最新初中数学不等式及其解集讲义

课时1 不等式及其解集讲义

一、课前回顾

等式与方程

1.含有“=”的式子叫做等式；

2. 使等式两边相等的x 的值称为方程的解；

3. 求方程的解的过程叫做解方程.

问题探究

1.一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50千米，要12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？

分析：设车速是x 千米/时

式子①和②从不同角度表示了车速应该满足的条件.

2.思考：下列式子有什么区别？

区别：①只有（4）的式子里含有“=”符号；

②除了（4）的式子里含有“>”或“<”或“≥”或“≤”或“≠”符号；

探究结果：

共同点：

（1）式子里没有“=”号；

（2）式子里含有不是“=”的符号.

二、讲授新课

1.不等式的定义

不等式的定义：用符号“>”或“<”表示大小关系的式子，叫做不等式.

注意：用符号“≥”或“≤”或“≠”等符号表示的式子，也是不等式.

练一练

判断下列式子是不是不等式：

（1）-3>0; （2）4x+3y<0；（3）x=3;

（4）x2+xy+y2；（5）x≠5; （6）x+2>y+5.

解：（1）（2）（5）（6）是不等式；

（3）（4）不是不等式.

例题讲解

例1：判断下列式子是不是不等式：

①-1<3 ②-x+2=4

③3x ≠4y ④ 6 > 2

⑤2x -3 ⑥2m < n

当堂训练

有下列数学表达式：

①-1<0; ②3m-2n>0; ③x=4; ④x≠7; ⑤5x+4=x+5；

⑥x2+xy+y2; ⑦x+2>y+3; ⑧x2>4; ⑨3x-2>4x-3; ⑩3+5<7;

其中是不等式的有（）

2.用不等式表示数量关系

例2、用不等式表示

⑴ a 是正数 ; ⑵ a 是非正数 ; ⑶ a 与5和小于7 ;

⑷ a 与2的差不小于－1; 3.用不等式表示数量关系

例3、用不等式表示下列数量关系：

（1）x 的5倍大于-7；

（2）a 与b 的和的一半小于-1；

（3）长、宽分别为x cm ，y cm 的长方形的面积小于 边长为a cm 的正方形的面积.

例4、已知一支圆珠笔x 元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y 元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x ，y 的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？

尝试练习：用不等式表示 ⑴ a 与1的和是正数;

⑵ y 的2倍与1的和小于3;

⑶ y 的3倍与x 的2倍的和是非负数 ⑷ x 乘以3的积加上2最多为5.

4.不等式的解 回顾知识

对于方程：使等式两边相等的x 的值

称为方程的解不等式的解的定义：

能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.

例5.

不等式的解集与解不等式的定义： 一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集. 求不等式的解集的过程叫解不等式. 想一想：

1.不等式的解和不等式的解集是一样的吗?

2.不等式的解与解不等式一样吗？

不等式的解和不等式的解集

1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值.

2.不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.

例6：直接想出不等式的解集:

⑴ x+2>6 ⑵ 3x>9 ⑶ x －3>0

练一练

下列说法正确的是( )

A. x =3是2x +1>5的解

B. x =3是2x +1>5的唯一解

C. x =3不是2x +1>5的解

D. x =3是2x +1>5的解集

5.解集的表示方法

1.第一种：用式子(如x>2),即用最简形式的不等式.

2.第二种:用数轴,标出数轴上某一区间,其中的点对应的数值都是不等式的解.

用数轴表示不等式的解集

1. 步骤:

①画数轴; ②定边界点; ③定方向. 2. 规律:

①大于向右画,小于向左画； ②有等号(≥ ,≤)画实心点； ③无等号(>,<)画空心圆.

例7.画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.

(1)x ＞-1 ； (2) x ＜1/2

.

变式:

已知x 的取值范围在数轴上表示如图,你能写出x 的取值范围吗?

试一试

用数轴表示下列不等式的解集:

⑴ x>－1; ⑵ x ≥ －1; ⑶ x< －1; ⑷ x ≤ －1.

三、课堂练习：

1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ ● -2＜5 x+3>6 4x-2y≤0 a-2b ●

a+b ≠c 5m+3=8 8+4<7

2：用不等式表示

⑴ a 与1的和是正数;

⑵ y 的2倍与1的和小于3;

⑵ y 的3倍与x 的2倍的和是非负数 ⑷ x 乘以3的积加上2最多为5.

5

213<+x

3.请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示. （1） 2x ＜８ （2）x-2＞0

4.下列说法中错误的是（ ）

A.不等式x<5的解有无数个

B.不等式x<5的正整数解有有限个

C.x=-4是不等式-3x>9的一个解

D.x>5是不等式x+3>6的解集 5. 不等式x ＜5有多少个解？有多少个正整数解？

6. 图中红色部分所表示的是哪些数？你能用不等式表示这个区域吗？

7. 在数轴上表示x ≥－2正确的是 ( )

四、课堂小结

1.不等式：用符号“>”或“<”表示大小关系的式子.

2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值.

3.不等式的解集： 使不等式成立的未知数的取值范围.

4.解不等式： 求不等式的解集的过程.

5.解集表示方式： ①不等式； ②数轴.

五、课后作业

一、填空题

1．用不等式表示：

(1)m －3是正数______； (2)y ＋5是负数______； (3)x 不大于2______； (4)a 是非负数______；

(5)a 的2倍比10大______； (6)y 的一半与6的和是负数______；

(7)x 的3倍与5的和大于x 的

3

1

______； (8)m 的相反数是非正数______．

2．画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集： (1)⋅>2

13x (2)x ≥－4．

(3)⋅≤

5

1x

(4)⋅-<3

12

x

二、选择题

3．下列不等式中，正确的是( )．