【资料】量子力学课件曾谨言第十章汇编

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0级 1级
H ˆ 0 E 0 ( 0 ) 0 H ˆ 0 E 0 ( 1 ) E 1 H ˆ k ( 0 )
( 6 a )
( 6 b )
2级 H ˆ 0 E 0 ( 2 ) E 1 H ˆ ( 1 ) E 2 ( 0 ) ( 6 c )
(14a)
(14b) (0 )
k
k
(1 )
(0 ) k
n E k (0 ) H n k E n (0 )
(0 ) n
应当注意,这里是讨论非简并能级
E
( k
0
) 及相应
波函数
(0 ) k
如何受到微扰的影响。
Hn k
(0) n
H ˆ
(0) k
2.二级近似解 由一级近似解得
(1) n'Ek(0)HnkEn(0)
(0 ) n
3.讨论:
(a) 非简并的微扰论逐级展开的收敛性要求
H nk
E (0) k
E (0) n
1 (所有 n k )
如在
E (0) k
能级邻近存在另外的能级
E
(即 ( 0 )
k
它们接近于简并),则微扰展开的收敛性
就很差.特别是有简并的情况,上述微扰论
公式就完全不适用。
(b) 用微扰论处理具体问题时,要恰当的选取 Hˆ 0 . 在有些问题中,Hˆ 0 和 Hˆ 的划分是很显然的, 例如在Stark效应和Zeeman效应中,分别把外 电场和外磁场的作用看成微扰。 但在有些问题中,但在某些问题中, 往往根据如 何使计算简化来决定 Hˆ 0 与 Hˆ 的划分,同时兼顾 计算结果的可靠性。 (c) 计算中,要充分利用 Hˆ 的对称性以及相 应的选择定则,以省掉一些不必要的计算。
此即能量的三级修正.
简并微扰论,对能量的修正,一般则计算到二级:
E k E k (0 ) E (1 ) E (2 ) E k (0 ) H k k n E k |(0 H ) n kE |2 n (0 )
对波函数的修正,通常计算到一级:
(0 )
k
k
(1 )
(0 ) k
n E k (0 ) H n k E n (0 )
(1)
(2)
E1H ˆ
(0)
(2) E1 (0) (2) H ˆ (0) 0E3
利用 H ˆ 0 的厄米性,以上两边左边应相等,得
E 3(1) H ˆE 1 (1)
利用此式,可以直接用微扰一级近似波函数来 计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论
不考虑微扰,体系处于非简并能级
3级
H ˆ 0 E 0 ( 3 ) E 2 H ˆ ( 1 ) E 2 ( 1 ) E 3 ( 0 ) ( 6 d )
式(6b)、(6c)和(6d)两边左乘 ( 0 ) ,并利用式(5),
可以得到
E 1 ( 0 )H ˆ ( 0 ) E 2 ( 0 )H ˆ ( 1 )
7 a 7 b
E 3 ( 0 )H ˆ ( 2 )
7 c
式(6c)两边左乘 (1 ) ,并利用(7c),得
( 1 )H ˆ 0 E 0 ( 2 ) ( 1 )E 1 H ˆ ( 0 )
式(6b)两边左乘 ( 2 ) ,并利用(7c),得
(2) H ˆ0E0
(1) k
n'Ek(0)HnkEn(0)
(0) n
将波函数的一级近似代入(7d)
E k (3)
(1) k
H ˆE (1)
(1) k
n ' m '(E k (0 ) H E k n n (0 H ))n ( m E H k (0 m )k E m (0 )) H k k n '(E k ( H 0 )k n H E n n ( k 0 ))2
H ˆ0
(0)
n
En(0)
(0)
n
1,2, , fn
其本征值 E
(0 ) n
和正交归一化本征态
( n
0
)
已解出
E
( n
0
)
可能是不简并的(
f
n
1),也可能是简
并的( f n 2 )。
按照微扰论的逐级展开的精神,令
(0) (1) (2)
E E ( 0 ) E ( 1 ) E ( 2 )
E(0) k
(
fk
1),即
E(0)
E(0) k
E
( k
0
)
可以是任何一个非简并能级,但在计算前要取定
.
相应的零级能量本征函数
(0)
(0)
k
1.一级近似解
令一级微扰近似波函数表示为
a (1)
(1) (0)
nn
n
将(10)式代入(6b),得
(10)
H ˆ0 E k 0
a ( 1 ) n
当m ≠ k 时,得
a(1) m
Ek(0H ) m kEm (0)
,(mk)
(1) nEk(0)H nkEn(0)
Fra Baidu bibliotek(0) n
一级近似波函数
上式中 表示对n 求和时, n = k 项必须摒弃. n
在一级近似下,能量本征值和本征函数分别为
E kE k (0 ) E ( 1 )E k (0 ) H k k
( 4 )
约定:波函数的各级高级近似解与零级近 似解都正交,即
( 0 ) ( s ) 0 s 1 ,2 ,3 ,
( 5 )
把(4)代入(1) Hˆ |E|,得
(H ˆ0H ˆ)( (0) (1) (2) ) (E(0)E(1)E(2) )( (0) (1) (2) )
比较等式两边的同级项,可得到各级能量 近似本征方程
n ( 0 ) E 1 H ˆ k ( 0 )
n

(0) m
| 左乘,利用 Hˆ
0
本征态的正交归一性,得
(E m (0 ) E k (0 ))a m (1 ) E (1 )m k H m k
(11)
其中
Hm k
(0) m
H ˆ
(0) k
当m = k 时,
E (1 ) E k (1 ) H k kk (0 )H ˆ k (0 )
(0) n
把上式代入(7b) ,得
E 2
(0) k
H ˆ (1)
' n
k0
HˆHnk
(0) n
E(0) k
En(0)
| Hnk |2
n
E(0) k
E(0) n
' n
HknHnk
E(0) k
E(0) n
Hˆ Hˆ )
因此,在准确到二级近似下,能量本征值为:
E k E k (0 ) E (1 ) E (2 ) E k (0 ) H k k n E k |(0 H ) n kE |2 n (0 )
量子力学课件曾谨言第十章
假设 H ˆ 0 的本征值及本征函数较容易解出, 或已有现成的解(不论如何得到的),则可以 在这个基础上,把微扰 Hˆ 的影响逐级考
虑进去,以得出方程(1)的尽可能接近于精 确解的近似解。
微扰论的具体形式是多种多样的,但基本 精神相同,即逐级近似。
假设 H ˆ 0 的本征方程
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