】(1)3tan 4α=±(2)3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【详解】（1）条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，所以29tan 16α=，即3tan 4α=±.（2）易知2222222s i sin cos sin 1s n cos sin sin cos cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=,由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20．【正确答案】(1)4k =，()6413801y x x x =--≥+(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元【详解】（1）由题知，0x =时，4a =，于是，8401k -=+，解得4k =.所以，481a x =-+.根据题意，103620y a a x a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,即6416101381y a x x x =+-=--+,所以()6413801y x x x =--≥+.（2）6464138139111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭139123≤-=,当且仅当6411x x +=+，即7x =时，等号成立.所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.21．【正确答案】（1）2a =-，证明见解析；（2）1(,)3-+∞.【详解】（1）因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，可得x ∀∈R ，都有()()f x f x -=-，令0x =，可得0(0)110212a a f =+=+=+，解得2a =-，所以221()12121x x x f x -=-=++，此时满足2121()()2121x x x x f x f x -----==-=-++，所以函数()f x 是奇函数，所以2a =-.任取12,x x ∈R ，且12x x <，则1222x x <，因为12122121122(22)2222()()(1)(1)021212121(21)(21)x x x x x x x x f x f x --=---=-=<++++++，即12()()f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数，且22(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，可得22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空，又因为()f x 在R 上单调递增，所以2222t t k t -<-的解集非空，即2320t t k --<在R 上有解，则满足2(2)43()0k ∆=--⨯⨯->，解得，13k >-所以实数的取值范围.k 1(,)3-+∞【关键点拨】第二问将问题转化为2320t t k --<在R 上有解，结合二次函数的性质，可求得k 的值.22．【正确答案】(1)0a =或14-；(2)2[,).3+∞【详解】（1）由题可知2221log ()log ()0a x x ++=有且仅有一解，所以21()1a x x +=有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解，当0a =时，可得1x =，经检验符合题意；当0a ≠时，则140a ∆=+=，解得14a =-，再代入方程可解得2x =，经检验符合题意；综上所述，0a =或14-.（2）当120x x <<时，12x a x a +<+，2122log ()log ()x a x a +<+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因此()f x 在11[,]1t t +上单调递增，故只需满足11(()11f f t t -≤+，即2211log ()log ()11a a t t +-+≤+，所以112()1a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++，设1t r -=，则1[0,2r ∈，21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032r r r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r =-++-，又对勾函数2y x x =+在单调递减，10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，219422r r +≥+=故，112293332r r ≤=+--所以，，12(1)3t t t -≤+所以a 的取值范围为2[,).3+∞。

2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案

2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案

高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（ ）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（ ）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。

四川省成都2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

四川省成都2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

成都高2026届高一上期数学12月考试（答案在最后）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.6730︒'化为弧度是（）A.3π8B.38C.673π1800D.6731800【答案】A 【解析】【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可【详解】π3π673067.51808'︒=⨯=（弧度）．故选：A2.不等式2210x x --<的解集是（）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()1,2- C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.()2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式2210x x --<，可化为(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<，即不等式2210x x --<的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．3.已知函数()()32,20243f x ax bx f =+-=，则()2024f -=（）A.－7B.－5C.－3D.3【答案】A 【解析】【分析】按题意取值即可【详解】因为()320242024202423f a b =⨯+⨯-=，所以3202420245a b ⨯+⨯=，所以()32024202420242527f a b -=-⨯-⨯-=--=-.故选：A.4.已知sin 5β=-，π02β-<<，则cos β=（）A.5B.5±C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】由已知，利用同角公式计算得解.【详解】由π02β-<<，得cos 0β>，而5sin 5β=-，所以25cos 5β==.故选：D5.已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下的,()x f x 对应值表，那么函数()f x 在区间[1,6]上的零点至少有（）x1234567()f x 123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B 【解析】【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.【详解】由数表可知，(2)0,(3)0,(4)0,(5)0f f f f ><><.则(2)(3)0<f f ，(3)(4)0f f <，(4)(5)0f f <，又函数()f x 的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在(2,3),(3,4),(4,5)上至少各一个零点，因此在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选：B.6.已知0.3281log ,log 27, 1.15a b c -=-==，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.b<c<aC.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.【详解】由题意33228221log log 5log 27log 3log 35a b =-=>===，00.3822log 27log 3log 21 1.1 1.1b c -==>==>=，所以,,a b c 的大小关系为c b a <<.故选：D.7.某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据()Q t 的图象确定()C t 的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．8.若定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式2(4)(2)2f x f x x --<+的解集为（）A.()()3,22,1--⋃-- B.()2(),31,-∞-- C.()),31(,2(2,)-∞--+∞ D.(,3)(2,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，并得到()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，分2x >和2x <两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设120x x >>，()()()()211221121200x f x x f x x f x x f x x x -<⇒-<-，故()()()()12211212f x f x x f x x f x x x <⇒<，令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，其中()()f x F x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又()f x 在(,0)(0,)-∞+∞ 上为奇函数，故()()()()()f x f x f x F x F x xxx---====--，所以()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，当20x ->，即2x >时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒<+--，即()()224F x F x -<-，()()224F x F x -<-，故22422x x x x ->-=-⋅+，又20x ->，故21x +<，解得32-<<-x 或2<<1x -，与2x >求交集得到空集；当20x -<即2x <时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒>+--，即()()224F x F x ->-，()()224F x F x ->-，故22422x x x x -<-=-⋅+，又20x ->，故21x +>，解得1x >-或3x <-，与2x <取交集得(),31,2()x -∞--∈ .故选：B二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++<，则命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥B.“x y >”是“x y >”的必要不充分条件C.命题“x ∀∈Z ，20x >”是真命题D.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥，故A 正确；x y >不能推出x y >，例如21->，但21-<；x y >也不能推出x y >，例如23>-，而23<-；所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误；当0x =时，20x =，故C 错误；关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.7π6-是第三象限角B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C.若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D.若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】BC 【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A 选项；利用扇形的面积公式可判断B 选项；利用三角函数的定义四可判断C 选项；取π4α=可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为7π5π2π66-=-且5π6为第二象限角，故7π6-是第二象限角，A 错；对于B 选项，若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为π3π3r ==，因此，该扇形的面积为113πππ3222S r ==⨯=，B 对；对于C 选项，若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α==-，C 对；对于D 选项，因为α为锐角，不妨取π4α=，则π22α=为直角，D 错.故选：BC.11.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AFBC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得ab d a b=+；②由AE AF≥可得2a b+≥；③由ADAE ≥可得211a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥.A.①B.②C.③D.④【答案】ABCD 【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AE AF 的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b =+，故①正确；对于②：因为AFBC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+，所以AE a b==+，因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b+≥，故②正确；对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =，因为AD AE ≥，所以2a b≥+211a b≥+，故③正确；对于④：因为AD AF ≥，所以2≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.12.已知函数12()22(R)x f x x x a a -=-++∈，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 在()1,+∞上单调递减B.函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C.存在实数a ，使得函数()f x 有三个不同的零点D.存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ 【答案】BD 【解析】【分析】对函数()f x 变形，并分析函数()f x 的性质，再判断选项ABC ，利用函数性质解不等式判断D 作答.【详解】R a ∈，函数12()(1)21x f x x a -=-++-的定义域为R ，对于A ，当1x >时，21()(1)21x f x x a -=-++-，而2(1)1y x a =-+-，12x y -=在()1,+∞上都单调递增，因此函数()f x 在()1,+∞上单调递增，A 错误；对于B ，因为12(2)(1)21()xf x x a f x --=-++-=，因此函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称，B 正确；对于C ，对任意实数a ，由选项A 知，函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则函数()f x 在[1,)+∞上最多一个零点，由对称性知，函数()f x 在(,1]-∞上最多一个零点，因此函数()f x 在R 上最多两个零点，C 错误；对于D ，当2a =-时，12()(1)235x f x x -=-+-≥，而(1)(3)5f f -==，由对称性及选项A 知，()f x 在(),1-∞上单调递减，当1x ≤时，得1x ≤-，当1x ≥时，得3x ≥，即()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，所以存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，D 正确.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.第II 卷（非选择题）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.3223827--⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##-0.25【解析】【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.)3232112332433482122733----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1222191223344--⎛⎫⎛⎫=--+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14-.14.已知函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.【答案】()1,5##[)1,5【解析】【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，所以,8m m +为220x x t -+-=的两个根，所以22401t t ∆=->⇒<则()823815m m m m m t t ++==-⎧⎧⇒⎨⎨⨯+==-⎩⎩，即()()212log 215f x x x =-++，令()12log h x x =，则()h x 在()0,∞+单调递减，令()()22215116g x x x x =-++=--+，则()g x 为开口向下，对称轴为1x =的抛物线，且()035g x x >⇒-<<，所以()3,1x ∈-时，()g x 单调递增；()1,5x ∈时，()g x 单调递减；因为()()()()212log 215f x x x h g x =-++=，所以函数()f x 的单调增区间为()1,5.故答案为：()1,515.已知1x ，2x 分别是关于x 的方程ln 2023x x =，e 2023x x =的根，则12x x =________【答案】2023【解析】【分析】令1232023ln ,e ,xy x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，由图象的对称性即可得出答案.【详解】由已知条件有2023ln x x =，2023e x x =，令1232023ln ,e ,x y x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，曲线1ln y x =和2e xy =关于直线y x =对称，曲线32023y x =关于32023y x=，设曲线3y 分别与12,y y 交于点121220232023,,,A x B x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点,A B 关于直线y x =对称，而点112023,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称点为112023,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即为点222023,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212023x x =，所以122023x x =.故答案为：2023.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有()()()2f m n f m n f m -++=，且当0x >时，()0f x <．若()24f =-，2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定[]1,1x ∈-内的最大值为(1)2f -=，从而可得22(42)1m a m <-+-，再分离参变量即可求实数a 的取值范围.【详解】取0,m n ==则有()()()000f f f +=，所以()00f =，取0,,m n x ==则有()()()00f x f x f -+==，所以()f x 为奇函数，任意1212,,,x x x x ∈>R 则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，所以()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x x m n x ==-，则有()11111222222x x x x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()12120f x f x f x x -=-<，所以()f x 在定义域R 上单调递减，所以()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，令()()()1,0,1124m n f f f ==+==-，所以()12f =-，所以max ()(1)(1)2f x f f =-=-=，因为2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，所以22(42)1m a m <-+-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，分离变量可得342a m m+<-，因为函数3y m m =-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，所以min 132y =-=-，所以422a +<-解得1a <-，故答案为:(),1-∞-.四．解答题：本题共6小题.17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设m 为实数，U =R ，集合{}2log (2)1A xx =-≤∣，{2}B x m x m =≤≤+∣．（1）若1m =，求A B ⋃，()U A B ⋂ð；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】17.{|14}x A B x =≤≤⋃，(){|2U A B x x ⋂=≤ð或3}x >18.04m <≤【解析】【分析】（1）先求出集合,A B ，由交集、并集和补集的定义求解即可；（2）由交集的定义求解即可.【小问1详解】由2log (2)1x -≤可得：022x <-≤，则24x <≤，所以{|24}A x x =<≤，当1m =时，{|13}B x x =≤≤，所以{|14}x A B x =≤≤⋃，{|23}A B x x ⋂=<≤(){|2U C A B x x ⋂=≤或3}x >.【小问2详解】易知2m m <+恒成立，A B ⋂≠∅即224m <+≤或24m <≤解得02m <≤或24m <≤所以04m <≤.18.已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-．（1）求t 和cos θ的值；（233的值．【答案】（1）t =cos 3θ=（2【解析】【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.【小问1详解】由三角函数的定义知：6sin 3θ==-，则0t <，于是解得t =3cos 3θ==.【小问2详解】已知终边过点(1,得tan θ=(()3333312151+===-.19.杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为115km /h ν=的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1114Q v t ∆=⋅（1t 表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为22155v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222241v t Q t ⋅∆=+．已知该运动员初始体力为010000kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()15,011551,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060415,01601415516400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值min ()(1)6400Q t Q ==；②疲劳阶段4800()4001200(14)Q t t t t=++<≤，则有4()400120040012005200Q t t t ⎛⎫=++≥+⨯ ⎪⎝⎭；当且仅当4t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ ．20.我们知道，函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数．已知函数4()42x f x =+．（1）利用上述结论，证明：函数()f x 的图像关于1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形；（2）判断函数()f x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式：()()212f x ax a f x ++++<．【答案】（1）证明见解析（2）4()42x f x =+为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明1()()12g x f x =+-为奇函数即可；（2）由题可得4()42x f x =+为减函数，又结合（1）结论可知()()212f x ax a f x ++++<()()()221110f x ax a f x x a x a ⇔+++<-⇔+++>，后分类讨论a 的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明1()()12g x f x =+-为奇函数，又1214414()()11122241424x x xx g x f x +-=+-=-=-=+⋅++，易知函数()g x 定义域为R .R R ，，x x ∀∈-∈1114414()()1144114x x x x x x g x g x ------====-+++，所以()g x 为奇函数，所以()f x 的图像关于1(,1)2成中心对称图形．【小问2详解】易知24x y =+为增函数，且240x +>，对任意的x ∈R 恒成立，所以4()42x f x =+为减函数.又由（1）知，点(,())x f x 与点(1,(1))x f x --关于点1(,1)2成中心对称，即()(1)2f x f x +-=，所以原不等式等价于2(1)2()(1)f x ax a f x f x +++<-=-，所以211x ax a x +++>-，即2(1)0x a x a +++>，由2(1)0x a x a +++=解得121x a x =-=-，，当1a >时，原不等式解集为{|x x a <-或1}x >-；当1a =时，原不等式解集为{|1}x x ≠-；当1a <时，原不等式解集为{|1x x <-或}x a >-．【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.21.定义：对于函数()y f x =，当[],x a b ∈时，值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，当(]0,3x ∈时，()1112f x x =--.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”；（3）求函数()f x 在定义域内的所有“倒值映射区间”.【答案】21.()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩22.[]1,223.[]1,2和[]2,1--【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得()f x 在[)3,0x ∈-上的解析式，结合()00f =，从而求解函数()f x 的解析式；（2）根据函数()f x 在[]1,3上的单调性建立方程组求解即可；（3）根据区间的定义知0a b ab <⎧⎨>⎩，分03a b <<≤和30a b -≤<<讨论，分析函数()f x 的单调性，建立方程组求解即可.【小问1详解】()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，当[)3,0x ∈-时，则(]()110,3,111122x f x x x -∈-=---=-+，又()f x 是奇函数，则()()1112f x f x x =--=-++，所以()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩.【小问2详解】设13a b ≤<≤，函数()3122f x x =-，因为()f x 在[]1,3上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()311223112213f b b b f a a a a b ⎧=-=⎪⎪⎪=-=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”为[]1,2.【小问3详解】因为()f x 在[],a b 时，函数值()f x 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a b ¹且0,0a b ≠≠，所以11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，则0a b ab <⎧⎨>⎩，只考虑03a b <<≤或30a b -≤<<，①当03a b <<≤时，因为函数()f x 在()0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，故当(]0,3x ∈时，()max ()11f x f ==，则11a≤，所以，13a ≤<，则13a b ≤<≤，由（2）知，此时()f x 的“倒值映射区间”为[]1,2；②当30a b -≤<<时，可知因为函数()f x 在[]3,1--上单调递减，()1,0-上单调递增，故当[)3,0x ∈-时，()min ()11f x f =-=-，则11b≥-，所以，31b -<≤-，当[]()133,1,22x f x x ∈--=--在[]3,1--上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()131221312231f b b b f a a a a b ⎧=--=⎪⎪⎪=--=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以()f x 的“倒值映射区间”为[]2,1--；综上，函数()f x 在定义域内的“倒值映射区间”为[]1,2和[]2,1--.22.已知函数()()3log 31x f x mx =++是偶函数．（1）求m 的值；（2）设函数()()311log 322x g x a a x f x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12-（2）0a >或10a =--【解析】【分析】（1）根据偶函数性质()()f x f x -=代入即可求解；（2）令3x t =，转化为关于t 的一元二次函数，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】依题意，因为()f x 的定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()33log 31log 31x x mx mx -++=+-，所以()()333313log 31log log 31log 33x x x x x mx mx mx ⎛⎫+++=-=+ ⎝⎭--⎪所以3log 3x mx x mxmx --=-=-所以()210m x +=，即12m =-．【小问2详解】由（1）知()()31log 312x f x x =+-所以()()()333111log 3log 3log 31222x x x g x a a x f x a a x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=⋅--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0g x =，()333131log 3=log 31log 23x x x x a a x +⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭，即1313=23x xx a a +⋅-，整理得()21313102x x a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，其中1302x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以0a ≠，令3x t =，则得211102at a t ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，①当0a >时，1302x ->，即12t >，所以方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解，则方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13602m a a⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以当0a >时，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解．②当0a <时，1302x -<，即102t <<，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一解，因为方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的开口向下，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以满足恒有2114021112022a a a a ⎧⎛⎫∆=++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩，解得10a =--综上所述，当0a >或10a =--时，()g x 有唯一零点．【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=代入原函数即可求解参数；。

天津市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

天津市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

天津2023年12月高一年级月考数学试卷（答案在最后）一、选择题（每题4分，共计48分）1.已知集合{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，则A B = （）A.{5,7}B.{1,3,4}C.{1,3,4,6}D.{1,3,4,5,6,7}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出A B ⋂.【详解】解：由题可知，{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，由交集的运算可得{}5,7A B = .故选：A.2.命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是（）A.0x ∃>，2210x x -+<B.0x ∀>，2210x x -+<C.0x ∃≤，2210x x -+<D.0x ∀≤，2210x x -+<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“0x ∀>，2210x x -+≥”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，所以命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是“0x ∃>，2210x x -+<”故选：A3.设x R ∈，则“1x <”是“220x x +-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式1x <，可得11x -<<；解不等式220x x +-<，可得2<<1x -.因为，()1,1-()2,1-，因此，“1x <”是“220x x +-<”的充分而不必要条件.故选：A.4.半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是（）A.4π3 B.2π3C.πD.π3【答案】D 【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为2π3，所以扇形的面积为212ππ1233⨯⨯=.故选：D.5.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C 【解析】【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln 2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)．故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a <，则sin α=（）A.4aB.45C.35D.45-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为0a <，所以a a =-，因为角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，所以44sin 55a a α===-.故选：D.7.已知2log 5a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得22log 54log 2a ==>，3331log 3log 8log 92=<<=，即12b <<，0.2000.30.31c <=<=，所以a b c >>.故选：A.8.函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A.()0,1 B.()0,3 C.(]0,3 D.()3,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.【详解】由222(1)1[1,)t x x x =-=--∈-+∞，则1()(0,3]3ty =∈，所以()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,3.故选：C9.若函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++，若()25F -=，则()2F =（）A.1B.1- C.5- D.5【答案】B 【解析】【分析】利用奇函数的性质，即可求解()()22af bg +的值，即可求解()2F 的值.【详解】因为函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，所以()()22f f -=-，()()22g g -=-，()()()()()22222225F af bg af bg -=-+-+=-++=⎡⎤⎣⎦，则()()223af bg +=-，()()()2222321F af bg =++=-+=-.故选：B10.化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B11.函数y =）A.[)1,+∞B.[)1,3C.()1,3 D.(),3-∞【答案】B 【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为y =所以()12log 31030x x ⎧-+≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x ≤<.故选：B.12.已知函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--，若函数()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0- B.[)1,+∞ C.(],1-∞ D.[)2,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =和y x a =+有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，因为()()g x f x x a =--，令()0g x =，即()f x x a =+，由函数()g x 有2个零点，即()y f x =和y x a =+有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使得函数()g x 有2个零点，则2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞.故选：D.二、填空题（每题4分，共计24分）13.cos120︒=__________．【答案】-12【解析】【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-oooo .故答案为12-.14.若幂函数()f x 的图象经过点()25,5，则()f x 的解析式为______.【答案】()12f x x =【解析】【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.【详解】令幂函数()f x x α=，且过点()25,5，则12552αα=⇒=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x=15.已知102m =，103n =，则10m n -=________．【答案】23【解析】【分析】利用指数及指数幂的运算律求解.【详解】102m= ，103n=，10032110m m n n-∴==故答案为：23.16.已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan x =________．【答案】34-【解析】【分析】根据同角平方关系，先求出3sin 5x =-，再根据商数关系，求出tan x .【详解】由4cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5x ==-，则根据商数关系得sin 3tan cos 4x x x ==-.故答案为：34-.17.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________．【答案】3+【解析】【分析】函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式“1”求最小值.【详解】01x <<Q ，011x ∴<-<，121212(1)3332111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥++ ⎪---⎝⎭，当且仅当121x xx x-=-，即1x =时，等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为：3+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.若f (x )＝(31)4,1,1a x a x ax x -+<⎧⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解得1380a a a ⎧<⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，所以11,83a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题（共计28分）19.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2-（2）13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到2520ax x +-=的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）代入a 的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：2520ax x +-=的两个实数根为12和2，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：2a =-；【小问2详解】由（1）不等式22510ax x a -+->，即22530x x +-<，解得：132x -<<，故不等式的解集是1(3,2-．20.已知函数()()22log 43f x x ax =-+（1）当1a =时，求()f x 的定义域和单调递减区间；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）() f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ；单调递减区间为(,1)-∞（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先由对数函数的性质求得()f x 的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；（2）利用复合函数单调性的性质，得到243u x ax =-+的性质，从而得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】令243u x ax =-+，2log y u =．当1a =时，243u x x =-+，由0u >得2430x x -+>，解得3x >或1x <．故()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ．因为函数2log y u =在定义域上单调递增，()224321u x x x =-+=--在(,1)-∞上单调递减，在(3,)+∞单调递增，所以()22()log 43f x x x =-+的单调递减区间为(,1)-∞．【小问2详解】因为()f x 在()1,+∞上单调递增，又2log y u =在定义域上单调递增，所以243u x ax =-+在()1,+∞上单调递增，且0u >恒成立，因为243u x ax =-+开口向上，对称轴为2x a =，所以2211430a a ≤⎧⎨-+≥⎩，解得12a ≤，故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21.已知函数()221x x af x +=-，且函数()f x 为奇函数（1）求函数的定义域；（2）求实数a 的值（3）用定义证明函数()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）1a =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；（2）由奇函数性质有()()f x f x -=-，得到(1)21x a a -⋅=-恒成立，即可求参数；（3）令120x x >>，应用作差法比较()()12,f x f x 大小即可证结论.【小问1详解】由题设210x -≠，即0x ≠，故函数的定义域为{|0}x x ≠.【小问2详解】由()212()2112x x x x a a f x f x --++⋅-===---，则1221221x x x x a a +⋅+=---，所以122x x a a +⋅=+，即(1)21x a a -⋅=-恒成立，故1a =.【小问3详解】令120x x >>，则()()1212211212122121(21)(21)(21)(21)2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x +++--+--=-=----21122(22)(21)(21)x x x x -=--，由21220x x -<，1210x ->，2210x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.。

北京市海淀区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析

北京市海淀区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析

北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。

上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段反馈(12月月考)数学试卷

上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段反馈(12月月考)数学试卷

上海市晋元高级中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段反馈（12月月考）数学试卷一、填空题1．函数22log 1x y x +=-的定义域是.2．若一个奇函数的定义域为{},,2a b ，则a b +的值为．3．函数()11x f x a +=-（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是.4．函数()22log 617y x x =-+的值域是.5．函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是.6．已知函数()21f x x mx =-+的两个零点分别在区间()0,1和()1,2，则实数m 的取值范围．7．设函数()221,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则的值为.8．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e =-，则当0x <时，()f x =9．设(),01,0x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是.10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是严格增函数，()10f -=，则不等式()2log 0f x <的解集为．11．若点1,1,2,2同时满足以下两个条件：（1）点,A B 都在函数=上；（2）点,A B 关于原点对称；则称点对()()()1122,,,x y x y 是函数()f x 的一个“姐妹点对”.已知函数()()()24020x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是.12．设函数()1234950lg 50x x x x a f x +++⋅⋅⋅++=-，其中a ∈R ，如果不等式()()1lg 50f x x <-在区间[)1,+∞有解，则实数a 的取值范围为.二、单选题13．下列命题是真命题的是（）A ．若ac bc >，则a b>B ．若22a b >，则a b >C ．若0a b >>，则11a b<D ．若,a b c d >>，则a c b d ->-14．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A ．1y x =-B ．2y =C ．13y x =D ．ln y x=15．已知幂函数()341m y m m x =-+的图象与坐标轴没有公共点，则实数m 的取值为（）A ．2B ．2-C ．0或2-D ．0或216．定义：{}min ,a b 表示a 、b 中的较小者.若函数(){}2min 12,11y x x =----在区间[],m n 上的取值范围为[]1,0-，则n m -的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．设集合21,A x x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭R ，集合{}21,B x x x =-<∈R .(1)求集合A ，集合B ；(2)求A B ⋂，A B .18．已知函数2x y a =+的值域为()1,+∞，(1)求实数a 的值；(2)求函数24y x x a =-+，[](),44x t t ∈<的最小值.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知21()f x ax x=+，其中a 为实数.（1）当2a =时，证明函数()y f x =在[]1,2上是严格增函数；（2）根据a 的不同取值，判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.21．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立.(1)函数()1f x x=是否属于集合M ?说明理由；(2)设函数()2lg1a f x M x =∈+，求a 的取值范围；(3)已知函数2x y =图象与函数y x =-的图象有交点，根据该结论证明：函数()22x f x x M =+∈.。

2024学年天津市八中高一数学上学期12月考试卷及答案解析

2024学年天津市八中高一数学上学期12月考试卷及答案解析

天津市第八中学2024-2025学年第一学期高一年级数学学科考试时间：90分钟：满分100分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题只有一个正确答案)1. 已知函数()lg f x x =，则(10)f =（ ）A. 0 B. 1C. 2D. 10【答案】B 【解析】【分析】根据特殊对数值，代入即可求解.详解】(10)lg101f ==.故选：B2. 将300-o 化为弧度为（ ）A. 4π3-B. 5π3-C. 7π6-D. 7π4-【答案】B 【解析】【分析】直接将角度乘π180即可得弧度.【详解】将300-o 化为弧度为π5π3001803-´=-.故选：B3. 一扇形的周长为20，半径为5，则该扇形的面积为（ ）A. 30 B. 25C. 45D. 50【答案】B 【解析】【分析】先求出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式求出其面积【详解】因为扇形的周长为20，半径为5，所以扇形的弧长为10，【故该扇形的面积为1105252´´=．故选：B4. 已知函数()1log (23)(0,1)a f x x a a =+->¹恒过定点(,)m n ，则m n +=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】令231x -=，即可求解()f x 恒过定点(2,1)，进而求解.详解】令231x -=，解得2x =，此时(2)1log 11a f =+=，所以()f x 恒过定点(2,1)，则2,1m n ==，所以3m n +=.故选：C 5. 函数()()31log 32f x x =-的定义域为（ ）A. 2,3éö+¥÷êëøB. ()3,+¥C. ()2,11,3¥éöÈ+÷êëø D. ()2,11,3æöÈ+¥ç÷èø【答案】D 【解析】【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零求解即可.【详解】由()()31log 32f x x =-，得()3320log 320x x ->ìí-¹î，解得23x >且1x ¹，即函数()()31log 32f x x =-的定义域为()2,11,3æöÈ+¥ç÷èø.故选：D.6. 函数()3log 28f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A. ()1,2 B. ()2,3【C. ()3,4D. ()5,6【答案】C 【解析】【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】解：()()3333log 382310,4log 4824log 40f f =-+´=-<=-+´=>，又因为函数3log ,28y x y x ==-在区间()0,¥+上都是增函数，所以()f x 在区间()0,¥+上为增函数，所以其零点一定位于区间()3,4.故选：C.7. 设0a <，角a 的终边经过点()3,4P a a -，则sin 2cos a a +的值等于（ ）A.25B. －25C.15D. －15【答案】B 【解析】【分析】求出5OP a =，再用三角函数的定义分别求出sin cos a a ，的值，可得答案.详解】5OP a ==.由三角函数的定义：4sin 5y a OP a a -==，3cos 5x aOP aa ==当0a <时，333cos =555a a a a a ==--，44sin 55a a a -==-432sin 2cos =2555a a æö++´-=-ç÷èø故选：B8. 函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A. (,2)-¥- B. (,1)-¥C. (1,)+¥ D. (4,)+¥【答案】D 【解析】【【详解】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，()y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.二、 填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上9. 求值：sin 390°=__________.【答案】12【解析】【分析】利用诱导公式一化简sin 390sin 30°=°，再求特殊角正弦值即可.【详解】()1sin 390sin 36030sin 302°=°+°=°=.故答案为：12.10. 已知函数()13log ,12,1x x x f x x ³ìï=íï<î，则((3))f f =________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由分段函数解析式代入计算，即可得到结果.【详解】因为13(3)log 310f =-<=，所以11((3))(1)22f f f -=-==.故答案为：1211. 已知3sin 4a =，a 是第二象限角， 则tan a =___________________【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得.【详解】由3sin 4a =，a 是第二象限角，得cos a ==，所以sin tan cos a a a ===.故答案为：12. 已知a 是第二象限角，那么 2a为第_______________象限角【答案】一或三【解析】【分析】根据题意推得ππππ,Z 422k k k a +<<+Î，再对k 是偶数或奇数分类讨论即可得解.【详解】因为a 是第二象限，所以π2ππ2π,Z 2k k k a +<<+Î，得ππππ,Z 422k k k a +<<+Î，当k 为偶数时，2a是第一象限角，当k 为奇数时，2a是第三象限角.故答案为：一或三13. 如果函数()()()3log (0,1)xa f x a g x x a a =-=>¹与的增减性相同，则实数a 的取值范围是____.【答案】12a <<【解析】【分析】利用指数函数与对数函数单调性列式求解即得.【详解】当01a <<时，233a <-<，函数()f x 与函数()g x 单调性相反，不符合题意；当1a >时，函数()g x 在定义域上是增函数，则函数()f x 必为增函数，因此31a ->，所以12a <<.故答案为：12a <<14. 已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ì+-£=í-+>î，方程 ()f x k =有两个实数解，则k 的范围是___.【答案】{}4(3,)--+¥U 【解析】【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数k 的取值范围.【详解】当0x £时，函数2()23f x x x =+-在(,1]-¥-上递减，函数值集合[4,)-+¥，在[1,0]-上递增，函数值集合为[4,3]--；当0x >时，()2ln f x x =-+在(0,)+¥上递增，函数值集合为R ，在直角坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y k =，由图象知，当4k =-或3k >-时，直线y k =与函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个实数解，所以k 的取值范围是{}4(3,)¥-È-+.故答案为：{}4(3,)¥-È-+.三、解答题：本大题共4小题，满分44分. 解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.15. 计算（1）11π25π15πsin()cos tan(634-+-（2）7log 2log lg125lg87+++【答案】（1）1 （2）132【解析】【分析】（1）利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解.（2）利用对数运算法则计算.【小问1详解】为11π25π15ππππsin()cos tan()sin(2π)cos(8π+)tan(4π)634634-+-=-++-+πππ11sin cos tan 1163422=+=+´=.【小问2详解】7log 233l 2g 1313332(lg 2og l 75o lg 2)2322g15lg8l =+++=++=++.16. 已知对数函数()log ,(0,a f x x a => 且1)a ¹的图象过点(2,1).（1）求()f x 的解析式；（2）已知(1)(82)f x f x ->-，求x 的取值范围.【答案】（1）2()log f x x =； （2）34x <<.【解析】【分析】（1）将给定点的坐标代入解析式求出a 值即可.（2）由（1）的函数单调性解不等式.【小问1详解】由对数函数()log a f x x =的图象过点(2,1)，得log 21a =，解得2a =，所以()f x 的解析式是2()log f x x =.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在定义域(0,)+¥上单调递增，由不等式(1)(82)f x f x ->-，得1820x x ->->，解得34x <<，所以x 的取值范围是34x <<.17. 已知角q 的终边经过点 ()3,4P a a -，其中0a ¹.（1）求 cos q 的值；（2）若q 为第二象限角，求cos sin q q +的值.【答案】（1）当30cos 5a q >=时，；当30cos 5a q <=-时，； （2）1cos sin 5q q +=.【解析】【分析】（1）结合三角函数的定义即可求解；（2）结合三角函数的定义即可求解.【小问1详解】因为5OP a ==，所以当330cos 55a a a q >==时，，当330cos 55a a a q <=-=-时，【小问2详解】若q 为第二象限角，则34cos ,sin 55q q =-=，所以1cos sin 5q q +=18. 已知tan 2a =，求sin 4cos 5sin 2cos a aa a-+及2sin 2sin cos a a a +的值.【答案】16-；85.【解析】【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由tan 2a =，得sin 4cos tan 42415sin 2cos 5tan 25226a a a a a a ---===-++´+；22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin 2sin cos sin cos tan 1215a a a a a a a a a a a +++´+====+++..。

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高一上学期第二次月考（12月）数学试题
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。

每小题只有一个正确答案） 1、若A ＝{x ｜0＜x ＜}，B ＝{x ｜1≤x ＜2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x ｜x ＜} B ．{x ｜x ≥1} C ．{x ｜1≤x ＜}
D ．{x ｜0
＜x ＜2}
2、经过1小时，时针转过了 ( )
A. －π6rad B ．π6 rad C.π12 rad D ．－π
12 rad
3、已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．35 C. －45 D ．－35
4、定义运算：，则函数f (x )＝12x
的图象是( )
5、某扇形的面积为1,它的周长为4,那么该扇形圆心角的大小为( ) A ．2° B ．2 C ．4° D ．4
6、函数f(x)＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间 ( )
A ．(18，14)
B ．(14，12)
C ．(1
2
，1) D ．(1,2)
7、 函数y ＝sin x
2
的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是
( )
A ．(0，0)
B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 8、若函数同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为；（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数．则的解析式可以是( ) A. B .
C. D.
222⎩⎨⎧>≤=⊗)
()(b a b b a a b a ⊗2
cm cm ()y f x =π3
x π
=,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
()y f x =sin()26
x y π
=+cos(2)3y x π=+cos(2)6y x π=-sin(2)6
y x π
=-
9、已知的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是
( )
A ．4π
B ．4
C ．2
D ．2π
10、函数图象上关于坐标原点对称的点有对,n =( )
A.3
B.4
C.5
D.无数对
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分。

将答案填在题后横线上） 11、若二次函数y=（m-1）-2mx+3是偶函数，则m 的值为________． 12、若点(a ，9)在函数y ＝3x
的图像上，则tan
a π
6
的值为________。

13、若|cos |＝cos(2013π＋)，则角的取值范围为_____________________________．
14、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3的值为________.
15、下列说法正确的序号为___________________（把你认为正确的都写出来）
①y=
sin2x 的周期为，最大值为 ②若是第一象限的角，则是增函数 ③在中若则
④且则
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（本题满分12分） 求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1050°）
17、（本题满分12分）
，若只有一个公共元素，求的值.
cos (02)y x x π=≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧<>+=0,2cos 0),1lg()(x x x x x f πO n 2
x ααα12π12
x sin y x =ABC ∆sin sin A B =A B =.0,2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
βαsin cos <2πβα>+{}{}
1,12,3,3,1,22+--=-+=a a a B a a A B A ,3-a
18、（本题满分12分）
已知角终边上一点P （－4，3），求的值.
19、（本题满分12分）
已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值
20、（本题满分13分）
已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图像如图所示 (1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．
α)
2
9sin()211cos()
sin()2cos(απαπαπαπ
++----+()sin(2)3
f x a x b π
=-
+(0)a >]2
0[π
，∈x ()f x 2-3,a b
21、（本题满分14分）
已知函数
（1）若且函数的最小值为0,求的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当时, 是单调函数, 求实数k 的
取值范围;
（3）设, 且为偶函数, 判断＋能否大于零?
,),,( 1)(2
R x b a bx ax x f ∈++=为实数()()()
()
()
⎩⎨
⎧<->=00x x f x x f x F ,0)1(f =-)x (f )(x F ]2 ,2[-∈x kx x f x g -=)()(0<⋅n m ,0>+n m 0>a )(x f )(m F )(n F
南昌十九中2013～2014学年第一学期高一年级第二次月考
数学试题参考答案
三、解答题：
16、 解：原式＝（－sin150°）cos210°cos420°
cos600°（－sin1050°）
＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）
cos （720°－120°）sin （1080°－30°）
＝
sin30°（－cos30°）cos60°cos120°（－sin30°）＝－sin30°cos30°cos60°
sin30°sin30°
＝－12×32×1212×12
＝－32
.
3
222233
a a
b b a b ⎧=⎧-
+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-+⎪⎩⎪+=⎩
∴函数y ＝
23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8
x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z)．
当k ＝－1时，有[－14，－6]，当k ＝0时，有[2，10]与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]，[2，2π)．
21、解：（1） ∵
, ∴又恒成立,
∴,
∴, .....................3分
∴.
∴ -------------------------4分 （2） 则
,
0)1(=-f ,01b a =+-0)( ,≥∈x f R x ⎩⎨⎧≤-=∆>0
40
2
a b a 0)1(42
≤--b b
1a
,2b == 22)1(12)(+=++=x x x x f ⎪⎩⎪⎨
⎧
<+->+=)
0( )1()0( )1()(2
2
x x x x x F 1)2(12)()(2
2+-+=-++=-=x k x kx x x kx x f x g 4
)2(1)22(2
2k k x --
+-+=。

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