工程力学12-弯曲变形解析

工程力学
工程背景 （一）建筑结构
金茂大厦
荣获2001年 “ 美国建筑师学 会
室内建筑奖 ”
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
上海南浦大桥
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
桥面结构
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
澳门桥
工程力学
工程与工程力学
高层建筑与大型桥梁
工程力学
主讲教师：门玉涛
弯曲变形
问题
1、近似挠曲线微分方程表达？如 何求解？ 2、挠度是否发生在弯矩最大的位 置？ 3、刚度条件？ 4、静定基，变形比较法。
工程背景 （一）建筑结构
浦 东 开 发 区
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
浦 江 两 岸
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
金茂大厦
楼高 420.5m 共 88 层
挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 wB 。
F
A x
EIz l
B
wB
qB
工程力学
y
A x
F
（1）按照图示坐标系建立弯矩方程
请同学们自己做一下（时间:1分钟）
x
M (x) F(x l)
B
wB
EIz
qB （2）挠曲线近似微分方程
EIw M (x) F(x l)
l
（3）积分
EIq
EIw
EIw" M (x)
3．挠曲线近似微分方程：
M 0,
EIw" M (x)
B1 w Bx
M 0, w'' 0
工程力学
应用条件： 1.小变形 2.最大应力不超过材料的比例极限，即 满足虎克定律 3.W向上为正
工程力学
§12-3 计算梁位移的积分法
EIz为常数，挠曲线近似微分方程为
EI z
d 2w dx2
x
工程力学
连续条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为 n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边 界条件或连续条件将其确定。
F
w |x1a w |x20
A
B
q |x1a q |x20
截面形心位移 竖向位移 y=w=f(x)
弯曲变形
水平位移 略去
截面转角
q q tgq dw f (x)
dx
工程力学
§12-2 挠曲线近似微分方程
1.挠曲线近似微分方程的推导
1 M (x)
k(x)
(x) EIz
(12 1)
高等数学：对曲线 v=f(x) 其曲率为
k(x) 1
|
d 2w dx2
|
(x) [1 ( dw)2 ]32
dx
工程力学
§12-2 挠曲线近似微分方程
1．力学关系：
1 (x
)
M(x EI
)
v
q
2．数学关系：
1
|
d 2w dx2
|
(x)
[1
(
dw
)2
3
]
2
q A
x
dx
小变形，挠曲线很平坦。
dv 1 与1相比可略去
dx
1 d2w w"
(x) dx2
在图示坐标下： w'' 0,
l
a
b
x1 x2
工程力学
中间铰 支座A
中间铰A
f A 0
q A左q A右0
f A左 f A右
q A左q A右
工程力学
绘制挠曲线的方法： 1.绘制M图 2.由M图的正负、零点或零值区，确定 挠曲线的凹凸或拐点或直线区， 3.由位移边界条件确定挠曲线的位置。
工程力学
例4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
工程力学
所以，工程实际中的构件除了满足强度条件之 外，往往还要满足变形方面的要求，也就是要 满足刚度条件。
当然，什么事情都是一分为二的，有些场合 ，我们还要利用弯曲变形达到一定的目的， 例如，各种车辆中的叠板弹簧，就要求其在 外力的作用下产生足够的变形，来缓和车辆 所受到的冲击和振动。
另外，在研究超静定梁时，我们也必须考虑 梁在外力作用下的变形。
F(x
l)dx
C
1 2
F(x
l)2
C
EIw 1 F(x l)2 dx Cx D 1 F(x l)3 Cx D
2
6
工程力学
EIq EIw F(x l)dx C 1 F(x l)2 C
EIw
1
F
(x
l)2
dx
Cx
D
2
1
F
(x
l)3
Cx
D
y
2
F
正负：逆时针转动为正，反之为负；
2)挠度：梁横截面形心的竖向位移，符号：w， 正负：向上为正，反之为负。
3)挠曲线方程：挠度随轴线变化的关系 —— w f (；x)
4)转角方程：转角与挠度的关系：
q tanq dw w'(x)
dx
工程力学
略去剪力的影响，则平面假设成立，弯曲 变形是因各个横截面绕各自的中性轴转动一个 角度，而中性轴本身也要发生位移。
工程力学
工程背景 （三）航天航空
我国的 长征火箭家族
工程力学
工程背景 （三）航天航空
太阳能电池帆板
工程力学
梁在载荷作用下，要有足够的强度，它必须满 足强度条件，但是，是否梁满足了强度条件之 后，它就能够正常地工作呢？
往往并非如此。
桥式起重机的大梁
工程力学
齿轮传动轴
工程力学
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
C、D为积分常数，可由梁上某些点的位移
的已知条件来确定。
工程力学
边界条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在约束处的转角或挠度可以确定
F
A
B
x 0 w |x0 0 q |x0 0
l x
F
x 0 w |x0 0 q |x0 0
A
B
l
x l w |xl 0 q |xl 0
工程力学
§12-1 引言
弯曲变形的描述 梁 对称面 梁轴线变形
变形特点：变形前为直线的梁轴线，变 形后为曲线。这根曲线称为挠 曲线。
工源自文库力学
一、挠度及转角的概念 v
1．梁的挠曲线
轴线变形后形成的光
滑连续曲线
A
q
B1
qw Bx
2．梁变形的度量
x
1)转角：梁横截面绕中性轴转动的角度，符号：q ，
M x
EIz
d dx
( dw) dx
M x
EIz
d
(
dw dx
)
M
x
dx
工程力学
EIz
d
(
dw dx
)
M
x
dx
EI z
dw dx
M
x dx
C
EIzdw ( M x dx C)dx
EIzw [ M x dx]dx Cx D
EIw' M (x)dx C EIq
——转角方程
EIw ( M (x)dx)dx Cx D ——挠曲线方程