椭圆的标准方程(时)
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例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 .
∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1 25 16
又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 . ∴所求的点的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0)
25 16
例 3 已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的 交点 P 的轨迹方程.
x2 y2 1
分析条件发现:4 3
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
丛书P39第4，6题 动画演示
例4如图，在圆 x2 y2 4上任取一点
P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P
在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹
是什么？为什么？
椭圆的定义
图形
标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的
判断
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y
a F1 c
M
b o
M F2
x
F2 M
ox
F1
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 a2
百度文库
x2 b2
1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)
a2 c2 b2(a c 0,a b 0)
看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
例1
求轨迹的常见方法：
定义法、直接法、相关点坐标分析法等
一、定义法：
例 1 已知动点 P 到点 F1(0, 2) , F2(0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程. 解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1(0, 2) , F2(0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a2 c2 36 4 32 ∴所求的轨迹方程为 x2 y2 1 .
法等. 具体求轨迹方程时 ,我们既应严 格
按一般步骤去展开过程,又应注意到 思考方法的灵活性的尝试.
y
解:设点M(x,y), 点P(x’,y’),则
P
x' x
由题意可得：
因为 x'2 y'2
4
y'
2y
所以
x2 4y2 4 即
x2 y2 1 4
M
x oD
丛书 P38第 12题
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
二.相关点(分析)法:即利用中间变量求曲线方程
三、直接（译）法
例 5:如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程.
9
分析:把题目条件直接用 x、y 表示出来, x、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直接法 丛书P38
第2题
本课小结: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直接法、相关点坐标分析
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 .
∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1 25 16
又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 . ∴所求的点的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0)
25 16
例 3 已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的 交点 P 的轨迹方程.
x2 y2 1
分析条件发现:4 3
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
丛书P39第4，6题 动画演示
例4如图，在圆 x2 y2 4上任取一点
P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P
在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹
是什么？为什么？
椭圆的定义
图形
标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的
判断
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y
a F1 c
M
b o
M F2
x
F2 M
ox
F1
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 a2
百度文库
x2 b2
1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)
a2 c2 b2(a c 0,a b 0)
看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
例1
求轨迹的常见方法：
定义法、直接法、相关点坐标分析法等
一、定义法：
例 1 已知动点 P 到点 F1(0, 2) , F2(0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程. 解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1(0, 2) , F2(0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a2 c2 36 4 32 ∴所求的轨迹方程为 x2 y2 1 .
法等. 具体求轨迹方程时 ,我们既应严 格
按一般步骤去展开过程,又应注意到 思考方法的灵活性的尝试.
y
解:设点M(x,y), 点P(x’,y’),则
P
x' x
由题意可得：
因为 x'2 y'2
4
y'
2y
所以
x2 4y2 4 即
x2 y2 1 4
M
x oD
丛书 P38第 12题
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
二.相关点(分析)法:即利用中间变量求曲线方程
三、直接（译）法
例 5:如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程.
9
分析:把题目条件直接用 x、y 表示出来, x、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直接法 丛书P38
第2题
本课小结: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直接法、相关点坐标分析