2015年中考压轴题二次函数求最短距离

2015年中考数学二次函数求最短距离备考专题训练

知识点：

1.点到直线的距离

直线外一点到直线的距离垂线段最短。 2.直线与直线的距离 两直线间垂线段最短。

3.在直线上找一点与直线同侧两点（不在直线上）的连线距离和最短的求法

首先找同侧两点中任一点关于该直线对称的点，再将同侧另一点与对称点连线，该连线与直线的交点即为所求。

中考真题训练

1．如图，在锐角ABC △中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．

2．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上． (1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的

坐标，并在x 轴上找一

点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q

的坐标；

(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对

应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)

是x 轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若

存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

抛

物线

3．如图，已知直线1

12

y x =

+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，且B 点坐标为 (1，

21

2

y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，

A

B

C

D

N

M

（第1题图）

(第2题)

4 x

2 2

A

8 -2 O

-2

-4 y

6

B

C D

-4

4

0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

4.如图所示，已知点(10)A -，，(30)B ，，(0)C t ，，且0t >，

tan 3BAC ∠=，抛物线经过A 、B 、C 三点，点(2)P m ，是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点． （1）求抛物线的解析式；

（2）对于动点(1)Q n ，，求PQ QB +的最小值；

（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求AMP △的边AP 上的高h 的最大值．

二次函数求最短距离参考答案

1．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．

(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，

求出点Q

的坐标；

(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点

D (-4，0)是x 轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若

存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

解：(1) 将点A (-4，8)的坐标代入

2y ax =，解得12

a =

．

……1分

的坐标为(2，2)，

将点B (2，n )的坐标代入21

2

y x =，求得点B

O

A

C B

x

y

(第1题)

4 x

2 2

A

8 -2 O

-2

-4 y

6 B

C D

-4

4

(第1题(1))

4 x

2 2

A

8 -2 O -2 -4 y

6

B

C D

-4 4

Q P

则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． ……1分 直线AP 的解析式是54

33y x =-+．

……1分 令y =0，得45

x =

．即所求点Q 的坐标是(4

5，0)．

……1分

(2)① 解法1：CQ =︱-2-45︱=14

5

，

……1分

故将抛物线2

12

y x =

向左平移145个单位时，A ′C +CB ′最短，

……2分

此时抛物线的函数解析式为2114

()25y x =+．

……1分

解法2：设将抛物线2

12

y x =

向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．

直线A ′′B ′的解析式为554

333

y x m =+-．

……1分 要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上，

……1分 将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得14

5

m =．

……1分

故将抛物线212y x =向左平移145个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2114

()25y x =+．

……1分

② 左右平移抛物线2

12

y x =

，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使四边形A ′B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短； ……1分

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．……1分

第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．

因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，

要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短． ……1分 点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)， 直线A ′′B ′′的解析式为55

222

y x b =

++．要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入(第1题(2)①)

4 x

2 2 A ′

8 -2 O

-2

-4 y

6

B ′ C

D -4

4

A ′(第1题(2)②)

4 x

2 2 A ′

8 -2 O -2

-4 y

6

B ′

C

D -4

4

A ′

B ′