初等几何研究试题答案(5)李长明版汇总

五、关于平行与垂直
1、I
是△ABC 的内心,AI 、BI 和CI 的延长线分别交△ABC 的外接圆于
D 、
E 和F. 求证:E
F ⊥AD.
证明:已知I 是△ABC 的内心, ∴AD 、BE 和CF 是∠BAC 、∠ABC 和∠ACB 的角平分线
∴⌒BD =⌒CD ，⌒BF
=⌒AF ，⌒AE =⌒CE
∴⌒BD +⌒BF +⌒AE =⌒CD +⌒AF +⌒CE ∴⌒DF +⌒AE =⌒DE +⌒AF
∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE
∴EF ⊥AD
2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS.
A
D
E
C
F
I
B
P
Q
R
S
D
C
B
A
证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴⌒
AP =⌒
PB ,⌒BQ =⌒
QC ,⌒CR =⌒
RD ,⌒
DS =⌒
SA ∴⌒
AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA =⌒PB +⌒BQ +⌒
RD +⌒
DS
又∵⌒
PQ +⌒RS =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒
DS , ⌒SP +⌒
RQ =⌒AP +⌒QC +⌒
CR +⌒
SA ∴⌒
PQ +⌒RS =⌒SP +⌒RQ ∴SQ ⊥PR
3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。

证明：设AC 和BD 相交于点O ，作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，
A
B
C
D
F
O
E
连接AF，CE
∵对角线BD平分四边形ABCD的面积
∴S△ABD＝S△CBD
∴AE=CF
又∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴AE∥CF
∴四边形AECF为平行四边形
∴AO=CO
同理可得 BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD的中点。

求证：EFGH是平行四边形。

G
C
H
D Y
E
A
F
B
X
证：∵ABCD是平行四边形，且F、H是AB、CD的中点∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC
∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形且E、G分别是AY、XC的中点
∴∠XCB=∠DAY,CG=AE ∴∠GCH=∠EAF
∴△GCH≌△AEF
∴EF=GH 且∠GHC=∠AFE
∵AB∥CD
∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH
∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形
O
O
5. 在△ABC 的各边上向外作正方形BCDE 、CAFG 、ABHI,其中心依次为O 1，O 2, O 3
求证：
AO 1┴O 2 O 3
证明：如上图所示
取AC 中点M ，连结MO 2、CE 、AE 、HC ∵ BH=AB BC=CE
∠HBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC 即∠HBC=∠ABE ∴△ABE ≌△HBC ∴AE=HC HB=AB BE=BC 又∵∠HBA=90º ∴AE ┴HC
又∵O 3 、M 、O 1、中点
G
F
A
I
H
B
E
C
D
O
O 3
M
O 2
∴O 3M=2
1HC MO 1=2
1AE 又∵HC=AE
∴MO 1=┴O 3M 且 MO 1┴O 3M
又∵AM=MO 2 ∠AM O 2 +AMO 3 =∠O 1MO 3 +∠AM O 3
即∠O 1MO 2 =∠AM O 1
∴△O 2MO 3≌△AM O 1
∴ AM=M O 2 AO 1=O 2 O 3 ∠AM O 2 =90º ∴AO 1┴O 3M
6. 正方形ABCD 内任取一点E ，连AE 、BE ，在△ABE 外分别以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF . 求证：NC ∥AF
证明：连结CF 、DN .如图所示 。

则有 AN=AE , AD=AB
∵∠NAD+∠DAE=∠EAB+∠DAE=90º ∴∠NAD=∠EAB
N
A
B
C
D E
F
M
G
∴△ADN≌△ABE
又AB=BC ,BF=BE
∠CBF+∠CBE=∠ABE+∠CBE=90º
∴∠CBF=∠ABE
即有△ADN≌△CBF
∴AN=CF
又DN=BF ，CD=AB
∠NDC=∠NDA+90º=∠ABE+90º=∠ABF
∴△CDN≌△ABF
∴CN=AF
∴四边形AFCN为平行四边形
即NC∥AF
7以□ABCD的对角线AC为一边在其两侧各作一个正三角形ACD、ACQ。

求证：BPDQ 为□。

P
A
B
D
C
Q
证明：由题意可得：△APC≌ΔACQ
∴AP=QC,AQ=PC 又∵∠PAC=∠ACQ=60º
∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD
∠PAB=∠PAC-∠BAC
∠DCQ=∠ACQ-∠ACD
∴∠PAB=∠DCQ
在ΔAPB和ΔDCQ中
AP=CQ AB=CD
∴ΔAPB≌ΔQCD
∴BP=DQ
又∠QAC=∠ACP=60º
∵AB∥CD ∠BAC=∠ACD
∠BAQ=∠QAC+∠BAC ∠DCP=∠ACP+∠ACD
∠BAC=∠DCP
在ΔABQ和ΔPDC中
AB=DC AQ=PC ∴ΔABQ ≌ΔPDC ∴BQ=PD
∴四边形BPDQ 为平行四边形。

8.已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。

求证：第五边也平行于所对的对角线。

证：如图所示，已知 AB//CE , BC//DA , CD//BE , DE//AC , AB//CE , BC//DA , CD//BE , DE//AC ,
∴S ∆ABE = S ∆ABC
S ∆ABC =
S ∆DBC
S ∆DBC =
S ∆DEC
S
∆DEC =
S ∆ADE
∴S ∆ABE =
S
∆ADE
∴AE//CE
D
E
A
B
C
9. 在△ABC 中，∠B ≠90°，BC 边的垂直平分线交AB 于D ，△ABC 的外接圆在A 、B 两点之切线交于E ， 求证：DE ∥BC.
证明：
连接CD
EA=EC ∴∠2=∠EAC 又 CD=BD ∴∠B=∠DCB
又 ∠2=∠B (外角=内对角） ∴△ACE ∽△BCD ∴∠BCD=∠AEC
又∠BDC+∠CDA=180° ∴∠AEC+∠CDA=180° ∴A 、D 、C 、E 四点共圆
∴∠1=∠2 （同弦所对的圆周角） ∴∠1=∠B
10. P 是正方形ABCD 边CD 上的一点，过D 作AP 的垂线分别交AP 、BC 于Q 、R ，O 是正方形的中心，求证：ＯＰ⊥ＯＲ。

A
2
1
D C
B
E
O
·
证明：如图所示，
∵∠PAD=90°-∠APD=∠RDC 又∵∠ADC=∠DCR ∴∠APD=∠DRC 又∵AD=CD
∴△APD ≌△DRC ∴AP=DR
∵∠OAP=45°-∠PAD ∠ODR=45°-∠RDC ∴∠OAP=∠ODR
又∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA=OD
∴△AOP ≌△DOR 又∵AP ⊥DR
∴△DOR 是经O 点旋转90°得到的， ∴OP ⊥OR.
11、从等腰△ABC 的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，H 为垂足，点P 为线段MH 的中点。

求证：AH ⊥BP 。

证明：如图取AM 的中点Q ，并连接BQ 、PQ
A
C
B
Q
M
P
H C
B
O
A
P
D
Q
R
则在Rt △BAM 中，BQ 为中线 又BP 为Rt △BMH 的中线 ∴∠QBM=∠PBH ∴Rt △BQM ∽Rt △BPH 则∠BPH=∠BQM
∴点B 、Q 、M 、H 四点共圆
∵∠BPQ=∠BMQ(弦BQ 所对的圆用角) ∴PQ ⊥BP
又∵P 、Q 分别为MH 与AM 的中点 ∴PQ ∥AH ∴AH ⊥BP
12. 给定正方形ABCD ，P,Q 分别为AB,BC 上的点，满足BP=BQ,自B 作BH ⊥PC 于H ，求证：∠DHC=90°。

证明：如图
延长BH 交AD 于F
∵BH ⊥PC
∴∠PBH=∠BCP
F
B D
P A H
Q
C
又∵AB=BC
∠A=∠B
∴△ABF ≌△BCP
∴AF=BP=BQ
∴C ，D ，F ，Q 四点共圆（矩形）
∴∠ABF=∠BFQ=∠BCP
BP=BQ
∴F ，C ，Q ，H 四点共圆
∴F ，D ，C ，Q ，H 五点共圆
∵DQ 为直径
∴∠DHC=90°
13. 在△ABC 中，AB=AC, O 为外心，D 为AB 的中点，
E 是△ACD 的重心。

证明：O E ⊥CD G
E M O
D F
H B C A
证明：∵E 是ACD 的重心。

∴2
3AE AM =
∵G 是△ABC 的重心。

∴1
2DG
GC =。

∴DG=13DC
∵M 是DC 的中点。

∴DM=12CD 。

∴2
3DG
DM =。

∴DG
DM AE
AM =。

∴EG ∥AD.
∵OD ⊥AB.∴OD ⊥EG
∵AH ⊥BC 且DF ∥BC.∴GO ⊥DE
∴O 是△DEG 的垂心。

∴OE ⊥DG
∴OE ⊥CD
14、在∆ABC 中，∠A=90，D 在BC 上且AD ⊥BC,求证：∠BAC 的平分线垂直平分∆ACD 与ABD 的内心之连线。

证：设I 、J 分别是∆ABD 、∆CAD 的内心，连接I 、J 并延长分别交AB 、AC 于E 、F,则DI 、
DJ 是对应线段，故由∆ABC ∽∆CAD 知DJ DI =AD BD 但∠IDJ=90°∴∆IDJ ∽∆BDA. ∴∠DJI=∠DAB ∴A 、E 、D 、J 共圆 ∴∠AEJ=∠ADJ=45° ∴AE=AF
∴∠BAC 的平分线垂直于EJ.
15.考虑△的三个旁切圆，每一对圆恰有一条与△ABC 的边不同的公切线，这三条公切线组成一个三角形T ，O 是△ABC 的外心，证明：OA 与T 的一边垂直。

D C B
A
O I B
I C
C'
H'
A
C
H
B
B'
证：利用A处得对称性
设○I B、○I C的另一公切线分别于BA、CA的延长线交于C'、B'，则易知△AB'C'与△ABC关于I B I C对称。

连结OA、OB,由中心角与圆周角的关系可知
∠OAB=90°-∠C（∵∠AOB=2∠C）
再自A作A H⊥BC与H，AH′⊥B′C′与H′，则
∠H′AC′=HAC=90°-∠C
∴∠OAB=H′AC′
∴O、A、H共线
OA⊥B′C′。