利用高频金融数据的已实现波动率估计及其应用

(16)
其中 Ct diag{ln[vech([ p, p]tM )]}1

Box-Cox变换
RV 1 g ( RV , ) ln( RV )
0 0
Gonç alves & Meddahi(2006) 指出最优的Box-Cox变换是β=1。
连续时间模型的波动率理论
t E (dps | F s )
0
t
扩散项 m: 局部鞅向量 (local martingales)。

t
0
Cov(dps | F s ) Cov(dm s | F s )
0
t
↙
IV: 积分方差(Integrated Variance)
பைடு நூலகம்
IV
连续时间模型的波动率理论
■资产价格过程（续）
交易成本(主要是买卖价差) 最小报价单位 买卖价跳跃(Bid-ask bounce) 价格变化限制 信息不对称 … 噪声定义：市场微观结构噪声过程(用 t 表示)为观测价格 与有效价格之差。

市场微观结构及其噪声
■微观结构噪声设定

噪声
t pt pt
ri M p i p i1
t s
s t
“宝钢股份”的高频特征

交易间隔时间特征
“宝钢股份”的高频特征

相邻交易价格的变动特征
阶数 1 2 3
自相关函数 -.47636 0.03113 0.01161
t值 -172.31 11.26 4.20
“宝钢股份”的高频特征

连续两笔交易的价格变动特征
第 i 笔交易 “0”
0
t
(12)
t
V ( p; r1 , r2 )t r1 r2 sr1 r2 ds
0
(13)
其中
[ 1 2 (r 1)] r E | u | 2 ,u 1 ( 2 )
r
r 2
~ N (0,1) 和
r1 r2 0
连续时间模型的波动率理论
■幂变差过程和双幂变差过程（续）
12840 52313 12431 77584
第 i-1 笔交易 “+”
“0” “-” 边际和
“+” 612 12277 13550 26439

带跳的随机波动：
1 1 r V ( p ; r , r ) 1 2 1 r2
t r ds 0 s r1V ( p, r )t [ p, p]t t r r ds s
1 2
r (0, 2) r2 r2
0 t

扩散项 mt 由布朗运动与跳驱动
t Nt 0
mt s dWs i 1Yi
(3)
( Nt )t 0 强度为λ
Yi 独立同分布的随机向量。 的泊松过程，
连续时间模型的波动率理论
■价格波动

二次(协)变差(QV)：
[ p, p]t lim
||||0
( p
j 0
n 1
■一些改进的波动估计量（续）


Edgeworth校正 提高了RV的渐近正态性（Gonç alves & Meddahi(2005)）。 Bootstrapping方法 提高了RV估计的精度。

不同改进间的比较：
(1) 一般情形下, Bootstrapping的RV比Edgeworth校正的RV更 精确; (2) 就估计IV置信区间的覆盖率而言, 这两种RV都比传统 RV(无论是否做对数变换)都好; (3) Bootstrapping会大大加重计算负荷。
k
连续时间模型的波动率理论
■一元情形: 已实现方差

对一元价格过程： dpt t dt t dWs
IVt s2 ds
0 t
[ p, p]t lim ( p i pi1 ) 2
M i 1
M M
Mt
IVt [ p, p]t
[ p, p]

IVb IVa s2 ds
利用高频金融数据的 已实现波动率估计及其应用
韩清 上海社会科学院数量经济研究中心
2011年3月19日广州中山大学岭南学院
引言
■为什么要研究波动率



金融市场中的一个重要和关键指标 期权定价 风险的度量 交易策略的制定也往往围绕着波动率展开
引言
■什么是波动率
(1)实践中 历史波动率，样本方差 未来波动率，ARCH模型 隐含波动率，根据B-S公式及期权价格倒推的波动率 (2)理论上 名义波动率，基本已实现的一条路径 期望波动率，所有可能路径的平均 瞬时波动率，某一时点的波动率，可以认为是名义波动率 或者期望波动率所考虑的时间段长度趋于0时的极限 历史波动率---名义波动率 未来波动率---期望波动率
V ( p; r1 , r2 )t p lim M
M Mt 1 r 1r2 1 2 i 1
| p
i M
pi1 |r1 | pi1 p i |r2
M M M
(11)
连续时间模型的波动率理论
■幂变差过程和双幂变差过程（续）

不带跳的随机波动：
V ( p, r )t r sr ds
引言
■估计波动率的方法
(1)参数化方法

参数化方法针对期望波动率建立模型。不同的模型基于对 价格或者波动率本身的不同假定, 并通过不同的函数形式 将相关变量和参数关联在一起。 条件异方差类(ARCH)模型 在ARCH类模型中(包括GARCH), 期望波动率描述为过 去收益率序列的函数(GARCH中还包含过去的波动率)。
max(r1 , r2 ) 2 max( r1 , r2 ) 2 max(r 1 , r2 ) 2 (15)
(14)
0
X (t )
其中X(t)是某种随机过程。 t 注意 [ p, p]t 0 s2 ds ps2
0 s t
连续时间模型的波动率理论
■幂变差过程和双幂变差过程（续）
■幂变差过程和双幂变差过程

幂变差过程（Barndorff-Nielsen & Shephard(2003)）
V ( p, r )t p lim M
M
r 1 2
r | p p | i i 1 i 1
M M
Mt
(10)

双幂变差过程（Barndorff-Nielsen & Shephard(2004)）
M M
日内收益率 有效日内收益率
收益率噪声 噪声的MA(1)结构 白噪声假定
rt M p i p i 1
M M
eiM ri M riM

eiM i i1
M M

E( t ) 0,
Var ( t ) 2 ,
Var ( t2 ) 2 4
连续时间模型的波动率理论
■资产价格过程（Andersen et al.(2003) )
K个资产的对数价格为半鞅过程(semimartingales):
pt t mt
(1)
其中： 漂移项α：可预测的具有有限变差的向量过程 (predictable processes with finite variation)。

扩散项 mt 由布朗运动驱动：
mt s dWs
0 t
(2)
s ( (s)i, j ), i, j 1, 2, , K ：瞬时波动过程
t t t
IVt
：瞬时协方差矩阵过程 t s ds ：积分协方差矩阵 0
pt | t , t ~ N (t , s ds)

无跳跃时： [m, m]t 0 s ds
t
连续时间模型的波动率理论
■已实现协方差矩阵

动机
pt | t , t ~ N (t , s ds)
0
t

由于无跳时, QV = IV, 我们可以用已实现协方差矩阵去估 计IV。 构造 时间段[0, t]上的已实现协方差矩阵(Realized Variance)：
a b
M [ a ,b ]

M (ba )

i 1
( pa i pa i1 )2
M M
可用来一致地估计 [ p, p]b [ p, p]a ，后者进一步 M [ p , p ] [ a ,b ] ------ 在资产定价, 分配及风险管理中起着 地等于 重要作用的变量。
连续时间模型的波动率理论
(8)
t :
K ( K 1) K ( K 1) 2 2
阶矩阵, 其为
t
lk
ll kl s t { ( kk )ds}k ,k ,l ,l 1, s s s 0
k l M t t kl s
,K
l M t t
(9)

其元素为 M ([ p , p ] 0 ds) 和 M ([ p , p ] 0 ks lds) 间的 渐进协方差。 在无跳跃时, RV是IV的一致估计。 Barndorff-Nielsen & Shephard(2004)给出了t 的估计。

提供了估计IV的另外方法。例如, 无论跳跃存在与否,
2 V ( p;1,1)t 2 ds 总是成立的, 于是我们可以利用 2 1 t
V ( p;1,1) 来估计IV。

2 由于 ps V ( p, 2) V ( p;1,1)，可以将跳跃的二次变差从整 0 s t

快速变化着的市场的需要 充分利用已知信息的需要 信息技术快速发展的结果 更接近于连续时间模型 揭示金融市场的微观结构特征 问题点:含有微观结构噪声

引言
■我们的工作


系统总结了利用高频金融数据的已实现波动率估计理论。 研究市场微观结构噪声的估计问题。总结了目前文献中在 白噪声假设下估计噪声方差的各种方法, 并且放宽了对噪 声的假设, 允许噪声序列间存在相关性, 甚至允许噪声与 价格间也存在相关性(即内生性), 并在此假设下推导出新 的噪声估计量。 用来自中国股票市场的高频交易数据对本文介绍的各种波 动率估计以及噪声方差估计进行了实证研究。实证结果为 我们揭示了一个重要事实: 未降噪的波动率估计低于应用了降噪技术的波动率估 计, 说明未降噪的波动率估计低估了风险。这表明降噪技 术对于风险管理具有很重要的现实意义。


随机波动(SV)模型 在随机波动模型中, 期望收益率依赖于一些潜在的状态 变量或参数。
引言
■估计波动率的方法(续)
(2)非参数方法 非参数波动模型通常针对名义波动率。

模型本身并不对资产价格过程作出具体形式的假设。 本文讨论的高频数据的已实现波动率估计属于非参数模型。
引言
■为什么要使用高频数据
市场微观结构及其噪声
■市场微观结构

市场类型 ◦竟价市场 集合竟价 连续竟价 ◦交易商市场
交易规则 ◦价格优先, 时间优先 ◦根据量的调整

交易指令 ◦市场指令 ◦限价指令 交易成本 ◦佣金 ◦买卖价差 指令处理成本 存货成本 逆向选择成本


市场微观结构及其噪声
■市场摩擦

M
0
个价格的二次变差中分离出来。

可以估计更高次幂(>2)的积分波动率。 应用这些结论的一个限制是要求(α,σ) 和W独立 。
连续时间模型的波动率理论
■一些改进的波动估计量

对数变换
L M {ln[vech([ p, p] )] ln[ vech(s )ds]}| ( , ) N (0, Ct t Ct ) M t 0 t
t j 1
pt j )( pt j1 pt j )
(4)

对于半鞅过程而言, 漂移对于QV没有贡献，
[ p, p]t [m, m]t (5)
s s

扩散项的QV,
[ p, p]t s ds
0
t
0 s t
m m
(6)
其中 ms ms ms 无论α,σ和跳跃间的关系如何, 只要价 格过程是个半鞅, 这一结论就成立。
[ p, p] ( p i pi1 )( p i pi1 )
M t i 1
M M M M
Mt
(7)
t
由于公式(４)，
M
lim[ p, p] [ p, p]t s ds
M t 0
连续时间模型的波动率理论
■已实现协方差矩阵与积分协方差矩阵的联系
L M {vech([ p, p] ) vech( S )ds}| ( , ) N (0, t ) M t 0 t