热传导问题的数值解法
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4）建立节点温度代数方程组；
5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；
6）对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检 查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到结 果满意为止。
目前求解导热问题常用的数值解法主要有有 限差分法、有限元法及边界元法。其中有限差 分法比较成熟，应用较广。
本章具体内容安排：
4.1 导热问题数值解法的基本思想 4.2 内部节点离散方程的建立方法 4.3 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解 4.4 非稳态导热问题的数值解法
4.1 导热的问题数值解法的基本思想
1.数值解法的基本思想:
用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为 节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续 温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导 热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。
1) 简单迭代法
设节点温度差分方程的形式为：
a11t1 a12t2 a1 jt j a1ntn b1
a21t1 a22t2 a2 jt j t2ntn b2
an1t1 an2t2 anjt j anntn bn
aij、bi 为常数 aii 0
Fra Baidu bibliotek
将该方程组改写为 t1 ,t2 , tn 显函数的形式：
其他几种边界节点的温度差分方程：
1.第三类边界条件下的外拐角边界节点：
tm1,n tm,n1 2Bi 2 tm,n 2Bi t f 0
2.第三类边界条件下的内拐角边界节点：
tm,n1 tm1,n 2 tm1,n tm,n1
2Bi 6 tm,n 2Bi t f 0
t
x2 2t
x3 3t
x4 4t
tm1,n
tm,n
x x
m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 ...
m,n
m,n
将上两式相加略去高阶项则得：
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
o(x2 )
中心差分格式
m,n
同理可得y方向的中心差分格式：
2t y 2
tm,n1
tm,n1 2tm,n y 2
3.绝热边界节点：
tm,n1 tm,n1 2tm1,n 4tm,n 0
节点温度差分方程组的求解方法
运用有限差分方法可建立导热物体所有内部节点和边界节点
温度的差分方程。这些节点温度差分方程构成一个线性代数方程 组，求解该方程组，就可以得节点温度的数值。
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等 这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法。
过程中的能量守恒建立节点温度差分方程。
仍以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例
内部节点( m,n )所代表的控制容
积在导热过程中的热平衡可表述为： 从周围相邻控制容积导入的热流量之
和等于零。即有： w e s n 0
根据导热付里叶定律，对于垂直于画面方向单位宽度有：
y tm1,n tm,n y tm1,n tm,n x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,n 0
x
x
y
y
x y
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n 0
4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
把第2类及第3类边界条件合并考虑， 根据热平衡法进行分析；
qw
t n w
t n w
ht w
tf
对具有第三类边界条件的边界节点
( m,n )，根据热平衡有：
4.2 内节点离散方程的建立方法
以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明
1 泰勒级数展开法
对节点（m+1,n)和（m-1，n)分别写 出t在（m,n)节点的泰勒级数展开式：
t
x2 2t
x3 3t
x4 4t
tm1,n
tm,n
x x
m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 ...
m,n
m,n
2.数值解法求解导热问题的基本步骤：
1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 合理的简化，建立符合实际的物理模型； 2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程 （即导热控制方程）和单值性条件；
3）求解域离散化：将导热问题所涉及的空间和时间区域 按一定的要求划分成有限个子区域，将子区域的顶点作为 需要确定其温度值的空间点或时间点（即节点）, 每个节 点就代表以它为中心的子区域，节点温度就代表子区域的 温度；
y tm1,n tm,n x
h y
tf
tm,n
x
2
tm,n1 tm,n y
x
2
tm,n1 tm,n y
0
x
y
tm1,n
tm,n
h
y
tf
tm,n
1 2
tm,n1 tm,n
1 2
tm,n1 tm,n
0
Bi
h x
网格毕渥数
2ti1, j ti, j1 ti, j1 2Bi 4 ti, j 2Bit 0
o(y2 )
m,n
对二维常物性，无内热源的稳态导热问题：
2t 2x
2t 2 y
0
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
tm,n1
tm,n1 y 2
2tm,n
0
x y
tm,n
tm1,n
tm1,n
tm,n1 4
tm,n1
2 热平衡法
内节点离散方程的建立方法
热平衡法的基本思路是：根据节点所代表的控制容积在导热
2）节点的选择
选择网格线交点和网格线与物体边界线的交点作为节点 ，每个节点代 表以它为中心的子区域 。如：(m,n)节点就代表涂阴影的子区域。
2 建立节点离散方程
2t 2x
2t 2 y
0
x dx
t dt x dx
如何得到各节点的差分方程？？
建立节点温度差分方程的方法有两种：
1）泰勒级数展开法 2）热平衡法
有限差分法的基本原理：用有限差分近似微分，用有限差商 近似微商，将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。
以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明
2t 2t 控制方程： 2 x 2 y 0
x dx t dt
x dx
1 求解域的离散化
1) 子区域的划分
考虑根据导热物体的几何形状选择坐标系，利 用一组与坐标轴平行的网格线将物体划分成若干 个子区域。网格的宽度称为步长。步长大小（即 网格疏密）的选择根据问题的需要而定。
5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；
6）对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检 查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到结 果满意为止。
目前求解导热问题常用的数值解法主要有有 限差分法、有限元法及边界元法。其中有限差 分法比较成熟，应用较广。
本章具体内容安排：
4.1 导热问题数值解法的基本思想 4.2 内部节点离散方程的建立方法 4.3 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解 4.4 非稳态导热问题的数值解法
4.1 导热的问题数值解法的基本思想
1.数值解法的基本思想:
用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为 节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续 温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导 热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。
1) 简单迭代法
设节点温度差分方程的形式为：
a11t1 a12t2 a1 jt j a1ntn b1
a21t1 a22t2 a2 jt j t2ntn b2
an1t1 an2t2 anjt j anntn bn
aij、bi 为常数 aii 0
Fra Baidu bibliotek
将该方程组改写为 t1 ,t2 , tn 显函数的形式：
其他几种边界节点的温度差分方程：
1.第三类边界条件下的外拐角边界节点：
tm1,n tm,n1 2Bi 2 tm,n 2Bi t f 0
2.第三类边界条件下的内拐角边界节点：
tm,n1 tm1,n 2 tm1,n tm,n1
2Bi 6 tm,n 2Bi t f 0
t
x2 2t
x3 3t
x4 4t
tm1,n
tm,n
x x
m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 ...
m,n
m,n
将上两式相加略去高阶项则得：
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
o(x2 )
中心差分格式
m,n
同理可得y方向的中心差分格式：
2t y 2
tm,n1
tm,n1 2tm,n y 2
3.绝热边界节点：
tm,n1 tm,n1 2tm1,n 4tm,n 0
节点温度差分方程组的求解方法
运用有限差分方法可建立导热物体所有内部节点和边界节点
温度的差分方程。这些节点温度差分方程构成一个线性代数方程 组，求解该方程组，就可以得节点温度的数值。
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等 这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法。
过程中的能量守恒建立节点温度差分方程。
仍以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例
内部节点( m,n )所代表的控制容
积在导热过程中的热平衡可表述为： 从周围相邻控制容积导入的热流量之
和等于零。即有： w e s n 0
根据导热付里叶定律，对于垂直于画面方向单位宽度有：
y tm1,n tm,n y tm1,n tm,n x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,n 0
x
x
y
y
x y
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n 0
4.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
把第2类及第3类边界条件合并考虑， 根据热平衡法进行分析；
qw
t n w
t n w
ht w
tf
对具有第三类边界条件的边界节点
( m,n )，根据热平衡有：
4.2 内节点离散方程的建立方法
以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明
1 泰勒级数展开法
对节点（m+1,n)和（m-1，n)分别写 出t在（m,n)节点的泰勒级数展开式：
t
x2 2t
x3 3t
x4 4t
tm1,n
tm,n
x x
m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 ...
m,n
m,n
2.数值解法求解导热问题的基本步骤：
1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 合理的简化，建立符合实际的物理模型； 2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程 （即导热控制方程）和单值性条件；
3）求解域离散化：将导热问题所涉及的空间和时间区域 按一定的要求划分成有限个子区域，将子区域的顶点作为 需要确定其温度值的空间点或时间点（即节点）, 每个节 点就代表以它为中心的子区域，节点温度就代表子区域的 温度；
y tm1,n tm,n x
h y
tf
tm,n
x
2
tm,n1 tm,n y
x
2
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0
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1 2
tm,n1 tm,n
1 2
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网格毕渥数
2ti1, j ti, j1 ti, j1 2Bi 4 ti, j 2Bit 0
o(y2 )
m,n
对二维常物性，无内热源的稳态导热问题：
2t 2x
2t 2 y
0
tm1,n
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2tm,n
tm,n1
tm,n1 y 2
2tm,n
0
x y
tm,n
tm1,n
tm1,n
tm,n1 4
tm,n1
2 热平衡法
内节点离散方程的建立方法
热平衡法的基本思路是：根据节点所代表的控制容积在导热
2）节点的选择
选择网格线交点和网格线与物体边界线的交点作为节点 ，每个节点代 表以它为中心的子区域 。如：(m,n)节点就代表涂阴影的子区域。
2 建立节点离散方程
2t 2x
2t 2 y
0
x dx
t dt x dx
如何得到各节点的差分方程？？
建立节点温度差分方程的方法有两种：
1）泰勒级数展开法 2）热平衡法
有限差分法的基本原理：用有限差分近似微分，用有限差商 近似微商，将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。
以“二维常物性，无内热源的稳态导热”为例进行说明
2t 2t 控制方程： 2 x 2 y 0
x dx t dt
x dx
1 求解域的离散化
1) 子区域的划分
考虑根据导热物体的几何形状选择坐标系，利 用一组与坐标轴平行的网格线将物体划分成若干 个子区域。网格的宽度称为步长。步长大小（即 网格疏密）的选择根据问题的需要而定。