无穷级数第一节常数项级数的概念与性质

Sn
1 12
1 wk.baidu.com3
...
1 nn 1
1
1 2
11 23
...
=1
1 n1
n n1
11 n n1
2）.
. 收敛。
例 3. n 1 n3
1 3n2
敛否，若收敛求和。 2n
1
11
解：
n
1 n3
3n2
2n
n 12 n n
1
1 n 1n 2
...
1 4
例 4. 讨论几何级数（等比级数） a.qn的敛散性.
① 部分和：前几项的和
②部分和数列： (
)
③ un sn sn 1
④
un
n1
lim
n
Sn
3、敛散定义（充要条件）
①设 un 若 N 1
lim
n
Sn
，称 un 收敛，否则称发散。（判别敛散的方法）。
N 1
②若收敛，如何求和。（收敛，求和的方法）（求数列的极限）
lim
n
Sn
S
un
n1
4、例子.
例 1. 设 un 前n项部分的和为Sn
②但发现
n
un 收敛性易得（即
1
n
un
1
收敛）∴ lim
n
un
=0
3、
例题分析. 例 1． 若
1
n1
1 un
收敛, 求 lim
n
un
?
解：∵
1
n1
1 un
收敛
lim 1
n
1 un
0
∴
lim
n
un =
1
作业：
. 3.①，②. 4.
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如: 1).要求
,用以前的方法无法求出
2).但 un收敛性易观察得到（即 收敛）
n1
n=1
lim
n
un
0
3、例子.
例 1： 若
n
1
1-
1 un
收敛，求 lim
n
1 un
？
解：原级数收敛 lim 1
n
1 un
0
lim
n
1 un
1
lim
n
un
1
小结. 1、由定义. 若
2、当 3、按基本性质审敛。 四、级数收敛的必要条件. 1、结论（定理）：
一、问题的引出： 1、用正多边形的面积逼近园的面积；
①.S≈ A6
②.S≈ A6＋A12
S≈A6＋A12 A24 ....
n
S≈
lim
n
i
A62i 1
1
二、常数项无穷级数定义
1、定义: 设u1 ，u2 ，. . . 是常数列, 算式
简
称为级数 。记为 un ，称 N 1
2、部分和与部分数列.
为一般项或通项。
1、结论（Theorem），
un收敛
n1
lim
n
un
0
简证:
① . un Sn Sn 1
②.
un收敛
lim
n
Sn
S
则 lim
n
Sn
1
S
③.
2、 必要条件的应用.
①.
n
1
1 n
敛否
?
( lim
n
1 n
0不定 )
②.
n
n 1n
1 敛否 ?
( lim
n
n n
1
1散 )
③ . 可以用级数收敛的必要条件求某数列的极限.
n0
解：1）. Sn
a aq ...aqn 1
a 1 qn 1q
（q≠ ）
2). lim
n
Sn
lim
n
a
1 1
qn q
1
a
q
lim
n
1
qn
三、收敛级数的性质.
且：
1、 un与 k u（n k 0） 敛散性相同.
n1
n1
若 un =s, 则 k un =k s.
n1
n1
2、若：
un =s , vn = . 则 un vn
第十一章 无穷级数
教学目标：
第一节 常数项级数的概念与性质
1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.
2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件.
课时安排：2 课时 重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件；
2、 掌握收敛级数的性质；
难点：级数概念及其敛散性
教学法：讲授法
n1
n1
n1
s.
n
u1 v1
u2 v2 ... un vn sn n.取极限
3、一个级数去掉或添上有限项不改变敛散性， 但是收敛时，其和是改变的。 4、若原级数收敛，则任意加括号后形成的新级数仍然收敛。 解释：
原 sn ：
un u1 u2 ... un ...
n1
新sn ' ： vn u1 n1
5、例子
u2 u3
u4 u5 u6 u7 ...
例 1. 若 un
n1
2, 求
n
1
1 2
un
1 2n .
解：
n1
1 2
un
1 2n
1
1 2
2
2
1
1 2
0
5
例 2. 求
n
1
n
n
1
1 2n
的和.
解：原式=5
n=1 n
1 n+1
1 n=1 2n
51 1 6
(∵
11 n n1
1 n 1 1.)
例 3. 下列命题正确的是（ D） 。 A．发散级数加括号后仍发散。 B. 若加括号后的级数收敛，则原级数收敛。 C. 两发散级数之和一定发散。 D．若级数加括号后发散，则原函数发散。 四、级数收敛的必要条件.
un收敛
n1
lim
n
un
0
简证: 1).
2).
un
n1
lim
n
Sn
S
lim
n
Sn
1
S
3).
则
： lim
n
un
0
2、必要条件的应用.
1).
若
lim
n
un
0
un 发散。
n1
2).
若
lim
n
un
0 不一定推出
un 发散。
n1
3). 可以利用级数收敛的必要条件求某数列的极限。
如：①要求 lim
n
un
用以前的方法无法求，
n=1
n n1
问：①.收敛否？ ………………………………………………（收敛）
②.若收敛，和为多少？ ……………………………（ 1 ）
③.写出（求出）该级数.
Sn 1
n1 n
un
Sn Sn 1
1 n n+1
un
n1
1 n 1n n 1
例 2.
解：1）.
1 判别 n 1 n n 1 是否收敛，若收敛，求和。(用定义)。