数值分析,计算方法

小数点后第3位半个单位
误差对计算结果的影响： 例1.7 用中心差商公式求f(x)=
f (2) 2h 2h 2h
x
在x=2的导数：
理论上，步长h愈小，计算结果愈准确。假定受计 算机字长限制，只能取5位有效数字，于是
4位有效数字
h=0.1 h=0.0001
1.4491 1.3784 f (2) 0.3535 0.2 1.4142 1.4142 f (2) 0.0000 0.0002
实际问题的求解过程中，一般会产生误差。 误差的产生是正常的，不可避免的。
模型误差 截断误差
实际问题
数学模型
问题的解
舍入误差
观测误差
本课程中，仅考虑数值计算过程所带来的误 差，即截断误差和舍入误差。
截断误差 计算过程中，往往将解题方案加工成算术运 算与逻辑运算的有限序列，这种加工过程常表现 为无穷过程的截断，由此产生的误差称为截断误 差。 2 n x x x e 1 x … …
。
(k ) 定义1.5 设有向量序列{X(k)∈Rn|X(k)=(x1( k ) , x2 ,…, (k ) xn }
T
,若
(k ) x2 lim xi( k ) xi k
，i=1,2,…,n T ( k ) 则称序列{X }收敛域向量X =(x1,x2,…,xn) 。
定理1.4 在空间Rn中，序列{X(k)}收敛于向量X的 充要条件是存在范数 ，使得
lim X ( k ) X 0
k
定义1.6 设A为n阶方阵， 为Rn中的某范数，则
称
max
X 1
AX
X R
n
为矩阵A的从属于向量范数的范数，记作 A 。
矩阵范数的性质： （1）对任意n阶方阵A有 A 0，且 A 0当且仅 当A=0； （2）对任意实数k及任意n阶方阵A，有 kA k A ； （3）对任意两个n阶方阵A，有 A B A B ，AB A B ； （4）对 X R n 及任意n阶方阵A，有
秦九韶算法 令 (p=0) v0=an (p=1) v1=anx+an-1=v0x+an-1 (p=2) v2=(anx+an-1)x+an-2=v1x+an-2 …… (p=k) vk=vk-1x+an-k ...... (p=n) vn=vn-1x+a0 v0=an vk=vk-1x+an-k (k=1,2,…,n) P(x)=vn
x1 x x （3） 1 2 ，lg x1 lg x2 lg x2
§1.6 向量范数与矩阵范数 定义1.4 称n维实空间R n上的一个非负函数 为范 数，若其满足 （1）X 0 当且仅当 X 0 X R n X X ， R 及X R n （2） n X , Y R X Y X Y （3） ， 。 对于一维实空间R而言，X 即为绝对值 X 。对于 n维向量，将主要涉及lp(p =1,2,…)范数：
例1.2 计算积分 n
In
1 0
x dx x5
n 0,1, 2,
,30.
解：通过直接计算可产生如下递推公式 1 6 I n 5 I n 1 I ln 1.8232e 001 ， （1.1） 0 n 5 由经典微积分知识可推得In具有如下性质 (1) In 0 (2) In 单调递减 (3) lim I 0 (4) 1 I n1 1 n 1
7.6314e-003
7.2974e-003 6.9913e-003 6.7100e-003 6.4501e-003 6.2108e-003 5.9829e-003 5.7998e-003 5.4839e-003 5.9140e-003
由此列可知，算法的设计十分重要，关系到计算 结果是否真实可信。
§1.3 误差
第一章 绪 论
§1.1 课程主要内容 1、非线性方程数值解法 2、线性方程组的数值解法 3、插值方法 4、数值积分 5、常微分方程初值问题的数值解法 §1.2 数值算法概论 数值算法是利用计算机求解数学问题近似解
的方法，所获近似解也称为原问题的数值解或逼 近解。
重点研究数值算法构造及其相关理论，包括 误差分析，算法收敛性和稳定等。
In
1.4071e-002
1.2977e-002 1.2040e-002 1.1229e-002 1.0521e-002 9.8963e-003 9.3419e-003 8.8462e-003 8.4005e-003 7.9975e-003
n
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
In
18 19 20
9.8903e-003 9.3719e-003
8.6960e-003 9.1515e-003 4.2426e-003
26 27
28 29 30
-5.8664e+001 2.9336e+002
-1.4667e+003 7.3338e+003 -3.6669e+004
从n=18开始，计算值出现异常。原因是从第n-1步 计算到第n步时，第n-1步的误差被放大了5倍。
n
21 22 23 24 25
In
2.6406e-002 -Байду номын сангаас.6575e-002 4.7635e-001 -2.3401e+000 1.1740e+001
6 7
8 9 10
2.4325e-002 2.1233e-002
1.8837e-002 1.6926e-002 1.5368e-002
16 17
定理1.6 A为n阶方阵，则
A A
§1.4 避免误差扩大的几个常用原则 1、简化计算步骤，减少运算次数 2、避免两个相近数相减，导致有效数字损失 a1=0.12345,a2=0.12346 a2-a1=0.00001 仅剩一位有效数字 解决方法 1 （1） x 1 x
x 1 x
1 cox sin x x 0 （2） ， sin x 1 cos x
算法②（秦九韶算法，我国宋代数学家） P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn P(x)=a0+x (a1+a2x+…+anxn-1)
P(x)=a0+x (a1+x (a2+…+anxn-2))
P(x)=a0+x (a1+…+x (an-1+anx) …) 显然，由里层往外一层一层的计算，仅需n次乘 法运算，比算法①节省一半的计算量。
表1-2
n
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
In
8.8392e-002
5.8039e-002 4.3139e-002 3.4306e-002 2.8468e-002 2.4325e-002 2.1233e-002 1.8837e-002 1.6926e-002 1.5368e-002
n
11
12 13 14 15 16 17 18 19 20
X
p
xi i 1
n
p

1 p
，X
( x1 , x2 ,
, xn )T Rn
特别，l∞范数为
X

lim X
p
p
max xi 。
1i n
定理1.3 若 与 在正常数C2≥C1使得

为Rn上的任意两种范数，则存
n X R ，
C1 X X C2 X
AX A X
性质（4）称为矩阵A及向量X的相容性。
定理1.5 设有n阶方阵A=(aij)，则与l1，l2，l∞范数 相容的矩阵范数分别为
A 1 max aij
1 j n i 1 n
A
2

AT A
n 1i n j 1
A

max aij
其中 为矩阵的谱半径，其满足 B B max iB i 为方阵B的特征值。 1i n
算法改造： 由性质(4)，取
I30
1 1 6 31 5 31 5.9140e 003 2
递推公式改写为
I n 1 In 1 5 5n
（1.2）
从n=30计算到n=1。由于该算法每向后推进一步 ，其误差便减少5倍，可期望获得符合原积分性 态的数值结果。计算结果见表1-2。
2! n!
x2 Sn ( x ) 1 x 2!
n 1 x e x S n ( x) e x (n 1)!
xn n!
(0 1)
舍入误差 计算过程中数据的位数可能很多，甚至为无 穷小数，受计算机字长限制，用机器代码表示的 数据必须舍入成一定的位数，由此产生的误差称 为舍入误差。
实际问题 数学模型 构造数值算法
数值算法，不仅 仅是单纯的数学 公式，而是指解 题方案准确而完 整的描述。
算法优劣主 要取决于: 1、计算开销 2、误差控制
程序设计 获取近似解
数值方法是一门与计算机应用密切结合的实用
性很强的学科；思维方法是归纳法，核心问题
是“误差”或误差分析。 数值方法这门课程讨论连续变量问题又要讨论 离散变量问题，关心的是数值结果。 数值分析、计算数学、计算方法或数值方法这
n n
6n
5n
直接根据公式(1.1)，从n=1计算到n=30 。结果为
表1-1
n
1 2 3 4 5
In
8.8392e-002 5.8039e-002 4.3139e-002 3.4306e-002 2.8468e-002
n
11 12 13 14 15
In
1.4071e-002 1.2977e-002 1.2040e-002 1.1229e-002 1.0522e-002
门课程已成为近代数学的一个重要分支。
例1.1 多项式求值的秦九韶算法 P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 算法①： 令 tk=xk uk=a0+a1x+…+akxk 则得递推公式 tk=xtk-1 (k=1,2,…,n) uk=uk-1+aktk 初值 t0=1 , u0=a0
显然，由算法①计算n次多项式P(x)值所需的乘法 次数为2n 。