必修4 第2章 平面向量典型例题及练习

第二章平面向量

2.1平面向量的实际背景及基本概念

【知识点归纳】

1.平面向量的概念：

2.向量的表示：

（常见的2个向量）

3.相等向量与共线向量：

【典型例题】

题型一向量的基本概念

例1.给出下列命题：

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②两个单位向量是相等向量；③若a=b, b=c,则a=c；

④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；

⑤若|a|=|b|,则a=b。⑥若a与b共线, b与c共线,则a与c共线

其中正确命题的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例2下列命题正确的有

①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

③向量a与ｂ不共线，则a与ｂ都是非零向量

④有相同起点的两个非零向量不平行

题型二向量的表示

例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点, 然后又改变方向,向西偏北45°走了200km到达C点, 最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点. (1)作出向量AB,BC,CD;(2)求AD

Q

P

D

C

B

A

题型三 相等向量与共线向量

例4 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别 写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量，共线的向量。

题型四 利用向量解决多点共线的问题

例5.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，P,Q 是AD ，BC 上的 点，且BP QD =,求证：AP QC =

综合练习：

1. 下列命题中，正确的是（ ）

A. 若|a |=|b |，则a =b

B. 若a =b ,则a 与b 是平行向量

C. 若|a |>|b |,则a >b

D. 若a 与b 不相等，则向量a 与b 是不共线向量 2.下列说法中错误．．

的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是

4.已知非零向量a ∥b ,若非零向量c ∥a ,则c 与b 关系是 .

5.已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 .

6.判定下列命题的正误：

①零向量是惟一没有方向的向量。 （ ） ②平面内的单位向量只有一个。 （ ） ③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（ ） ④向量a 与b 是共线向量，b ∥C ,则a 与c 是方向相同的向量。 ( ) ⑤相等的向量一定是共线向量。 ( ) 7. 下列四个命题中，正确命题的个数是

① 共线向量是在同一条直线上的向量

② 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 ③ 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的

④ 若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 与CD ，BC 与AD 分别共线.

2.2 平面向量的线性运算

2.2.1 向量的加法

2.2.2 向量的减法

2.2.3 向量的数乘【知识点归纳】

1.向量的加法：

2.向量加法的平行四边形法则：

3.向量的加法的运算率：

4.向量的减法：

5.向量减法的平行四边形法则：

6.向量数乘的概念：

7.向量的数乘的性质：

8.向量共线的条件：

9.向量的线性运算

10.向量证明三点共线：

三角形的中线与重心公式：

F

E D C

B

A

【典型例题】

题型一 向量的加减法

例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-

例2．如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点, 则DB AF -＝( )

A.FD

B.FC

C.FE

D.BE

题型二 向量的作图

例3已知在矩形ABCD 中，宽为2，长为23,AB =a , BC =b ,AC =c ,试作出向量a+b+c ，并求出其模的大小

例4.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d

题型三 用已知向量表示未知向量

例5.如图所示，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形，

又BM=31BC ，CN=3

1

CD ．试用a ，b 表示OM ，ON ，MN ．

变式：设D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →

＝b ，给出下列命题：①AB →＝－12 a －b ②BE →＝a ＋12 b ③CF →＝－12 a ＋12 b ④AD →＋BE →＋CF →

＝0.其中正确的命题个数为

（ ） A.1

B.2

C.3

D.4

O

A

D

B

C

M

N

题型四 向量的加减法综合运用

例6.设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量

（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．

例7.已知O 是ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,若AB =a , BC =b , OD =c ,试证明:c +a -b =OB .

综合练习：

1.下列命题正确的有

①单位向量都相等 ②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 ③若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >b ④对于任意向量a 、b ,必有|a +b |≤|a |+|b | 2. 以下四个命题中不正确的有 ①若a 为任意非零向量，则a ∥0 ②| a+b |=|a |+|b |

③a =b ，则|a |=|b |，反之不成立 ④任一非零向量的方向都是惟一的 3.已知4||,6||==AC AB ，则||BC 的取值范围为 4. 设（AB +CD ）+（BC +DA ）= a ,b ≠0,则在下列结论中， 正确的有

①a ∥b ; ②a +b =a ; ③a +b =b ; ④｜a +b ｜＜｜a ｜+｜b ｜ 5.化简AB BC CD DA +++=

6.如图，在四边形ABCD 中,根据图示填空:

a +

b = ,b +

c = ,c -

d = ,a +b +c -d = .