新北师大版八年级数学下册第一章证明
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-直角三角形的斜边上的中线性质及其在解决问题中的应用。
-实际问题中直角三角形的识别和运用勾股定理解决方法。
举例：讲解直角三角形的判定方法时，可以列举一些常见的直角三角形图形，如等腰直角三角形、含30°或60°角的直角三角形等，强调如何快速识别直角三角形。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解和应用，直角三角形的斜边上的高的计算。
-难点解析：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何关系和代数表达，以及如何在实际问题中灵活运用。
-直角三角形的斜边上的高的计算：学生需要掌握如何利用直角三角形的性质和勾股定理来求解斜边上的高。
-问题解决中的难点：将实际问题抽象为直角三角形问题，以及如何选择合适的数学方法解决问题。
举例：
-勾股定理的应用难点：可以设计一些复杂的实际问题，如测量距离、计算斜边长度等，指导学生如何将问题转化为直角三角形的边长计算。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾，它的形状就是一个直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
在实践活动中，学生们通过测量和计算，亲自验证了勾股定理，这样的教学方式有助于加深学生对定理的理解。但同时，我也注意到操作过程中部分学生存在粗心大意的问题，导致计算结果出现偏差。在以后的教学中，我要加强学生对细节的关注，培养他们的耐心和细致。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明全章教案
- AAS（角-角-边）全等定理
3.节：三角形的角平分线、中线、高线
-三角形角平分线的性质与判定
-三角形中线的性质与判定
-三角形高线的性质与判定
4.节：等腰三角形的性质与判定
-等腰三角形的底角相等
-等腰三角形的底边中线等于底边
-等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理和等腰三角形的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形判定定理的基本原理。
北师大版八年级数学下容
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明全章教案：
1.节：三角形的性质与判定
-三角形的内角和定理
-三角形的两边之和大于第三边
-三角形的两边之差小于第三边
2.节：全等三角形的判定
- SSS（边-边-边）全等定理
- SAS（边-角-边）全等定理
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利。但在成果展示环节，我发现部分学生表达不够清晰，逻辑推理能力有待提高。因此，在接下来的教学过程中，我将注重培养学生的表达能力和逻辑推理能力。
学生小组讨论环节，大家积极参与，气氛活跃。但在讨论过程中，我也发现了一些问题。例如，有些学生在讨论时容易偏离主题，讨论内容与三角形证明的实际应用关联性不强。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论内容紧扣主题。
最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形第1课时PPT课件
∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B′C′2. B 图（1） A′ C
∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A==∠A′=90° (全等三角形的对应角相等).
B′ 图（2） C′
即，△ABC是直角三角形.
定理:
直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方。
定理: 如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三形是直角三角形。
10
.
2.如图所示，在等边三角形ABC中，AD为它 的高线，若它的边长为2，则它的周长 为
1 6
,AD=
3
∶ 2
பைடு நூலகம்
,BD∶AD∶AB=
∶ 3
.
3.已知正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2, 则AC= AB=
2
2 2
；若AC=2,则 ,AC∶AB=
2
∶
1
.
4.如图所示，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B，则 ∠B=
互逆定理
1. 写出下列命题的逆命题，并判断每对 命题的真假：
(1)如果a 2 b 2，那么 a b
(2)矩形是正方形； (3)如果x2﹥0，那么x﹥0; (4)直角都相等.
2. 已知：线段a∶b∶c的值如下，则能够 组成直角三角形的是（ B ） (A)3∶4∶6 (C)1∶2∶4 (B)5∶12∶13 (D)1∶3∶5
直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角
形.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一
半，那么这个三角形是直角三角形.
4.勾股定理的逆定理
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方。 反过来：如果一个三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
新北师大版八年级数学下册知识点总结
新北师大版八年级数学下册知识点总结XXX版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定和性质：判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）对应边相等，对应角相等二、等腰三角形的性质和判定：有两边相等，底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边中线和高线互相重合等边三角形的各角相等，每个角都等于60°判定方法：等角对等边三、直角三角形的性质和判定：两锐角互余直角边平方和等于斜边平方锐角等于30°的直角三角形，直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半判定方法：三边平方和相等四、线段的垂直平分线和角平分线：垂直平分线上的点到两个端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等（外心）角平分线上的点到两边距离相等三角形三条角平分线相交于一点，这个点到三条边的距离相等（内心）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组本章主要介绍一元一次不等式和一元一次不等式组的概念、性质和解法。
一、一元一次不等式的概念和性质：形如ax+b0）的不等式称为一元一次不等式解不等式的基本方法是移项、化简、分段讨论不等式的解集可以用区间表示二、一元一次不等式的解法：通过移项将不等式化为ax）b的形式根据a的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况三、一元一次不等式组的概念和性质：形如ax+by）和dx+ey>f（或<）的不等式组称为一元一次不等式组解不等式组的基本方法是联立、消元、分段讨论不等式组的解集可以用平面区域表示四、一元一次不等式组的解法：通过联立将不等式组化为标准形式根据系数的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况总之，本章内容涵盖了三角形的证明和一元一次不等式及其组的解法，是初中数学中重要的基础知识。
定义：不等式是用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子。
基本性质：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 章节全部知识框架
判定
③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。 （等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线）
垂直 平分 线
判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （可用于证明点在直线上或三线共点的问题） 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等（外心） ①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线 尺规作图
判定
③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合 B、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 （不能直接使用结论证
直角三角形 等边三角形 等腰三角形
性质
③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。
前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边 对等角。可用于证明线段或角相等（等腰三角形）
④“三线合一” ：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。 ⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。 （对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。
全等三角形
一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS
判定
两直角三角形全等的判定定理： HL 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。 ②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。
最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考PPT课件
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明1第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
B
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
A 30° C
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
拓展推论：BC∶AC∶AB ＝
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上
的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°，
CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ 1 AB.
∴ CD＝ 1 AB. 2
D A
B
C
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝ AB ． 4
证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°
∴ BC = AB， ∠B = 60°． 2
∴∠BCD = 30°． ∴ BD = CB .
且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：∵ AB＝BC， ∴△ABC 是等腰三角形， 又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE， ∴∠EDF＝∠FDC＝60°. 又∵ DF∥ BA， ∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°. ∴△ABC 是等边三角形.
1
求证： BC = 2 AB.
A
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
30°
30° 30°
转化
B
C
“线段相等”问题
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
A
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵ AC＝AC，
30°
∴△ABC≌△ADC (SAS).
三角形 的证明
新知一览
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.4等边三角形判定(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等边三角形的定义、性质以及判定方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等边三角形判定方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于等边三角形的判定方法掌握得还算不错。他们在小组讨论和实验操作环节表现出了较高的积极性，能够将理论知识运用到实际中。然而，我也注意到，部分学生在判定方法的灵活运用上还存在一定难度，特别是在处理一些复杂问题时，容易混淆判定条件。
在讲授过程中，我尽量用生动的语言和实例来解释等边三角形的性质，让学生们更容易理解。同时，通过设置不同难度的练习题，让学生逐步掌握判定方法。但在教学过程中，我也意识到，对于一些基础较弱的学生，可能还需要在课后进行个别辅导，帮助他们巩固知识点。
此外，实践活动环节，学生们在分组讨论时，有的小组能够迅速找到解决问题的方法，而有的小组则进展较慢。在今后的教学中，我需要更加关注这些小组，及时给予他们指导和鼓励，提高他们的自信心。
在学生小组讨论环节，我发现学生们对于等边三角形在实际生活中的应用有很多独特的见解，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，有些学生在讨论时过于依赖教材，缺乏自己的思考。因此，在今后的教学中，我要引导学生多关注生活中的几何图形，培养他们的观察能力和创新意识。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.4等边三角形判定（教案）
八年级数学下册第一章三角形的证明全章热门考点整合专训作业pptx课件新版北师大版
③同位角相等，两直线平行.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
六个性质
等腰三角形的性质
4.【2022·梧州】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
是点E，F.则下列结论错
∴AC＝
− ＝
∴点A的坐标为
1
2
3
4
，
5
6
7
−
＝ ，
.
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
含30°角的直角三角形的性质
8.【教材P34复习题T11变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
∴∠CED＝∠CDB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
又∵∠CDB＝∠CDE＋∠EDB，∠CED＝∠B＋∠EDB，
∴∠CDE＝∠B＝45°.
∴∠ADC＋∠EDB＝180°－∠CDE＝135°.
又∵∠ADC＋∠ACD＝180°－∠A＝135°，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新北师大版八年级数学下册第一章证明（二）辅导资料第一节等腰三角形知识回顾：复习证明全等三角形的判定方法等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角，也就是说，在同一个三角形中，；（2）、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合，简称等腰三角形。
等腰三角形有下面的判定方法：（1）、依据三角形定义：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。
（2）、依据定理：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。
简单地说：在同一个三角形中，；3、有边相等的三角形叫做等腰三角形。
有三边相等的三角形叫做三角形，也叫三角形。
4、等边三角形的内角都，且等于；等边三角形是图形5、等边三角形的判定方法：（1）有边相等的三角形叫做等边三角形；（2）有角相等的三角形叫做等边三角形；（3）有个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；（4）有个内角等于600的三角形叫做等边三角形。
典型例题：1、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为。
2、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为。
3、等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 .则腰长为3、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于_________度；如果底角等于36°，那么顶角的度数为_________．4、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形．5、等边三角形的三个内角的度数分别为_______.6、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.7、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.9、如图，，交BC于点D，，那么BC的长为_________.10、如图，在中，D是AC上的一点，且，，则_______， ______， ________.11、如图，已知：在中，，，BD是的角平分线，求的度数.12．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数．13.如图，已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。
求证：AD = BC 。
14．如图，在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ∠BAC = 100°。
求∠1、∠3、∠B 的度数。
15．如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠C = 29°，求∠A 。
能力提升 填空：A B C DE F 321A BCDD CB ADCBADCBAF E 12A B FDEC（1）如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在AC 上，且BD = BC = AD 。
请找出所有的等腰三角形 。
（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 。
（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为 。
（4） 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC 。
求证：∠1 =∠2。
3．如图，A 、B 、F 、D 在同一直线上，AB=DF ， AE=BC ，且AE ∥BC. 求证：⑴△AEF ≌△BCD ， ⑵EF ∥CD.经典证明题：E A B C D EAB C D 1、如图，ABC ∆中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD = CE 。
求证：ABC ∆是等腰三角形。
2、如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。
3、如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE = CE ，延长AE ， 交BC 边于点D 。
求证：AD ⊥BC 。
4、 已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E 。
求证：△ADE 是等边三角形。
EAB CD A5、如图，△ABC 是等边三角形，BD = CE ，∠1 =∠2。
求证：△ADE 是等边三角形。
6、如图，在Rt ABC 中，∠B = 30°，BD = AD ，BD = 12，求DC 的长。
练习： 填空：21EA B C D C B A D 30°A （1）如图1，BC = AC ，若 ，则△ABC 是等边三角形。
（2）如图2，AB = AC ，BC ⊥AD ，BD = 4，若AB = ，则△ABC 是等边三角形。
（3）如图3，在Rt ABC ∆中，∠B = 30°，AC = 6cm ，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。
图1 图2 图3 2、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD 。
3、填空：（1）如图1，AB = AC ，AD 是△ABC 的一条中线，AB = 5，若BD = ， 则△ABC 是等边三角形。
（2）如图2，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，AB ＝14，则AD = 。
图1 图24、已知：ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，︒=∠30A ，AB = 40，求DB 的长。
5、在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求：AB 的长C B AA B C DAB C AB CDD CB AA BC D6、如图，AB=AC ，O 是BC 的中点，OD ⊥AB 于D,OE ⊥AC 于E ， 请用两种方法说明 OD= OE7、如图，已知AD ∥BC ，BD 平分∠ABC.△ABD 是等腰三角形吗？请你说明理由.8、如图，已知等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，（1）求证：△ABD ≌△BCE （2）求∠APE 的度数。
AB CDE O9．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。
修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．第二节 直角三角形知识回顾：1.勾股定理的内容： _________________ 。
2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）①8，15，17 ②4，5，6 ③7，5.4，8.5 ④ 24，25，7 ⑤ 5，8，10 3.把命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等。
”的条件和结论交换位置： 如果____________ ，那么__________ 。
此命题是____命题.知识点1、直角三角形的两个锐角互余。
（性质）2、有两个角互余的三角形是直角三角形。
（判定）3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（性质）4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（判定）5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
练习：1、说出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假:（1）四边形是多边形; （ ）_______________________( ) （2）两直线平行,同旁内角互补; （ ）_______________________( ) （3）如果ab=0,那么a=0,b=0. （ ）_______________________( ) 2、 命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3. 若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM ，则两直角边为 .张村李庄l AB4. 已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.5. 小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米.练习：选择题1．下列命题中，是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形中两锐角互补2．若三角形三边长之比为1∶∶2，则这个三角形中的最大角的度数是（）A．60°B．90°C.120° D．150°3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于（）A．∶1∶2 B．1∶2∶C．1∶∶2 D．2∶1∶4．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等 D．两个直角三角形中的斜边对应相等5．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是．6、如图，BA ⊥DA 于A ，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA ∥DC 。
7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a ，则a =__________。
8、已知：如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =59。
（1）求DC 的长；（2）求AD 的长；（3）求AB 的长；（4） 求证：△ABC 是直角三角形.9、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。
（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。
10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1）等边对等角；2）对顶角相等；3）平行四边形的两组对边相等；4）正方形的四条边都相等；11、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB ＝90°，AC ＝80米，BC ＝60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价 为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？D CBA12915图512、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于 。
13 、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
14、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD ，E 是AB 上的一点。
求证：CE = DE 。
15、填空：.如下图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C =∠F =90°。