排列组合典型例题
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排列应用题
7位同学站成一排： (1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？ (2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多 少种？
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排 列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．
(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有： 先将其余四个同学排好有 A44种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A35种方法，所以一共有 A44A35＝1 440 种． (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有： 7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 故共有 A77－A55A33＝4 320 种不同的排法．
方法二：个元素．
若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头 和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960 种方法．
方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的四个位置选择共有 A14种方法．
(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之 外的 4 人，共有 A44种排法，产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 个元素)与丙排入有 A25种，再将甲、乙全排，有 A22，∴共有 A22A44A25＝960 种．
(11)(消序法)共有A277种． 【答案】 (1)A77 (2)A66 (3)A25A55 (4)3 720 (5)1 440 (6)960 (7)3 600 (8)1 440 (9)4 320 (10)960 (11)12A77
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
【解析】 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77种不同的排 法；
(2)其中甲站在中间的位置，共有 A66种不同的排法； (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55种；
(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一：甲站排尾；共有 A66种不同的排法； 甲不站排尾，共有 A15A15A55种不同的排法； 故共有 A66＋A15A15A55＝3 720 种不同的排法； 方法二：7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲排头，共有 A66种不同的排法； 乙排尾，共有 A66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A55种不同的排法； 故共有 A77－2A66＋A55＝3 720 种不同的排法．
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
题型三 组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、 乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的排法 一共有 A66A22＝1 440 种．
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有：
方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的 排法一共有 A25A44A22＝960 种方法．
【解析】 (1)从余下的 34 件商品中，选取 2 件有 C234＝ 561 种，
∴某一件假货必须在内的不同取法有 561 种． (2)从 34 件可选商品中，选取 3 件，有 C334种或者 C335－ C234＝C334＝5 984 种． ∴某一件假货不能在内的不同取法有 5 984 种．
(3)从 20 件真货中选取 1 件，从 15 件假货中选取 2 件有 C120C215＝2 100 种．
【讲评】 组合问题常有以下两类题型：
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种． (4)选取 2 件假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共 有选取方式 C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555 种． ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (5)选取 3 件的总数有 C335种，因此共有选取方式 C335－C315＝6 545－455＝6 090 种． ∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种．
7位同学站成一排： (1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？ (2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多 少种？
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排 列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．
(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有： 先将其余四个同学排好有 A44种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A35种方法，所以一共有 A44A35＝1 440 种． (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有： 7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 故共有 A77－A55A33＝4 320 种不同的排法．
方法二：个元素．
若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头 和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960 种方法．
方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的四个位置选择共有 A14种方法．
(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之 外的 4 人，共有 A44种排法，产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 个元素)与丙排入有 A25种，再将甲、乙全排，有 A22，∴共有 A22A44A25＝960 种．
(11)(消序法)共有A277种． 【答案】 (1)A77 (2)A66 (3)A25A55 (4)3 720 (5)1 440 (6)960 (7)3 600 (8)1 440 (9)4 320 (10)960 (11)12A77
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
【解析】 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77种不同的排 法；
(2)其中甲站在中间的位置，共有 A66种不同的排法； (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55种；
(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一：甲站排尾；共有 A66种不同的排法； 甲不站排尾，共有 A15A15A55种不同的排法； 故共有 A66＋A15A15A55＝3 720 种不同的排法； 方法二：7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲排头，共有 A66种不同的排法； 乙排尾，共有 A66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A55种不同的排法； 故共有 A77－2A66＋A55＝3 720 种不同的排法．
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
题型三 组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、 乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的排法 一共有 A66A22＝1 440 种．
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有：
方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的 排法一共有 A25A44A22＝960 种方法．
【解析】 (1)从余下的 34 件商品中，选取 2 件有 C234＝ 561 种，
∴某一件假货必须在内的不同取法有 561 种． (2)从 34 件可选商品中，选取 3 件，有 C334种或者 C335－ C234＝C334＝5 984 种． ∴某一件假货不能在内的不同取法有 5 984 种．
(3)从 20 件真货中选取 1 件，从 15 件假货中选取 2 件有 C120C215＝2 100 种．
【讲评】 组合问题常有以下两类题型：
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种． (4)选取 2 件假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共 有选取方式 C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555 种． ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (5)选取 3 件的总数有 C335种，因此共有选取方式 C335－C315＝6 545－455＝6 090 种． ∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种．