§1.1. 锐角三角函数(第二课时)教案
锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
北师大版数学九年级下册1.1 锐角三角函数(第2课时)教案
1.1 锐角三角函数第2课时教学目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.教学重难点【教学重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 【教学难点】用函数的观点理解正弦、余弦和正切.学习方法探索——交流法.教学过程一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt △ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______.DB ACBA C2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____. 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt △ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135 B ．1312 C ．125 D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin βB.100sin βC.100cos β D. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,cos ∠ACD 和tan ∠ACD.14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45.求：s△ABD：s△BCD§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法：自主探索法学习过程：BDAC一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 236、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33（C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22 ⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒︒15020米30米⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。
《锐角三角函数(2)》名师教案(人教版九年级下册数学)
28.1 锐角三角函数 第二课时(刘佳)一、教学目标 1．核心素养:通过锐角三角函数---余弦、正切的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力. 2．学习目标（1）1.1.1理解余弦、正切及锐角三角函数的概念 （2）1.1.2能熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 （3）1.1.3理解并掌握互余两角三角函数间的关系 （4）1.1.4理解并掌握同角三角函数间关系 3．学习重点熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算4．学习难点互余两角和同角的三角函数关系 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P64-P65，思考：什么是余弦？ 任务2 阅读教材P64-P65，思考：什么是正切？ 2．预习自测 一、选择题1．如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则cos B 的值是( ) A. 34 B.35 C.43 D. 45 答案： D解析：Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，所以CD ＝AD ＝BD ＝5，所以AB ＝10，因为AC ＝6，据勾股定理可得BC ＝8，所以cos B ＝45.故选D.2.在Rt△ABC 中，5sin 13C 90A ∠==，,则tan B 的值为（ ） A.1213 B.512 C.1312 D.125答案：D解析：Rt△ABC 中，设a ＝x 5,则x c 13=，x b 12=，所以tan B 512=.故选D.3.在Rt△ABC 中，ACB 90∠=,CD 是斜边AB 上的高，8,15BC AC ==,设BCD α∠=，则cos α的值为（ ） A.87B.78C.817D.1517答案：D解析：据勾股定理可知，AB 17=，ABC 111581722CD S ∆=⨯⨯=⨯⨯，所以17120=CD ，所以cos α1517=.故选D. （二）课堂设计 1．知识回顾（1）正弦的概念：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,即ABBCA A =∠=斜边的对边sin .（2）函数的概念：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量. （3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．问题探究问题探究一●活动一 类比正弦，得出结论复习思考：在Rt△ABC 中，∠C=90o ，当锐角A 确定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也确定了呢？如图：Rt △ABC 与Rt △A ´B ´C ´，∠C=∠C ´=90o，∠A=∠A ´=α，那么AC AB 与''''AC A B 、BCAC与''''B C AC 有什么关系？分析：由于∠C=∠C´=90o ，∠A=∠A´=α，所以Rt△ABC∽Rt△A´B ´C ´，则''''AC ABAC A B=，即''''AC AC AB A B =同理，''''BC B C AC AC=结论：在直角三角形中，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻C ´´ C BB ´A边的比也分别是确定的.我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作 cosA，即cosA＝＝b c把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即tanA＝＝a b●活动二函数思想，理论提升思考：sinA是A的函数吗？分析：对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同理，cosA、tanA也是A的函数.定义：锐角A的正弦，余弦，正切都叫做∠A的锐角三角函数.问题探究二●活动一初步运用，简单求值例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，求cosA、tanB的值．【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】详解：sinA=BCAB =35，BC=6，∴AB=5610sin3BCA=⨯=又，∴cosA=ACAB =45，tanB=ACBC=43.点拨：在直角三角形中，只要已知任意两条边、或者一边和一锐角三角函数，都可根据勾股定理求出第三边，进而求出所有锐角三角函数值．例2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝34，求sinC的值．【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】详解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝BD AD .∵tan∠BAD＝34，AD＝12，∴34＝BD12.∴BD＝9.∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.∴在Rt△ADC中，AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13.∴sin C＝ADAC＝1213.点拨：在求解直角三角形的问题中，三角函数是解题的突破口，由已知三角函数求得相应线段长，进而求出未知三角函数．问题探究三 互余两角的三角函数之间有什么关系？重点、难点知识★▲●活动一观察思考，归纳总结互余两角之间的三角函数有怎样的关系呢？如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．=A sin ()()，()()=B cos ，则B A cos ____sin ； B sin ＝()()，=A cos ()()，则A cos ____B sin ； A tan ＝()()，B tan ＝()()，则____tan tan =⋅B A ． 归纳结论：若βα、为锐角，且090=+βα，则___sin =α，___sin =β，___tan tan =⋅βα. 问题探究四 同角的三角函数之间有什么关系？重点、难点知识★▲●活动一观察思考，归纳总结 同角三角函数间有怎样的关系呢？ 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．归纳结论：若0°<α<90°，则①平方关系：1cos sin 22=+αα；②弦切关系：αααcos sin tan =． 3．课堂总结【知识梳理】（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA=b c ；把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA=ab.（2）锐角A 的正弦，余弦，正切都叫做∠A 的锐角三角函数. （3）若90A B ∠+∠=，则sin A =cos B ，sin B =cos A （4）22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=【重难点突破】（1）求解三角函数基本计算，找准角的对边、邻边是关键.（2）在求解三角函数问题时，要灵活运用公式，将求一个锐角的三角函数问题转化成求另外一个角的三角函数或这个角的其他三角函数. 4．随堂检测 一、选择题1.在直角三角形中，各边的长度都扩大5倍，则锐角A 的三角函数值（ ）A.也扩大3倍B.缩小为原来的15C.都不变D.有的扩大，有的缩小 答案： C解析：∠A 、∠B 、∠C 所对应的边分别为a 、b 、c,sinB=b/a,当该直角三角形的各边长都扩大5倍后，sinB=5b/5a=b/a ，所以答案为C. 【知识点：三角函数概念】2．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，如果4=AB ，2=BC ，则B cos 等于（ ）A ．12 B ．2 C D ．1 答案：A解析：在ABC ∆Rt 中，B cos 21==AB BC .故选A. 【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】3．在△ABC 中，AB=5，BC=6，B 为锐角且sinB=35，则∠C 的正切值等于（ ）A ．56B ．32C 答案：B解析：过A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，因为B 为锐角且sinB=35，所以AD=3，据勾股定理可得：BD=4,所以DC=2，tanC 23==DC AD .故选B. 【知识点：三角函数概念，勾股定理；数学思想：数形结合】 二、填空题4.sin 259°+sin 231°的值是_______. 答案：1解析：sin 259°+sin 231°= sin 259°+cos 259°=1 【知识点：同角与互余两角的三角函数】5.在ABC ∆中，90C ∠=，2sin 5A =，则cos A =______，sin B =______，tan A =______.答案：521 、521 、21212 解析：设AB 2125===AC CB ，，则，所以cos A =521,sin B =521，tan A =21212.【知识点：三角函数概念，勾股定理】。
1.1 锐角三角函数 第2课时(教案)-北师大版数学九下
第2课时正弦、余弦1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.导入一:如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?[设计意图]通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.导入二:课件出示:如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗?[设计意图]引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.[过渡语]在直角三角形ABC中,除了两条直角边的比之外,还有没有利用其他边的比值来表示梯子AB的倾斜程度的情况呢?问题1课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine ),记作cos A ,即cos A =.锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.提示:当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.【想一想】在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 有关系吗?【教师活动】要求小组合作交流,统一答案.【学生活动】小组同学认真思考,热烈讨论,积极总结.思路一教师引导学生分析:如图所示,AB =A 1B 1,在Rt△ABC 中,sin A =,在Rt△A 1B 1C 1中,sin A 1=.∵AB =A 1B 1,∴<,即sin A <sin A 1,∴梯子A 1B 1比梯子AB 陡.∴梯子的倾斜程度与sin A 有关系.sin A 的值越大,梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.思路二学生互相交流,类比分析过程:cos A =,cos A 1=.∵AB =A 1B 1,∴>,即cos A >cos A 1,∴梯子的倾斜程度与cos A 也有关系.cos A 的值越小,梯子越陡.【师生总结】梯子的倾斜程度与sin A ,cos A 的关系:sin A 的值越大,梯子越陡;cos A 的值越小,梯子越陡.[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sin A=0.6,求BC的长.【师生活动】生独立解答,师巡视观察学生解题的情况,随时进行指导.解:在Rt△ABC中,∵sin A=,即=0.6,∴BC=200×0.6=120.想一想:你还能求出cos A,sin C和cos C的值吗?生认真思考,独立写解题过程.代表展示:cos A=0.8,sin C=0.8,cos C=0.6.[设计意图]例题的安排既对学生学习的内容加以巩固,也让学生体会严谨的做题思路,并通过拓展得出直角三角形的三角函数之间的关系.[知识拓展]1.若∠A+∠B=90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,sin A=cos B;一个锐角的余弦等于它余角的正弦,cos A=sin B.2.锐角三角函数之间的关系:(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.【做一做】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=10,AB等于多少?sin B呢?【学生活动】要求学生独立完成,代表展示解题过程.代表展示:解:在Rt△ABC中,∵cos A===,∴AB==.∴sin B===.[设计意图]在学习前边知识的基础上,巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比,体验数形之间的联系,学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.(1)三角函数的概念:正弦:sin A=.余弦:cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.(2)梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.(3)锐角三角函数之间的关系:(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为()A.4B.2C.D.解析:∵cos B=,∴=.∵AB=6,∴CB=×6=4.故选A.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则tan B的值是()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cos A=,tan B=,AC2+BC2=AB2.∵cos A=,∴设AC=2x(x>0),则AB=3x,BC=x,∴tan B==.故选A.3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sin B的值是.解析:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=2,∴AB=2CD=4,∴sin B==.故填.4.如图所示,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A=.解析:过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1,在Rt△ACD中,AC==2,∴sin A==.故填.5.如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,∴sin∠BDE=sin A=,cos∠BDE=cos A=,tan∠BDE=tan A=.第2课时1.三角函数的概念:(1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.一、教材作业【必做题】1.教材第6页随堂练习第1,2题.2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第7页习题1.2第5题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是()A. B. C. D.2.(2015·广西中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是()A.sin A=B.cos A=C.tan A=D.tan B=3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sin A=.4.如图所示,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则sinα的值为.【能力提升】5.(2015·乐山中考)如图所示,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为()A. B. C. D.6.在△ABC中,∠C=90°,BC=6,sin A=,则AB边的长是.7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A=,求BC的长和tan B的值.8.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE.求sin∠ECM的值.【拓展探究】9.(2014·贺州中考)网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sin A=.【答案与解析】1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cos A==.故选D.)2.A(解析:∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,∴AC===5.A,sin A==,故本选项正确;B,cos A==,故本选项错误;C,tan A==,故本选项错误;D,tan B==,故本选项错误.故选A.)3.(解析:首先由勾股定理求得斜边AC=5,然后由锐角三角函数的定义知sin A=,最后将相关线段的长度代入计算即可.)4.(解析:如图所示,过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tanα==,解得m=4,则OP==5,故sinα=.)5.D(解析:过B点作BD⊥AC,如图所示,由勾股定理,得AB==,AD==2,∴cos A===.故选D.)6.9(解析:∵BC=6,sin A=,∴=,解得AB=9.故填9.)7.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A==,∴BC=4,根据勾股定理,得AC==2,则tan B===.8.解:设AE=x(x>0),则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴CE==5x,EM==x,CM==2x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∠EMC=90°,∴sin∠ECM===.9.(解析:如图所示,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=2,BC=2,AD=3,易知△ABC是等腰三角形,由面积相等可得BC·AD=AB·CE,∴CE==,∴sin∠CAE===.故填.)上节课已经学习了三角函数中的正切,所以这节课根据初中学生身心发展的特点,运用了类比教学法,想唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,运用直观教学,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的观点理解正弦、余弦和正切,是本节课的一个难点.为了更好地突破难点,在教学时发动学生及时进行讨论,产生的效果较好.在探讨梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系时,鼓励学生利用类比tan A的方法进行探究,可以比较直观地得出结论,学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性,课后作业有分层,适合不同程度的同学.在整个教学过程中,学生探究活动始终处于主导地位,培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力.在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时,时间安排的不是很科学,导致后面的例题以及做一做的处理稍显仓促.在以后的教学中注意科学合理地安排课堂时间,并且大部分的知识让学生利用类比tan A的方法进行自主探究.随堂练习(教材第6页)1.解:过A点作AD⊥BC,垂足为D,BD=BC=3,AD===4,∴sin B==,cos B==,tan B==.2.解:∵sin A=,∴AB===25,则AC===15,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60,△ABC的面积=AC·BC=×15×20=150.习题1.2(教材第6页)1.解:∵x==9=,∴sinα=cosβ==,cosα=sinβ==,tanα==,tanβ==.2.提示:倾斜角的正弦值、正切值越大,梯子越陡;倾斜角的余弦值越小,梯子越陡.3.解:如图所示,∵sin A=,cos B=,∴sin A=cos B.4.解:如图所示,∵CD是AB边上的中线,且CD=5,∴AB=2CD=10.∵BC=8,∴AC==6,∴sin A===.过点D作DE⊥AC于E,∵sin A=,∴DE=5sin A=4,∴AE==3,∴CE=6-3=3,∴sin∠ACD==,cos∠ACD==,tan∠ACD==.5.解:当∠BAC>90°时,CD=10,sin C=.当∠BAC<90°时,CD=16,sin C=.本节课的学习,学生可以类比上节课所学的正切的探究方法对正弦、余弦的知识进行探究.在探究的过程中要及时进行总结,得出直角三角形中的三个三角函数之间的关系,这也是本节课的难点,其突破方法就是在自主探究和合作交流的过程中寻求它们之间的联系,而熟练运用三角函数进行相关的计算是对所学知识的巩固提高.当然和上节课一样,在探究的过程中数形结合思想和转化思想的运用可以使问题得以简化.容易混淆sin和cos的概念.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则cos A的值是.【错解】【错解分析】容易把sin A和cos A的概念颠倒而得出相反的结论.【正解】【正解分析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,∴AC==,∴cos A==.。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案2
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案2一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册的教学内容，本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。
通过学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在实际问题中的应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从已有的知识出发，逐步过渡到锐角三角函数的学习。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义及概念。
2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在实际问题中的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义及应用。
2.难点：正弦、余弦、正切函数的定义及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生从已有的知识出发，探索锐角三角函数的定义及其应用。
3.互动式教学法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的表达能力和合作能力。
4.练习法：通过大量的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义及应用。
2.练习题：准备相关的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具：准备三角板、直尺等教学工具，方便学生直观地理解锐角三角函数。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入锐角三角函数的概念，例如：在直角三角形中，如何求解一个锐角的正弦、余弦、正切值？2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的定义，引导学生从已有的知识出发，理解正弦、余弦、正切函数的定义。
通过示例，展示这三个函数在直角三角形中的几何意义。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，运用锐角三角函数解决实际问题。
九年级数学《锐角三角函数(2)》教案
反馈练习，加深对锐角三角函数概念的理解。
活动五：全课小结，推荐作业
复习巩固所学知识，并为下一节课做准备。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
媒体使用与教学评价
活动一：复习回顾，导入新课：(3分钟)
问题（一）：
1、什么叫做正弦，你能画图说明如何表示吗？
2、30°、45°、60°角的正弦值分别是多少？
教学难点
正弦、余弦、正切概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，用含几个字母的符号组来表示，因此概念是难点．
教学方法
尝试指导，效果回授。
学法指导
构建师生合作的教学模式，创设问题情境，抓住学生的好奇心和求知欲，引导学生主动探究，为学生开创广阔的思维空间，让学生从中发现知识、掌握方法，服务于应用。
教学资源
最后教师布置作业。
【学生行为】
教师提出问题后，学生思考、交流自己的收获．最后学生记录并认真独立完成．
【媒体应用】
课件展示知识总结。
【设计意图】
1、巩固本节课的知识，由锐角三角函数定义可得到解决直角三角形问题的新的途径．
2、巩固本节课所学的知识，并为下节课的学习做准备．
板书设计
课题
余弦、正切的概念：例题分析：
多媒体辅助教学，增大课堂信息量，加强直观性，有利于学生观察、探究。实物投影仪便于学生展示自己的学习成果。
活动流程
活动内容及目的
活动一：复习回顾，导入新课
复习前面所学，为新知学习做好铺垫。
活动二：诱导尝试，探究新知
引导学生类比正弦，探究、理解余弦、正切。
活动三：例题分析，感悟方法
巩固余弦、正切概念，渗透解直角三角形的方法。
【设计意图】
初中数学教学课例《锐角三角函数(第二课时正弦与余弦)》教学设计及总结反思
据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
1.知识与技能：理解正弦与余弦的概念，能用 sin、
cos 表示直角三角形中的两边之比，并能解决三角函数
相关问题。
2.过程与方法：通过引导法、自主探究法和交流法，
教学目标 让学生自己动脑动手去猜想去发现，然后通过讨论交流
得出结论。
3.性感态度价值观：积极参与数学活动，对数学产
生好奇心和求知欲，形成合作交流的意识以及独立思考
的习惯。
学生学习能
学生必须主动思考，在教师的引导下及时地进行相
力分析 关操作，比如在教师在板书时自己也应该很快地在草稿
纸上画出相应的直角三角形，并且标出各顶点、各角； 在得到明确指令后要迅速思考、交流，能有条理地、清 晰地阐述自己的观点，最重要的一点是再次提醒学生目 前所讲的三角函数是在直角三角形中进行讨论的
教师通过课件展示后提出问题：如图，（1）直角 教学过程
三角形 AB1C1 和直角三角形 AB2C2 有什么关系？（2） AC1B1A 和 AC2B2A 有什么关系 B1C1B1A 和 B2C2B2A 呢？ （3）如果改变 AB 倾斜角大小呢？由此可以得出什么结
论，请同学们讨论会回答。学生们开始在自己的草稿纸 上画出教师所展示图形的草图，借以学习正切时的方 法，逐一解决教师提出的问题。首先是探索两个三角形 的关系，经过简单的思考不难发现两个三角形是相似 的，那么就有同学会回答这两个三角形是相似的，教师 便继续引导：既然是相似三角形，那么赶快回顾一下相 似三角形都具有什么性质，学生回忆：相似三角形对应 角相等，对应边成比例、相似三角形的周长比等于相似 比、相似三角形的面积比等于相似比的平方等，教师继 续提问：既然这样，那么第（2）小问中的比值有什么 样的关系，学生可以很快得出答案：相等。教师立马板 书出来，并且在板书过程中要求学生共同书写，最后一 问：如果改变倾斜角大小，以上结论还成立吗？学生又 开始讨论，很快有学生回答：改变倾斜角大小，两个三 角形仍然是相似三角形。教师追问：那倾斜角对边与斜 边的比值有变化吗？学生又开始计算、讨论，回答：倾 斜角变化，倾斜角的对边与斜边的比值也会随之变化。 教师继续引导：如果刚才你是用图中小三角形来计算的 比值，那么现在计算一下大三角形的比值，反之亦然。 学生在引导下又进行计算，然后发现比值居然一样，积 极讨论，随后教师带领学生归纳总结：只要倾斜角确定， 倾斜角的对边与斜边的角有关，而与直角
《锐角三角函数(2)》参考教案
锐角三角形第二课时教学目标：知识与技能：1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重难点：1．理解余弦、正切的概念．2．难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、口述正弦的定义2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC ＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A B．2C D3二、探索新知、分类应用【活动一】余弦、正切的定义一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值如图：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′ =90°，∠B=∠B′=α，那么有什么关系分析：由于∠C=∠C′ =90o，∠B=∠B′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.【活动二】余弦、正切简单应用教师解释课本第65页例2题意：如课本图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA、cosA、tanA的值．教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中两条边的值，要求正弦，余弦，正切值，就要求另一个直角边的值．我们可以通过已知边的值及勾''''BC B CAB A B与股定理来求．教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．三、总结消化、整理笔记在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．四、书写作业、巩固提高学生做课本第65页练习1、2、3题．分层作业五、教学后记。
苏教版锐角三角函数教案
锐角三角函数【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点。
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
2．能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。
（二）能力训练要求。
1．经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
2．体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
3．体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
（三）情感与价值观要求。
1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。
2．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
【教学重点】1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。
【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比。
【教学方法】引导——探索法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课用动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起。
70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决。
这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起。
（板书：从梯子的倾斜程度谈起）二、讲授新课演示如下内容：师：梯子是我们日常生活中常见的物体。
我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题。
（一）在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？生：梯子AB 比梯子EF 更陡。
锐角三角函数(第2课时)教案 2022—2023学年人教版数学九年级下册
28.1 锐角三角函数第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？(二)探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则AC DF=成立吗？为什么？（出示课件4）AB DE学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE，因此AC DF=.AB DE教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=.A b c∠=的邻边斜边教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cos α=sin(90°－α),或sin α=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA 、cosA 是一个比值（数值）.3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二 正切的定义如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，则BC EF AC DF=成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF. ∴BC AC EF DF =， 即BC EF AC DF=. 教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=a .A A b∠=∠的对边的邻边出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A 的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A 的正切值可以等于1；当a=b 时；可以大于1，当a ＞b 时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三 锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A 的正弦、余弦、和正切统称∠A 的锐角三角函数.考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA ，cosA ，tanA 的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得2222=106AC AB BC --， 因此，63sin ==105BC A AB =， 84cos 105AC A AB ,===63tan ==.84BC A AC = 师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，3sin 5A =，求cosA,tanB 的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∴5610sin 3BC AB A =⨯==. 又22221068AC AB BC =-=-=， ∴4cos 5AC A AB ==，4tan .3AC B BC == 教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.(三) 课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。
北师大版九上1.1锐角三角函数(2)
第一章 直角三角形的边角关系 1.1锐角三角函数（2）1、（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系?⑵222111B AB C B AB C 和有什么关系？222111A AB C A AB C 和 ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论?当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的 .2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的正切 tanA=邻边对边A A ∠∠= ∠A 的正弦 sinA=斜边对边A ∠= ∠A 的余弦 cosA=斜边邻边A ∠= 3、分别求出下图的Rt △ABC 中∠A 的正切、正弦值和余弦值．4、在直角三角形中各边都扩大5倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A ．缩小5倍B ．扩大5倍C ．不变D ．不能确定5、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）BC=6，sinA=53,求AB ，AC ，sinB ，cosB ，tanB 的值.（2）BC=4，cosB=53,求BC ，AB 的长和∠A 的三角函数值（3）若tanA=21，求∠B 的正弦、余弦值． （4）若sinA=53，求∠B 的正切、余弦值．6、已知在△ABC 中，AB=AC ，tanB=83 ，S △ABC =24， 求BC 的长．7.如图，已知两点A （2,0），B （0，4），且∠1=∠2，求∠1的正弦值.8.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC=2，AB=3，求cos ∠BCD 的值.课堂练习1．Rt △ABC 中，若sinA ＝45，AB ＝10，那么BC ＝ ，tanB ＝ . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=6，BC=8，那么sinA= .3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则sinA ＝（ ）（A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）234．在△ABC 中，∠C=90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ） A ．SinA c a ⋅= B ．B c b cos ⋅=C ．B a b tan ⋅=D ．A b a tan ⋅=5.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sin α的值是（ ）A ．34 B ．43 C ．54 D ．53 6.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=32 ，则边AC 的长是（ ） A ． 5 B ．3 C ．34 D ．13 AB=32，7．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上一点，∠DAC=30°，BD=2，则AC 长是（ ）A ．3B ．22C ．3D ．323 8. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD 的值是（ ）A ．34B ．43C ．54D ．53 9.如图，菱形ABCD 的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（ ）A ．sin α=54B ．cos α=53C ．tan α=34D ．tan α=43 10. 在正方形网格中，△ABC 位置如图所示，则tan ∠ABC 的值为（ ） A ．1 B ．22 C ．23 D ．3 11. 如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于（ ） A ．10 B ．31 C ．1010 D ．10103 12.如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A1处，已知OA=3，AB=1，则点A 1的坐标是 ．13.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，AE ⊥BC ，垂足为E ，cosB ＝53 ． （1）求BE 、DE 的长；（2）求∠CDE 的正弦值．14.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=53 ，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，DC=6， 求∠BAD 的余弦值．15.如图，△ABC 为等边三角形，点P 是边AC 的延长线上一点，连接BP ，作∠BPQ 等于60°，直线PQ 与直线BC 交于点N ．（1）求证：AP•PC=AB•CN ；（2）若BC=2，CN= 23，求∠N 的正切值．。
九年级数学下册1.1.1锐角三角函数课时教案北师大版
1.1.1 锐角三角函数一、教学目标1.经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程；2.理解正切三角函数的意义和与现实生活的联系.3.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.二、课时安排1课时三、教学重点经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程；四、教学难点能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.五、教学过程（一）导入新课你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？（二）讲授新课活动1：小组合作实例1:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡。
比值大的梯子陡。
你能设法验证这个结论吗？问题：如图，小明想通过测量1AC 及11B C ，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量22B C 及2AC ，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 111B C AC 和222B C AC 有什么关系?(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?∵∠A=∠A ∠AC 1B 1=∠AC 2B 2 ∴Rt △AC 1B 1∽Rt △AC 2B 23m3m 2m4m222A B C A AC ∠∴=∠的对边的邻边活动2：探究归纳在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的。
在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与临边的比随之确定，这个比叫做∠A 的正切. 记作:tanA ，tanA =A A ∠∠的对边的邻边注意：（1） tanA 是在直角三角形中定义的，∠A 是一个锐角（注意构造直角三角形）。
（2）tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。
北师大版九年级数学下册《锐角三角函数(第2课时)》精品教案
对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的 师讲解，师生 设计意在引导学
比值也确定吗?
交流，总结锐 生通过自主探
角三角函数 究、合作交流，
（2）.
掌握根据锐角三
角函数—正弦和
余弦函数判断梯
的陡的大小.
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠
的比，邻边与斜
BC AB B'C' A'B'
BC B'C' AB A'B'
边的比都是倾斜 角的函数.
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数
学生归纳出正弦
一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜
和余弦的定义及
边的比也是一个固定值．
其注意事项，进
教师引导学生归纳：在 Rt△ABC 中,如果锐角 A
练习 的是（ D ）
A．sinA=sinB
B．cosA=cosB
C．tanA=tanB
D．sinA=cosB
2.如图,在 Rt△ABC 中,锐角 A 的对边和邻边同时扩
大 100,sinA 的值（ C ）
B
A
A.扩大 100 倍
┌C
B.缩小 100 倍
C.不变
D.不能确定
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=5/13，则 tanB
课题——锐角三
角函数（2）.
师生共同总结：
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值
是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
通过总结，引入本课：锐角三角函数（2）。
讲授新课 2、出示课件
九年级数学初三下册：1.1 锐角三角函数 第2课时 特殊角的三角函数值教案
B
A.1 2
5．B. 23(4分)在△ABC中，若sinA＝
cosB＝ C．1 D.3 2
，则下列最确切的结论
是( )2
C
2
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
(2)sin30°＋cos30°·tan60°；
()
形ABC中，D，E分别为AB，BC
边上的点AG，AD＝BE，AE与CD 交于点FAF，AG⊥CD于点G，求
的值．
AC＝AB， 解：∵在△CAD 与△ABE 中， ∠CAD＝∠ABE＝60°，∴△CAD≌△ABE，
AD＝BE，
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠ACD＋∠CAE＝60°，∴∠AFG＝∠ACD＋∠CA
AFG 中，∵sin∠AFG＝AG，∴AG＝sin60°＝ 3.
AF AF
2
解：(1)过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 BH2＋AH2＝AB2，sinA＝BH，cos AB
＝BH2＋AH2＝BH2＋AH2＝1.
A＝1，sinA＝3，∴cos2A＝1－(3)2＝16.又∵co
解：原式＝2－ 3. 2
(3) sin45°＋tan45°－ 2 sin60°·tan30°；
解：原式＝3. 2
(4)sin60°＋sin245°＋cos245°. cos60°
解：原式＝ 3＋1.
12. D(5分)小明利用测角仪和旗杆 的A拉．3 c绳m 测B．6量cm学C．校3 2旗cm 杆D．的6 2高cm 度．如 图，旗杆PA的高度与拉绳PB的 长度相等．小A 明将PB拉到PB′的 平位线A置．4)＋，，2 3 测测B．4得角－2 3∠仪C．PB2＋′BD3′C的D.2＝＋高2 3α度(B为′C1为米水， 当α＝60°时，旗杆PA的高度为
1.1锐角三角函数(第二课时)课件(共15张PPT)浙教版数学九年级下册
∠EAC=60°
∠B=30°
思路2：作AB边上高
C
A
B
C
sin∠BAD=
3
=
2
BD=AB·sin60°=4 3
sin∠EAC=
=
3
2
EC=AC·sin60°=4 3
BC=2BD=8 3
sin∠B=
=
1
2
BC=2EC=8 3
知识应用
变式：如图，在△ABC中，AB=8，∠B=30°，tanC=
1.1锐角三角函数 （第二课时）
知识回顾
在Rt△ABC中，∠C=90°，
B
c
∠A的正弦
∠的对边
a
∠A的余弦
A
sinA=
b
C
∠A的正切
cosA=
斜边
∠的邻边
tanA=
斜边
∠的对边
∠的邻边
∠A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数.
=
=
=
=
=
=
新知探究
思考：常用的两块三角尺中有几个不同的锐角?
这几个锐角的正弦、余弦和正切值各是多少?
A
30°角的三角函数值
sin 30 =sinA=
30°
2k
k
60°
C
k
BC k 1
AB 2k 2
60°角的三角函数值
sin 60 =
AC
3k
3
AB
2k
2
cos 30 =cosA=
1.1锐角三角函数(教案)
4.情感与态度：激发学生对数学学科的兴趣，增强学生对数学源于生活、服务生活的认识，培养学生积极的学习态度和价值观。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）的定义是本节课的核心内容。教师需明确这三个函数的定义，并通过具体实例进行解释，使学生理解函数的本质。
1.1锐角三角函数（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级下册第十一章“锐角三角函数”的1.1节。教学内容主要包括以下方面：
1.锐角三角函数的定义：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）；
2.锐角三角函数的图像与性质：通过图像了解正弦、余弦、正切函数随角度变化的规律；
3.锐角三角函数的值：运用计算器计算特殊角度的正弦、余弦和正切值；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角与三条边的比值关系。这些函数包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。它们在解决实际问题，如测量、建筑等领域具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的高度，展示如何运用正切函数来求解实际问题。
4.锐角三角函数的应用：解决实际问题，如测量物体的高度等。
二、核心素养目标
1.理解与运用：使学生掌握锐角三角函数的定义、图像与性质，能运用计算器计算特殊角度的正弦、余弦和正切值，并能运用这些知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
2.思维与分析：培养学生通过图像观察、分析锐角三角函数变化规律的逻辑思维能力，发展学生的数学直观想象和数学抽象素养。
浙教版初中数学九年级下册1.1《锐角三角函数(2)》 (共15张)课件
解：
1、计算:
2、如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千
向两边摆动时,摆角恰好为30°,且两边摆动的角度相同,求
它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
(结果精确到0.01m)
A
2.5
B
C
D
已知∠A为锐角，且cosA= ， 你能求出∠A的度数吗。
讨论
课堂小结
本节课你学到了哪些知识？还有什么疑问吗 ？ 与同伴交流。
请与同伴交流你是怎么想的？又是怎么做的 ？
B
2
1
30°
A
C
w(4)sin45°,sin60°等于多少? w(5)cos45°,cos60°等于多少? w(6)tan45°,tan60°等于多少?
30° 45° 45° ┌ 60° ┌
w根据计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
α
30°45°60°源自三角函数的单调性 :观察特殊角的三角函数表，发现规律：
(1)当
时,α的正弦值随着角度的增大而增大，
随着角度的减小而减小;
(2)当
时, α的余弦值随着角度的增大而减小，
随着角度的减小而增大;
(3)当
时,α的正切值随着角度的增大而增大，
随着角度的减小而减小;
例2 计算:
w温馨提示: sin260°表示(sin60°)2, cos260°表示(cos60°)2,其余类推.
sinα
cosα
tanα
做一做
B
1
45°
A 1C
sin45 ° =
cos45°=
tan45°=
1
做一做
B
2
A
60°
锐角三角函数第二课时教案
锐角三角函数第二课时教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解锐角正弦、余弦和正切的概念，能正确运用锐角三角函数的定义进行计算。
（2）掌握特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能熟练进行相关计算。
2、过程与方法目标（1）通过对锐角三角函数概念的探究，培养学生的观察、分析和归纳能力。
（2）通过实际问题的解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探索和解决问题的过程中，体验数学活动的乐趣，增强学习数学的信心。
（2）培养学生的合作交流意识和创新精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）锐角三角函数的概念及特殊锐角的三角函数值。
（2）运用锐角三角函数解决实际问题。
2、教学难点（1）理解锐角三角函数的概念。
（2）灵活运用锐角三角函数解决实际问题。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程1、复习引入（1）回顾直角三角形的相关知识，如直角三角形的边与角的关系。
（2）提问：在直角三角形中，如果已知一个锐角和一条边，能否求出其他的边和角？2、概念讲解（1）在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值叫做这个锐角的正弦，记作 sinA。
即 sinA ＝对边／斜边。
（2）一个锐角的邻边与斜边的比值叫做这个锐角的余弦，记作cosA。
即 cosA ＝邻边／斜边。
（3）一个锐角的对边与邻边的比值叫做这个锐角的正切，记作tanA。
即 tanA ＝对边／邻边。
3、例题讲解例 1：在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AB ＝ 5，BC ＝ 3，求 sinA 和cosA 的值。
解：因为在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AB ＝ 5，BC ＝ 3，所以 AC ＝√（AB² BC²) ＝√（5² 3²) ＝ 4sinA ＝ BC ／ AB ＝ 3 ／ 5cosA ＝ AC ／ AB ＝ 4 ／ 5例 2：已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝ 1 ／ 2 ，求∠A 的度数。
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§1.1. 锐角三角函数（第二课时）教案
授课教师：授课日期：2017、11、17
教学目标:
1.使学生理解锐角正弦、余弦的定义
2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值
3.通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
教学重点:
1. 理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.
教学难点:
求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.
教学方法:
引导—探索法.
教学过程
一、温故互查
,BC=3,则AC=_______
1.在Rt△ABC中，∠C＝90 ，tanA=12
13
2.在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大2倍，则锐角A的正切（）
A.扩大2倍
B. 缩小到原来的0.5倍
C.扩大4倍
D.不变
二、设问导学
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A的对边是_________，∠A的邻边是________，锐角A的大小确定后，其对边与邻边的比值是
__________的。
(2)如图，Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ；
（3）的关系是和2
22111AB C B AB C B ； （4）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和2
22111AB C B AB C B ； 从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.
【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之＿＿＿．
∠A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即：sinA=＿＿＿
∠A 的邻边与斜边的比值叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即：cosA= ＿＿＿
锐角A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数，当∠A 变化时，相应的∠A 的正切、正弦、余弦值也随之＿＿＿＿＿.
在图中，梯子的倾斜度与与sinA 和cosA 有关，
sinA 的值越大，梯子越＿＿＿，cosA 的值越大，梯子越＿＿＿．
三、自学检测
1、求出图中∠A 的三个锐角三角函数值。
２、在Rt △ABC 中，∠B=90，AC=200,sinA=3
5
，求BC 的长，cosA 和B 1 B 2 A
C 1 C 2
tanB的值。
，AC=10,AB等于3、.如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，cos A=12
13
多少？sinB呢？
四、巩固练习
1、在△ABC中∠C=90° tanA=1/3 求sinB的值
２、课本随堂练习第1、2题。
五、课堂小结（俩人小组互述今天的收获）
六、作业布置（课本第6页第1题，第7页第4题。
）。