第5章点的复合运动.

第5章点的复合运动
5.1复合运动中的基本概念
5.2复合运动中的运动方程之间的关系
5.3复合运动中的速度之间的关系
一、目的要求：
1、使学生了解速度和加速度的矢量式
2、理解绝对运动，相对运动和牵连运动
3、使学生对合成运动问题能恰当地选择动点，动系和定系，并能较正确的判定点的绝对，相对和牵连运动
4、使学生掌握速度合成定理，并能较正确应用它解点的速度合成运动问题。

二、重点：绝对运动，相对运动和牵连运动的概念，速度合成定理及其应用。

难点：牵连运动，牵连点，动点，动系的选择
三、学时安排：4学时
四、教学准备：幻灯片
五、教学过程
导入新课：
5.1复合运动中的基本概念
一、概念：
1、静参考系：固定在地球上的坐标。

2、动参考系：固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标，
3、复杂运动：研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动和合成运动。

实例之一：小船自左岸边A向后岸边B点运动，河水以均匀速度v运动，小船最终到到右岸的D点。

（1）动系中小船对动系来说是直线运动，从
（2）静系中：动系对静系则是直线运动。

小船从A→B，C→D。

（3）同时性：先假设河水不动，则小船从A划到B：在假设人不划船，小船随河水漂流到下游D处。

实际上小船和水是同时运动的，小船动点的运动是上述两个简单运动的合成
C
A
v
图5-1 小船的复合运动图5-2车轮轮缘上点M的复合运动实例之二：研究沿地面作直线滚动的车轮轮缘上点M的运动（1）静系中：动点的轨迹是旋轮线车厢作直线运动
（2）动系中：M 动点作圆周运动
（3）运动的同时性，M点运动和平动是同时进行的，M点既跟随着动系一起平动，又在动系上作圆周运动。

旋轮线就是这两个运动的合成运动的轨迹，轮缘上M点的运动就是这两个简单
运动的合成。

实例3：在大梁固定不动时，卷杨小车沿大梁可作直线运动，同时将吊钩上的重物A铅垂向上提升，研究重物的运动称合成运动
（1）静系中：A→B
（2）动系中：A →A’
（3）同时性:点：A →A’
小车：A→B
重物既跟随动系一起向右平动，图5-3吊重物的复合运动又在动系上从下往向运动，重物的运动是两个简单运动的合成。

三. 三种运动绝对相对牵连
1、绝对运动：动点相对于静系的运动，即人站在地面上观察点的真实运动。

2、相对运动：动点相对于动系的运动，即人站在动系上（或人站在运动的物体上）观察点的运动。

3、牵连运动：动点随动系相对于静系的运动，即人站在地面上观察动点随动系的运动。

由于动系上各个点的运动速度一般是不同的（动系作平动除外），在同一瞬时，动系上与动点位置相重合的点称为牵连点，含有牵连点的动系相对于定系的运动即为牵连运动。

（为平动或转动或复杂运动的动系相对于定系的运动注：绝对运动是相对运动和牵连运动的合成。

4、动系、动点的选取原则：
（1）动点、动系和静系必须分别选在三个物体上。

静系一般固定在地面或与地固连的机架上，即静系固定在不动的物体上。

（2）动点和动系不能选在同一个运动的刚体上，若选在同一个刚体上，动点对动系就不会有相对运动。

（3）动点相对动系的相对运动轨迹简单、明显，如相对轨迹是直线，圆等。

（4）动系的运动要容易判定，如平动和转动等。

（5）对于有约束联系的系统，例如机构转动问题，动点多选取主动件与从动件的连接点，并与其中一个构件固接，而动系固定在另一运动的构件上。

（6）对于没有约束联系的系统，所研究的点为动点，如雨滴，矿砂，物料：动系固定在另一运动的物体上，如车辆，转送带，
四、三种速度绝对速度相对速度牵连速度
1、绝对速度：动点相对于定系运动的速度
2、相对速度：动点相对于动系运动的速度。

3、牵连速度：牵连点相对于动系运动的速度
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间，除动坐标系作平移外，动坐标系上各点的运动状态是不相同的。

在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。

为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于静
坐标系运动的速度称为动点的牵连速度。

动点和牵连点是一对相伴点。

例如，直管OB 以匀角速度
ω绕定轴O 转动，小球M 以速
度u 在直管OB 中作相对的匀速直线运动，如图示。

将动坐标系固结在OB 管上，以小球M 为动点。

随着动点M 的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相
应改变。

设小球在t 1、t 2瞬时分别到达M 1、M 2位置，则动点的牵连速度分别为
1122e e OM OM ω
ω=⋅=⋅v v
五、实例简述三种运动. 三种速度 1、小船过河
（1）动系、定系、动点分别在河水上、河岸上、小船。

（2）运动分析：小船（从A → B ）相对于河水的运动是相对运动，其速度为相对速度r v ，小船随河水的漂动（即从A → C ）是牵连运动，河水的流速为牵连速度e v ，小船自A 到D 的运动是绝对运动，其速度为绝对速度a v 。

2、前进中的车轮缘上动点M ：
（1）动系—车厢、定系—地、动点—轮子。

（2）旋轮线的运动是绝对运动，其速度为绝对速度a v ；动点
图5-4 牵连点 牵连速度
随车厢的平动为牵连运动，车在前进中的速度为牵连速度e v ；动点绕轴心的转动为相对运动，其速度为e v 。

3、被提升的重物（向上向前运动） （1）动系—大梁，动点—重物，定系—地面
（2）重物相对于小车的铅垂向上的运动为相对运动，其速度为r v ：重物随小车的平动为牵连运动，其速度为e v ；重物自A 到A 1的运动为绝对运动，其速度为a v 。

5.2复合运动中的运动方程之间的关系
一、 用矢径表示的运动方程 1、Oxyz: ()a a t x ==r r i +yj +zk
a r ──绝对矢径。

是动点矢量形式的绝对运动方程；其矢端
曲线就是动点的绝对轨迹。

2、O ’x ’y ’z ’: ()'r r t x ==r r i +y'j +z'k
r r ──相对矢径，相对运动方程，相对轨迹。

O y
图5-5 矢径表示 图5-6 直角坐标表示 二、用直角坐标表示运动方程。

'
'
cos sin sin cos O O x x x'-y'y y x'y'ϕϕ
ϕϕ
⎧=+⎪⎨=++⎪⎩
在点的绝对运动方程中消去时间t ，即得点的绝对运动轨迹；在点的相对运动方程中消去时间t ，即得点的相对运动轨迹。

例如清华《教材》P.97例5-1。

5.3 复合运动中速度之间的关系
一、解析法求速度
将三种运动方程之间的关系式对时间连续求导，可得三种运动中速度之间与加速度之间的关系，这就是求解点的复合运动的解析法。

例如清华《教材》P.98例5-2。

二、速度合成定理
1、绝对速度应是相对速度和牵连速度合成的矢量。

=+v v v a e r
2、推导： （1）几何证明：
动点在一个任意运动的刚体K 上沿弧AB 相对于刚体K 运动，动坐标系固结刚体K 上，静坐标系固结在地面上。

瞬时t ，动点位于M 处，∆t 后动点运动到1M ‘处。

绝对运动轨迹
1MM ‘，M 1是瞬时t 的牵连点，1MM 是此牵连点的轨迹。

图5-7 速度合成定理
111111110001111
000lim lim lim lim
lim lim t t t a e r t t t a e r MM MM M M MM MM M M t t t MM MM M M t t t
∆→∆→∆→∆→∆→∆→''''=+=+∆∆∆''
===∆∆∆=+v v v v v v 点的速度合成定理是矢量式，有两个投影方程，可求解2个未知量，3个速度矢量共6个量（大小 方向），若知道其中任意4个量，即求出其余两个量。

（2）矢量证明
e r
a e r r ω=+⨯=+'o v v v v v
（1）当牵连运动为平动0ω=，动系上各点速度相同，故
e ='
o v v
（2）当牵连运动为定轴转动，0='o v ，故e r r ω=⨯v 。

三、运用点的速度合成定理解题的方法步骤 1、分析题意，确定动点，动系和定系。

2、分析三种运动，三种速度。

（1）凡速度大小可以算出的求出其值，凡方向已知的画出其方向。

（2）作速度平行四边形求解未知量，a v 是e r 、v v 为邻边的对角线，利用合矢量投影定理或解三角形求未知量。

例5-1如图所示，车厢以速度 1v 沿水平轨道行驶，雨点垂直下落，现测得雨点对车厢的相对速度的方向与铅垂线成 角，且偏向车厢运动相反的方向，试求雨点相对于地面的速度。

图5-8 雨点的运动分析
（1）运动分析：雨点为动点，动系固连在小车上，如图所示。

动点的绝对运动是铅垂向下的直线运动：动点的相对运动为与铅垂线成 φ 角的直线运动；牵连运动是车厢的平动与车厢牵连点的平动；
（2）速度分析：速度平行四边形表示a v 、r v 、e v 的关系
c tan tan a ϕϕ
=
e
v v =v 1 例5-2：有常接触点： 已知：θ、u 水平向右。

DE 杆沿滑槽上下运动，求DE 杆的速度。

u
x '
'
y D
B
θ
E
θA
v r v e
v a
图5-9 有常接触点的运动分析之一
〈1〉 运动分析：从动杆下端D 为常接触点，取其为动点，动点的绝对运动为铅垂向上的直线运动，相对运动为沿斜面向上的直线运动，牵连运动为尖辟的平动。

v 1
v a
v
v e
ϕ
〈2〉 速度分析：速度平行四边形见图。

〈3〉 求DE 杆的速度：
大小：tan tan a u θθ=e v v =，
方向：铅垂向上，e v 为牵连点的平动速度。

例5-3：有常接触点 已知：OC=e
，=R ， 轮以匀角速度ω0绕轴O 转动，求当OC 与AC 垂直时从动杆AB 的速度。

（1）三选动系与轮固定，随轮绕O 转动，
（2）运动分析：动点的绝对运动是铅垂向上的直线运动动点的相对运动是绕的几何中心C 的圆周运动，牵连运动为绕O 的定轴转动，即牵连点绕O 的圆周运动，
方法一：
（3）速度分析：速度平行四边形，e v 为牵连点绕O 的圆周
运动速度。

0tan 3a ωθω==e v v =
方法一 方法二 图5-10 有常接触点的运动分析之二
方法二：
（1）动系为过C 点的平行坐标系，不与轮固接，相当于过C 点的平行的无限大的平板
（2）运动分析：牵连运动为平板的平动，而动系平动，其上各点的速度是相同的。

=v v e C 即牵连点随板平动。

（3）速度平行四边形
03a ωωθ==v =e e
v cos
讨论：动系不同、v v e r 则不同，但v a 不变。

例5-4： 有常接触点
已知：曲柄OA 以r 、ω，匀速转动。

带动摇杆的转动。

求：当30θ=摇杆的角速度1ω
图5-11 有常接触点的运动分析之三
分析：（1）三选：取曲柄OA 的端点A （即滑块A ）常接触点为动点。

机座上固连定系Oxy 摆杆OB 上固连动系Ox ’y ’。

（2）运动分析：滑块A 的绝对运动是以O 为圆心，r 为半径的圆周运动：动点的相对运动为沿OB 的直线运动；牵连运动为摆杆的定轴转动（绕O 2）即牵连点随动系的转动
（3）速度分析：作速度平行四边形，e v 为动系上的牵连点的速度
2211sin sin sin sin /sin 4
e a r v v O A r r ωθω
θωωθωωθθ=→⋅=→=
==
例5-5 无常接触点
图形凸轮的半径r ，偏心距e ，以及绕O 转动，杆AB 能在滑槽上下平动，杆的下端A 紧贴在凸轮上，试求：AB 杆与凸轮圆心在一直线上时，杆AB 的速度。

图5-12 无常接触点的运动分析之四
（1）三选：两构件上均无常接触点。

可任取凸轮上的接触点或杆AB 上的接触点为动点。

因为AB 杆为平动，各点速度均相同，求出其上任意一点的速度即可。

故取AB 杆的下端接触点M 为动点，动系，定系。

（2）运动分析：M 点的直线运动为绝对运动，M 点相对于动系的运动轨迹是圆，绕C 点的几何中心定轴转动；牵连点的运动即凸轮绕O 点圆周运动为牵连运动。

（3）速度分析：e v 为动系上牵连点O 的圆周运动速度
cos cos cos ()a e e e
v v r r e r r
ϕϕωϕωω=
====向上 练习1：有常接触点
正弦机构的曲柄OA 绕固定轴O 匀速转动，通过滑块带动槽杆BC 作水平往复平动。

已知：r 、ω、φ。

求BC 杆的速度。

图5-13 有常接触点的运动分析之四
（1）三选：常接触点为动点。

（2）动点绕O 的定轴转动为绝对运动，动点相对于槽的直线运动为相对运动；动系牵连点的运动为牵连运动。

（3）作速度平行四边形，A OA ⊥v ，r v 沿导槽向上，e v 沿水平方向e a r ϕωϕ==v v sin sin ，e v 为牵连点缩导槽的平动速度。

练习2： 对下列各图进行运动分析
°
°
图5-14 动点M的运动分析
x
v
图5-15 动点M的运动分析图5-16 平移杆ABC的速度
e
ω
a
v = v= v /l=v sinφ/l
图5-17 求OA杆的角速度图5-18 求OB、OC杆的角速度
小结：三选
点的
运动
绝对
运动
重合
点
的
运动点的
运动相对
运动
动系上与动点重合的点动点
动系
（刚体运动）
牵连运动
牵
连运动定系
作业：P.109 5-6、7
5.4 复合运动中加速度之间的关系
5.4.1 牵连运动为平动时的加速度合成定理
5.4.2牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
一、目的要求：使学生掌握加速度合成定理。

并能较正确应用它解点的加速度合成运动问题。

二、重点：加速度合成定理及其运用。

难点：加速度合成定理的运用与计算；牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。

三、学时：2学时
四、教学准备：幻灯片
五、教学过程
导入新课：
5.4 复合运动中加速度之间的关系
一、牵连运动为平动时的加速度合成定理
1、三种加速度：
绝对加速度
a：动点相对定系的加速度。

a
相对加速度
a：动点相对动系的加速度。

r
牵连加速度
a：牵连点相对定系的加速度。

e
2、牵连运动为平动时点的加速度合成定理：（三种运动的轨迹可能都是曲线）
（1）矢量表达：
牵连运动：动系xAyz 平动，因此，e A e A a ==v v a , 相对运动：,r r x y z x y z =++=++v i j k a i j k
(
a e r
a e r a A A a A r a e r
t t t
x y z t t t
x y z =+→=+
→=+++=+++→++或v v v v v v v v i j v i j k a =a a a =a a d d d d d d d d d
d d d
图5-19 动系平动时的加速度合成定理推导
动点的绝对加速度a a 是相对加速度r a 、牵连加速度e a 的矢量和。

绝对加速度a a 是合矢量，r a 、e a 是a a 的分量。

n n
n
n n n
a e r ττττττ=+=+=+=+−−−−−−−−→+=+++e e e r r r
a a a
a a a a a a a a e e r r a a a a a a a a a a a a ,
（2）投影式：
可以将加速度合成定理的矢量表达式的等号左右部分向某轴投影，可得到合矢量a a 在某轴上的投影等于r a 、e a 在同一轴上的投影的代数和。

在平面问题中，加速度合成定理的矢量表达式中，各矢量有大小和方向两个因素，可向两个互不平行的两个坐标轴投影，得两个代数方程，求解两个未知量。

加速度与速度合成公式一样均为二维矢量方程，每个量均有大小、方向两个因素，只有当方程中未知因素的个数不超过两个时，可以解出需求的未知量。

矢量方程可通过解三角形的办法求
解，或者在一组线性无关的轴上投影得到代数方程组的方法求解。

①三个法向加速度6个要素，三个法向加速度的方向可以确定，大小通过速度分析可以求解出来：
222
n n n a
e
r
v v v ρρρ=
=
、=
、a
e
r a
e
r
a a a
②三个切向加速度6个要素，若知到其中4个因素，余下的2个因素就完全可以求解出来。

3、解题步骤
（1）三选；（2）运动分析 ；（3）速度分析； （4）加速度分析，画加速度矢量图。

加速度矢量图
注意：只能求解两个未知量 例5-6 已知：00R ωα、、
求：曲柄与导杆轴线夹角θ时，杆a 滑块A 为动点 分析：（1）三选：动系与导杆固接，定系与机架固接。

（2）运动分析：绕O 轴的定轴转动为绝对运动，在导槽的直线运动为相对运动，牵连运动为到导杆的水平直线平动。

（3）速度分析：动点有绕O 点匀速圆周运动的角速度0
ω
（4）加速度分析：、a a 只有沿法线分量a n =a a ，方向由A 指向O ；因相对运动是直线运动，r a 沿铅垂直槽；因动参考系为平动，各点轨迹为水平直线，故 e a 是沿水平方向。

共有四个要素已知，可
作出加速度平行四边形如图：由图中三角形关系得：
（a ） (b) 图5-20 牵连运动为平动时的加速度合成实例之一
2
=cos cos n
a e r
n e a a r θωθ
=+==a
a (b) a a a a 2cos sin cos sin n n
a x n a (b)a a a a r r a ττ
θθωθαθ=+=+=-+=--+=-a a e r
a a e e
a a a a a 例5-6：已知：凸轮向右作减速直线运动，r ϕ、、、u a 。

已知：求导杆AB 在图示位置时的加速度.
图5-21 牵连运动为平动时的加速度合成实例之二 分析：（1）三选：动点为导杆AB 上的A 点，动系与凸轮固接，定系与地面固接。

（2）运动分析：A 点随导杆AB 沿铅垂导槽做的上下直线为绝对运动，A 在凸轮上的圆周运动为相对运动，牵连运动为凸轮的水平向右的减速直线运动。

（3）速度分析：A 点随导杆的上下直线速度为绝对速度，A 在凸轮上的圆周运动速度为相对速度，牵连速度即为凸轮的平动速度。

（4）加速度分析：、只有相对加速度才有切向和法向之分，作出加速度矢量如图。

法向加速度可通过2/v r
2
22
23sin cos 0sin cos c tan sin sin 900()900()
n
e v a n n r a e r e r r a e r a a
a a a a a a a u u a a a a r r a a ητϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ=
==+=++−−−
→−−−−→=++→=+→=+
<>↓><↑方向投影
r a a a a a a ,;,
例5-7：平面机构中，曲柄OA=r , 0ω匀速转动，套简A 可沿BC 杆滑动。

已知：BC=l 。

求图示位置时，杆BD 的α和角速度ω。

图5-21 牵连运动为平动时的加速度合成实例之三
分析：（1）三选（2）运动分析（3）速度分析：画速度平行四边形
图5-22 牵连运动为平动时的加
速度合成实例之四
00
e r a e
e e v v v r r v l l ωωωω===⎫→=⎬=⎭
（4）加速度分析：牵连加速度与B 点的加速度相同。

n a e r e e r τ=+++a a a =a a a 其中有两个未知量，但r a 不用求解。

将上式两端向y 轴投影：
2
022
222
00
sin 30cos 30cos 600sin 30cos 30cos 603a n e
e a r n a e e a l a l a a a r r l l l τωτωα
ωωαωα====-+−−−−−→=-→=
,
例6-3 平行四连杆机构的上连杆BC 与一固定铅直杆EF 相接触，在两者接触处套上一小环M ，当BC 杆运动时，小环M 同时在BC 、EF 杆上滑动。

曲柄AB=CD =r ，连杆BC=AD =l ，若曲柄转至图示φ
角位置时的角速度为ω，角加速度为α，试求小环M 的加速度。

解:动点：小环M 动系：固连在连杆BC 上
静系：固连在地面上 动点 绝对运动沿EF 的直线运动，a a 方向沿EF 。

相对运动沿BC 的直线运动，a r 方向沿BC 。

e t
a r α= ,,2e e ωr a AB a n t =⊥
牵连运动是连杆BC 的平移
平行与AB a n e
e e sin cos 0n t
a a a a ϕϕ=-++将加速度合成定理的矢量方程
向y ‘轴投影
ϕωϕεsin cos 2r r a a -=∴方向如图所示。

9-4牵连运动为定轴转动时点的 a 合成定理
一、加速度合成定理：
1、对动系作定轴转动情况，在任一瞬时。

动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。

2n n n
a e r c c e r
τττ=++→+=++++=⨯a a e e r r c
a a a a a a a a a a a a ωv
2、2c e r =⨯a ωv 称为科氏加速度。

22sin c e r e r ωv θ=⨯=a ωv
902e r c e r e r c a ωv θ⊥==ωv ωv a , , , 、、两两垂直（右手螺旋定
则）。

0e
r c a θ==或ωv , 180, 0
3、a e r c =++a a a a 有两个独立的投影方程，可以求解两个未知量。

二、解题方法步骤： 1.三选 2.运动分析 3.速度分析
4.加速度分析
5.求解
例1.某河流在北半球经度
为ϕ处沿经线自南向北以速度r v 流动。

考虑地球自转的影响，求河水的科氏加速度。

分析：（1）三选：ϕ处的河水水滴为动点M 。

动系与地球固连，定系固连于地球的自转轴，动系固连于经线所在的平面。

（该面与赤道平面、经线平面均垂直）
（2）运动分析：水滴既沿经线向北运动——相对运动，而经线又绕z 轴转动——牵连运动。

（3）速度分析：r v 沿经线的切线方向向上，而e ω又为自由矢量，向上沿z 轴。

（4）加速度分析：2c e r =⨯a ωv 大小：22sin c e r e r ωv ϕ=⨯=a ωv
方向：c a 与e r 、ωv 所在的经线平面垂直， 故c ⊥a O‘M ， 沿M 处纬线切线方向。

讨论：c a 向左c
−−−
→原因
a 河流右岸对水流必有向左的力 −−−−−→作用与反作用
水流对右岸必有向右的反作用力−−→右岸受冲刷而
塌陷，河岸向右扩张，从而造成河床向东移动的现象。

例2 已知：1r l ωθ、、、 。

求2α。

图5-23 牵连运动为定轴转动时的加速度合成实例之二分析：（1）三选
（2）运动分析
（3）速度分析：
2e
ωω
=，r v沿摇摆杆向下。

2121
11
22sin30
24
e a
r v r
ωωωω
===→=
v
1
3
cos30
2
r a
v rω
==
v
（4）加速度分析：
22
122
2112
22
22
2
n
a
n n
a a
c e r
a r a a r a r a
ωv
τ
τ
ωαω
ωωωω
==+++
====
=⋅=⨯=
未知
n
a e e r c
e e r
a a a a a a
a
,,,
将合矢量和分矢量向η轴投影：
2
1212
2
121
121
2
cos cos302
3(2)
cos30
24
a c
-a a-a r r
r
r r
τ
θωαωω
ωωω
ωωω
α
=→-=
-
-
→==
e
正负号的含义。

例6-4 图中，偏心圆凸轮的偏心距 e OC =，半径
e r 3= ，设凸轮以匀角速度ωO 绕轴O 转动，试求OC 与CA 垂
直的瞬时，杆AB 的加速度。

解：A 为动点，动坐标
22e 2O
O n e OA a ω=ω⋅=
33162
2r r
O
n
e r v a ω==
系固结在凸轮上 绝对运动：沿AB 方向的直线运动 A a a a =, 方向已
知，沿AB
相对运动：以C 为圆心的圆周运动 垂直于AC 方向
牵连运动：动坐标系以O 为定轴转动 动坐标系为转动 2
003
8,2ωωe v v a r r C =
=根据加速度合成定理
C r e e a a a a a a +++=n n t
将矢量方程向Ox ’轴投影
a e r C
2
222a cos cos 16282393333n n
O O O O e e e e ααωωωω-=+-⎛⎫=--+=-
⎪⎝⎭
a a a a a a a 为负值，说明a a 的方向与图假设的方向相反。

在此瞬时，a a 的实际方向铅直向下。

例6-5 半径为R 的圆盘，绕通过边缘上一点O 1垂直于圆盘平
图5-24 牵连运动为定轴转
动时的加速度合成实例
之三
图5-25 牵连运动为定轴转动时的加速度合成实例之四
面的轴转动。

AB 杆的B 端用固定铰链支座支承，当圆盘转动时AB 杆始终与圆盘外缘相接触。

在图示瞬时，已知圆盘的角速度为ωO ，角加速度为 0α
，尺寸如图示。

求该瞬时AB 杆的角速
度及角加速度。

解：动点：O 点； 动系：与AB 相固接； 定系：与机架相固接。

不选接触点为动点，相对轨迹不明显。

绝对运动：圆心为O 1的圆周运动；
相对运动：动点O 相对于AB 杆作直线运动； 牵连运动：AB 杆作定轴转动。

速度分析 速度合成定理为 a e r =+v v v v a 大小为 0R ω，方向垂直于OO 1；
v r 平行于AB ，其大小未知； v e 的大小未知，方向垂直于OB 。

作速度平行四边形，解得 θ
ωθθ
ωθcos cos tan tan 0
a r 0a e R v v R v v =
===则AB 杆在
图示瞬时的角速度:
加速度分析 牵连运动为定轴转动，则加速度合成定理为
C r e a a a a a ++= C r e e a a
a a a a a a +++=+t n t n 22022200e tan R
l l R R l R
l R l R OB v -=
-===ωωθωω
120 ,O R a n a 方向指ω=
1,0OO R a t a ⊥=方向ε
B ,2方向指向ωOB a n e =
OB a t e ⊥方向大小未知,
AB a r 平行于方向大小未知,
AB v a r C ⊥=方向,2ω
选取Oxy 坐标如图，对y 轴投影
r
2020C e e a a 2cos sin sin cos 0cos sin sin cos v l l R R a a a a a t
n t n ωθαθωθεθωθθθθ-+=---++=--
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+----=
+-⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=---=
200223
222222032
003322
22
020002020r )()
2()tan (cos sin sin 2sin tan sin cos cos tan 2cos 1)sin sin cos 2(cos 1ωαωωθαθθθωθθωθαθωθωθωθθωθαθωωθ
εR l R l R R l l R l R l R l R l R l R R R l R l l R R v l
小结：解题时应注意的问题
1．能够判断是属于复合运动方法求解的问题还是属于平面运动学、定轴转动等方法解决的问题。

运动学大多数问题是机构的运动传递问题。

已知主动件的运动求解从动件的运动。

运动的传递是通过主、从两构件的接触点完成的。

一般有两种接触方式：①两构件在接触点有相对运动；②两构件在接触点处没有相对运
r a C
a n e
a τ
a
a n
a
a τe
a
动。

对于第一种情形，由于两构件的接触点常具有不同的轨迹、速度、加速度，要用复合运动的知识建立关系。

对于第二种情况，利用构件在接触点的轨迹、速度、加速度完全一样，可用前面两章的知识进行求解。

2．成功的使用运动合成与分解的方法是依赖于动点、动系的合理选择。

动点、动系、定系必须选在三个不同的物体上，才可能构成复合运动，且动点的相对轨迹一定要简单，已知。

一般有这样几种类型的动点：①选不变的接触点，如例5.1、5.2、5.3；
②有明显的动点，如例5.4；③选相对轨迹清楚的点，如例5.5。

3．要明确绝对运动、相对运动和牵连运动。

绝对运动、相对运动是点的运动，只能是直线运动或某种曲线运动。

牵连运动是刚体的运动，由动系所固连的物体的运动所决定，它是能是平动、转动、平面运动等形式的刚体运动，所以要据刚体的运动来求出重合点的运动。

4．分析点的速度和加速度时，动点的绝对速度（→a v）、绝对
加速度（
→
a
a）、相对速度)
v(
r
→
、相对加速度)
(
→
r
a，应根据其轨迹情
况按照点的运动学知识进行分析。

当动点的相对轨迹是已知曲线
时，
→
r
a通常写成t
r
n
r
a
a
+，其中，通过速度分析是可求
解的。

5．牵连速度、牵连加速度是本章的难点，要通过刚体运动的知识求出。

运动过程中，动系上每瞬时有不同的点与动点相重合。

e v 、e a
不是动点的速度、加速度，而是与动点相重合的动系上的
点。

因此求e v 、e a
实际上是求与动系固连的刚体上或刚体延拓部分上与动点重合点的速度和加速度。

6．科氏加速度是由于动系方位改变和动点相对运动互相影响而产生的。

当牵连运动为平动时，不产生科氏加速度。

科氏加速
度r e k v a ⨯=ω2，其中e
ω 是指动坐标系的角速度。

在加速度分析时，特别要注意它的大小和方向的正确性。

另外k a
通过速度分析求出的。

作业：5-8、9、10、13。