第四章平面问题的极坐标解答童中华

第四章 平面问题的极坐标解答
§4-4 应力分量的坐标变换式 §4-5 轴对称应力和相应的位移 §4-6 圆环或圆筒受均布压力 §4-7 压力隧洞 §4+ 小结
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极坐标
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§4-4应力分量的坐标变换式
取包括x、y面和ρ面的
sy
三角形微分体
设bc ds,则
ab ds cos, ac ds sin
Fr 0
s rds s xds cos cos s yds sin sin t xyds cos sin t yxds sin cos 0
§4-4应力分量的坐标变换式
一定应力状态下，由一种坐标系中的应力分量求另一 坐标系的应力分量，需建立应力分量的坐标变换式。
应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。
取出一个包含x y面 (含sx,sy,txy)和r(或f)面（含sf,sr,trf）的 三角形微分体，厚度为1，考虑其平衡条件。
直角坐标
弹性力学
《弹性力学简明教程》 第三版 徐芝纶
主讲：童中华 安徽工业大学
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§4+ 上一讲回顾
§4-1 极坐标中的平衡微分方程 可类比于直角坐标系，附加力：(1)两径向面不平行；(2)两 环向面面积不相等。
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§4-4应力分量的坐标变换式
由
s r s
sx sx
cos2 s y sin2 sin2 s y cos2
2t xy 2t xy
cos sin cos sin
t r (s y s x ) sin cos t xy (cos2 sin2 )
可反求出
s s
x y
sr sr
cos2 sin2
s s
sin2 cos2
2t r 2t r
sin sin
cos cos
t xy (s r s ) sin cos t r (cos2 sin2 )
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§4-5 轴对称应力和相应的位移
Φ Aln ρ Bρ2 ln ρ Cρ2 D
σρ
1 ρ
dΦ dρ
,
σφ
d2 Φ d ρ2
,
t r 0
r
函数，不随角坐标 f 变化，应力函数为 Φ Φρ
s r
1
r
r
1
r2
2
2
s
＝
2
r 2
t r
1
r2
1
r
2
r
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s r
1
r
r
s
＝
2
r 2
t
r
0
(4 9)
§4-5 轴对称应力和相应的位移
s r s x cos2 s y sin2 2t xy cos sin (a)
F 0 t r (s y s x ) cos sin t xy (cos2 sin2 ) (b)
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§4-2 极坐标中的几何方程及物理方程 可类比于直角坐标系，附加应变：(1)半径增加导致周长增 加；(2)环向转动导致方向变化。物理方程不变化。
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程 坐标变换关系式，应力分量的极坐标表示，Laplace算子， 极坐标中按应力求解平面问题。
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1 E 1 E
(s r (s
s )
s
r
)
s r
A
r2
B(1
2 ln r )
பைடு நூலகம்
2C
s
A
r2
B(3
2 ln r ) 2C
t
r
0
r
2(1 E
) t r
r
1 E
1
A
r2
1
3 B
21
B ln
r
21
C
1 E
1
A r2
3
B
21
B ln
r
21
C
r
0
应变与角坐标无关， 也为旋转对称。
Laplace算子成为
2
2
r 2
1
r
r
1
r2
2
2
d2
dr 2
1
r
d
dr
1 ρ
d (ρ d ) dρ dρ
相容方程成为
2
4
1 ρ
d dρ
(
ρ
d dρ
)
1 ρ
1 {ρ d [1 dρ dρ ρ
d ( ρ dΦ )]} dρ dρ
0
积分四次得应力函数通解
Φ Aln ρ Bρ2 ln ρ Cρ2 D (4 10)
思考：如何由§2-3中公式直接导出极坐标变换式？
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§4-5 轴对称应力和相应的位移
【旋转对称】物体的形状或某物理量绕中心轴 旋转任意角度后不变。
在极坐标平面内的应力分量仅仅是径向坐标 r 的
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§4-5 轴对称应力和相应的位移
§4-4应力分量的坐标变换式
取包括x、y面和f面的 三角形微分体
应力分量由直角坐标 向极坐标的变换式：
s r s x cos2 s y sin2 2t xy cos sin (a)
F 0 Fr 0
s s x sin2 s y cos2 2t xy cos sin (c) tr t r (s y s x ) cos sin t yx (cos2 sin2 )