2013高考数学复习资料

1.分类讨论的常见情形

（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.

（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.

（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.

（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.

（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.

2.分类的原则

（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；

分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.

（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.

当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.

3.分类讨论的一般步骤

第一，明确讨论对象，确定对象的范围；

第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；

第三，逐类讨论，获得阶段性结果；

第四，归纳总结，得出结论.

4.分类讨论应注意的问题

第一，按主元分类的结果应求并集.

第二，按参数分类的结果要分类给出.

第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.

类型一：不等式中的字母讨论

1、解关于的不等式：.

思路点拨：依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的.

解析：

（1）当时，原不等式化为一次不等式：，∴；

（2）当时，原不等式变为：，

①若，则原不等式化为

∵，∴，∴不等式解为或，

②若，则原不等式化为，

（ⅰ）当时，，不等式解为，

（ⅱ）当时，，不等式解为；

（ⅲ）当时，，不等式解为，

综上所述，原不等式的解集为：

当时，解集为；

当时，解集为{x|x＞1}；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.

总结升华：

1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:

（1）明确讨论的对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确分类，不重不漏；（2）逐步进行讨论，获得结段性结论；

（3）归纳总结，综合结论.

2．一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁.不等式中的字母讨论标准有：最高次

项的系数能否为0，不等式对应的根的大小关系，有没有根（判别式）等.

3．字母讨论一般按从易到难，从等到不等的顺序进行.

举一反三：

【变式1】解关于的不等式:（）.

解析：原不等式可分解因式为: ，

（下面按两个根与的大小关系分类）

（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；

（2）当，即时，不等式的解集为：；

（3）当，即或时，不等式的解集为：；

综上所述，原不等式的解集为：

当或时，；

当时，；

当或时，.

【变式2】解关于的不等式:.

解析：

（1）当时，不等式为, 解集为；

（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论：

①

即时，方程有两根

.

则原不等式的解为.

②

即时，方程没有实根，

此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.

③

即时，方程有两相等实根为，

则原不等式的解为.

（3）当时，恒成立，

即时，方程有两根

.

此时，为开口向下的抛物线，

故原不等式的解集为.

综上所述，原不等式的解集为：

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.

类型二：函数中的分类讨论

2、设为实数，记函数的最大值为，

（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）试求满足的所有实数.

解析：

（I）∵，

∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①

∴的取值范围是，

由①得：，

∴，，

（II）由题意知即为函数，的最大值，

∵时，直线是抛物线的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

（2）当时，，，有=2；

（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，，