图论第五章答案
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解：由题：边 q 30, 面r 30, 故由欧拉公式得：点 p q r 2 12.
10 . 假定一个连通的平面性 二部图有 v个顶点和 e条边.证明：若 v 3，则 e 2v 4.
证：由“连通平面二部 图”知：该图每个面的 边数至少为4.(推论5.7的相关讲解注 释). 1 则由面的度数关系得： 4r 2e,即r e.又由欧拉公式知： v e r 2, 则e v r 2 2 1 v e 2,即e 2v 4. 2
2, n为偶数; 20. 对于圈图Cn (n 3)，证明： ' (Cn ) { 3, n为奇数. 证：此题是讲义第五章 P1 例5.1(3.)的变式. 对圈图Cn (n 3)的边着色 对圈图Cn (n 3)的顶点着色 .
21 . 证明：每一简单、 3 正则、 Hamilton图，都有 ’ 3.
11 . 平面上有 n个点，其中任两个点之 间的距离至少是 1.证明：在这 n个点中，距 离恰好为1的点对数至多是 3n 6.
证：此题同讲义第五章 P10 例5.4. 首先建立图G (V , E ), 其中V就取平面上给定的 n个点(位置也不变)，两点间距离 为1时，该两顶点之间用一 条直线段连接.只要证明G是平面图即可 . 由平面图定义(如图G能示画在曲面S上且使G的边仅在端点处相交 )，可反设在G 中存在相交的两条边 . 不妨设不同的边 uv和xy相交于非端点处 o，其夹角为 (0 ). 若 (或0)，则如图(a.)所示，存在两点 (点u和x, 或点y和v)距离小于 1，矛盾. 若0 , 则如图(b.)所示，由边uv和xy的距离均为 1可知，在u, v, x, y中至少有两 1 1 1 点使从交点o到这两点的距离不超过 .不妨设这两点为u和x，则 ou , ox . 2 2 2 1 1 此时，在uox中， ux ou ox 1.因而，点u与x之间的距离小于 1，矛盾. 2 2 因此G为平面图. 从而由推论5.6知，图G的边不会超过3n 6. 故在这n个点中，距离恰好为 1的点对数至多是 3n 6.
8. 假定一个连通平面有 6个顶点，每个顶点的度 均为 4，问这个平面图有多少 个面？
解：由题：顶点 p 6, 边q
1 1 d (u ) 4 6 12, 2 uV (G ) 2
故由欧拉公式：Biblioteka r p q 2 8. 9. 假定一个连通平面图有 30条边和20个平面，问这个平面图 有多少个顶点？
15. 极大平面图G一定是连通图 .
反证法：若G是极大平面图，但 G不是连通图 . 设G中存在连通分支 G1和G2， 先将G1，G2 平面化；再选取 u G1 , v G2 , 连接uv, 并且在u和v选取时即考虑到 uv不 与G1，G2中任一边相交 . 则对G1和G2 而言：添入uv后G仍可平面化，与 G为极大平面图矛盾 .
7. 设G是带有 p个点， q条边和 r个面的简单平面图，则 p q 1 1 .其中， 为连通分支数 .
证：归纳法，当 1时，由欧拉公式知： p q r 1 1 1 2成立. 假设当 k时有p q r 1 k , 则当 k 1时，设相应的连通分支 为G1 , G2 ,, Gk , Gk 1 . 由归纳假设有G Gk 1的点p1 , 边q1 , 面r1的关系：p1 q1 r1 1 k . 对Gk 1的点p2 , 边q2 , 面r2的关系, 有欧拉公式：p2 q2 r2 2. 则对图G有：p p1 p2 , q q1 q2 , r r1 r2 （减去“ 1 1”是因为在图合在一起 的 过程将外平面重复计算 一次） p q r 2 k 1 (k 1)也满足假设. 综上所述：p q r 1 .
3. 设e为简单图 G的任一边，则 (G e) min{ (G), (G e)}.
证：思路同讲义第五章 P 2 定理5.3. 首先一个图G可以被着色的前提是 (G ) k . 设e uv, (G e) k , 并考虑G e的k着色. (1.)[a.]假如顶点u , v染不同颜色，则G e的一个k着色也是G的k着色，则 (G e) k (G ). [b.]假如顶点u , v染相同颜色，则G e的一个k着色可得到G e的一个k着色，则
(G e) k (G e). (G e) min{ (G ), (G e)}. (2.)[a.]因G e是G的子图，故由 (G e) (G ). [b.]设 (G e) k1 , 并将顶点u和v重合得的新顶点记为 w, 则在G e的k1着色中，把分
设G中存在由一组偶圈组成 的生成子图H , 从个偶圈中间隔取边， 则所得 边子集为G的一个完美匹配 E1 , 且H中余下的边子集也是 G的一个完美匹配 E2 . 又由H中每个点的度均为 2可知：G中所有不属于H的边也构成G的一个完美 匹配E3 .
‘ 由E1 , E 2 , E3互不相交可知： C ( E1 , E 2 , E3 )为G的3 边着色，则 (G ) 3.
22. 设G为3 正则图，则 ’ 3的充分必要条件是 G中存在由一组偶圈组成 的生 成子图.
证：注意此题与 21题的相关性思路和结论 . 易见每个色类Ei 都是G的一个完美匹配，则 H GE1 E 2 是G的一个生成子图 . 由H的每个点的度均为 2可知：H是一些不相交的圈的并 .
此时G共有11条边仅，与G含15条边矛盾. 综合(1.)(2.)知：n j 3(i 1,2,, k ), mi 3(ni 2) 3ni 6(i 1,2,, k ) 求和得： 3 6k , 将 7, 15带入可得： 15 21 6k , 则k 1, 与k 2矛盾. G为连通图.
13 . 设简单平面图 G中顶点数 v 7, 边数 15 .证明G是连通图.
反证法：设G为非连通图，且具有 k个连通分支G1 , G2 ,, Gk . 设Gi的顶点数为ni , 边数为mi (i 1,2, , k ). (1.)若存在n j 1, 则k必为2.因此时G1为孤立点，而其余 6个点最多可连成 C62 15条边 的K 6图，即此时只有按 G1 , K 6 这种分划才有 15条边.而K 6 不是平面图(由讲义第五章P9 推论5.1的平面图的必要条件: 设G是有p个点，q条边的连通平面简单图 ，其中p 3, 则q 3 p 6.而C62 15 3 6 6 12), 这与G是平面图矛盾，故不存 在n j 1. (2.)若存在n j 2，则G j 至多含一条边，另外 5个顶点构成K 5时边数最多为C52 10条，
12. 设连通图G是面数r小于12的简单平面图，且 G中每个顶点的度至少为 3.
证：一方面，由欧拉公 式：v(点) e(边) r (面) 2， 由已知得：r 12且2e
uV ( G )
d (u ) 3v v 3 e,
2
2 带入欧拉公式得： 2 e e 12, 则e 12. 3 另一方面，反设：所有 面均至少由 5条边围成，则面的度数 和不小于5r , 而实际面 的度数为2e(讲义第五章P9 定理5.8：对任何平面图 G, 面的度数知何为边数的 2倍). 2 2 2 故5r 2e, 则r e, 代入欧拉公式： 2 e e e, 则得e 30. 5 3 5 显然矛盾，故G中必存在至多由 4条边围成的面 .
配给w的颜色分配给G e中的u , v(显然u和v在G e中不相邻，可染相同的 颜色)，即 得到G e的一个k1着色.于是， (G e) k1 (G e). (G e) min{ (G ), (G e)}.
故综合 (1.)( 2.)可知： (G e) min{ (G), (G e)}.
证：由于每个顶点的度 数均为3，即为奇数，则V (G )必为偶数. 故可由G的H 圈C间隔取边，可得G的两个无公共边的完美 匹配M 1和M 2 . 又H 圈C经过每个顶点且仅经过 一次，故每个顶点的度 数被H 圈C占了两个度. G E (C )中每个顶点的度数均为 1. 则G E (C )的边集合是G的另一个完美匹配 M 3 , 它与M 1和M 2 一起构成一个边着色， 故 (G ' ) 3.
图的着色(除第4， 5， 6， 16， 19， 25， 26题不作要求; 第1题排课表问题，第 14题库拉图斯基定理， 第18题K 5 , K 3,3等的非平面性)
2. 试证： (G ) (G ) 1，其中 表示图 G的顶点数 .
证：题目中 G是G的补图，而非G的平面表示.(即G与G具有共同的顶点集合， 边集合关 于K n 假设G是n阶的 互补) 下面对进行归纳法进行证明： 当 1时， (G ) 1， (G ) 1.则 (G ) (G ) 2 1. 当 2时(a.)u与v不相邻时， (G ) 1.则 (G ) 2.(b.)u与v相邻时， (G ) 2.则 (G ) 1. 以上均有 (G ) (G ) 3 1，满足题设. 假设 (G ) (G ) 1对 ( 3)的任意简单图均成立 . 则(a.)当 (G ) (G ) 1时, 有(G ) ( 1) (G ) [ (G ) 1] (G ) (G ) (G ) 1 (G ) 1,即 (G ) (G ) 1. (b.)当 (G ) (G ) 1时, 取G的最小度点u，则有d G (u ) (G ) (G ) 2. 可知：G中存G与u不相邻的点w，使u与w可染同色.(如若不然， (G ) (G ) 1，即G 中u与任一点均可相邻 ) 则去掉u后得图G1与G有相同的色数，即对 G1 G u有 (G1 ) (G )且 (G1 ) 1. 由归纳假设： (G1 ) (G1 ) (G1 ) 1 1 1 . 而由G1 G u知： (G ) (G1 ) 1(在图G1中添加一点u得图G，色数至多可增 "1" ) (G ) (G ) (G1 ) (G1 ) 1 1.
17 . 如果G是v(v 3)个顶点条边的极大平面 图，则 3v 6.
证：此题即对讲义第五 章P13 定理5.12的串证. 设面数为 r , 则由 G为极大平面图知： G的任一面 f有d ( f ) 3, 则2 d ( f ) 3 3r，
f f
又由欧拉公式 v r 2得： 2 3(2 v), 则 3v 6.
10 . 假定一个连通的平面性 二部图有 v个顶点和 e条边.证明：若 v 3，则 e 2v 4.
证：由“连通平面二部 图”知：该图每个面的 边数至少为4.(推论5.7的相关讲解注 释). 1 则由面的度数关系得： 4r 2e,即r e.又由欧拉公式知： v e r 2, 则e v r 2 2 1 v e 2,即e 2v 4. 2
2, n为偶数; 20. 对于圈图Cn (n 3)，证明： ' (Cn ) { 3, n为奇数. 证：此题是讲义第五章 P1 例5.1(3.)的变式. 对圈图Cn (n 3)的边着色 对圈图Cn (n 3)的顶点着色 .
21 . 证明：每一简单、 3 正则、 Hamilton图，都有 ’ 3.
11 . 平面上有 n个点，其中任两个点之 间的距离至少是 1.证明：在这 n个点中，距 离恰好为1的点对数至多是 3n 6.
证：此题同讲义第五章 P10 例5.4. 首先建立图G (V , E ), 其中V就取平面上给定的 n个点(位置也不变)，两点间距离 为1时，该两顶点之间用一 条直线段连接.只要证明G是平面图即可 . 由平面图定义(如图G能示画在曲面S上且使G的边仅在端点处相交 )，可反设在G 中存在相交的两条边 . 不妨设不同的边 uv和xy相交于非端点处 o，其夹角为 (0 ). 若 (或0)，则如图(a.)所示，存在两点 (点u和x, 或点y和v)距离小于 1，矛盾. 若0 , 则如图(b.)所示，由边uv和xy的距离均为 1可知，在u, v, x, y中至少有两 1 1 1 点使从交点o到这两点的距离不超过 .不妨设这两点为u和x，则 ou , ox . 2 2 2 1 1 此时，在uox中， ux ou ox 1.因而，点u与x之间的距离小于 1，矛盾. 2 2 因此G为平面图. 从而由推论5.6知，图G的边不会超过3n 6. 故在这n个点中，距离恰好为 1的点对数至多是 3n 6.
8. 假定一个连通平面有 6个顶点，每个顶点的度 均为 4，问这个平面图有多少 个面？
解：由题：顶点 p 6, 边q
1 1 d (u ) 4 6 12, 2 uV (G ) 2
故由欧拉公式：Biblioteka r p q 2 8. 9. 假定一个连通平面图有 30条边和20个平面，问这个平面图 有多少个顶点？
15. 极大平面图G一定是连通图 .
反证法：若G是极大平面图，但 G不是连通图 . 设G中存在连通分支 G1和G2， 先将G1，G2 平面化；再选取 u G1 , v G2 , 连接uv, 并且在u和v选取时即考虑到 uv不 与G1，G2中任一边相交 . 则对G1和G2 而言：添入uv后G仍可平面化，与 G为极大平面图矛盾 .
7. 设G是带有 p个点， q条边和 r个面的简单平面图，则 p q 1 1 .其中， 为连通分支数 .
证：归纳法，当 1时，由欧拉公式知： p q r 1 1 1 2成立. 假设当 k时有p q r 1 k , 则当 k 1时，设相应的连通分支 为G1 , G2 ,, Gk , Gk 1 . 由归纳假设有G Gk 1的点p1 , 边q1 , 面r1的关系：p1 q1 r1 1 k . 对Gk 1的点p2 , 边q2 , 面r2的关系, 有欧拉公式：p2 q2 r2 2. 则对图G有：p p1 p2 , q q1 q2 , r r1 r2 （减去“ 1 1”是因为在图合在一起 的 过程将外平面重复计算 一次） p q r 2 k 1 (k 1)也满足假设. 综上所述：p q r 1 .
3. 设e为简单图 G的任一边，则 (G e) min{ (G), (G e)}.
证：思路同讲义第五章 P 2 定理5.3. 首先一个图G可以被着色的前提是 (G ) k . 设e uv, (G e) k , 并考虑G e的k着色. (1.)[a.]假如顶点u , v染不同颜色，则G e的一个k着色也是G的k着色，则 (G e) k (G ). [b.]假如顶点u , v染相同颜色，则G e的一个k着色可得到G e的一个k着色，则
(G e) k (G e). (G e) min{ (G ), (G e)}. (2.)[a.]因G e是G的子图，故由 (G e) (G ). [b.]设 (G e) k1 , 并将顶点u和v重合得的新顶点记为 w, 则在G e的k1着色中，把分
设G中存在由一组偶圈组成 的生成子图H , 从个偶圈中间隔取边， 则所得 边子集为G的一个完美匹配 E1 , 且H中余下的边子集也是 G的一个完美匹配 E2 . 又由H中每个点的度均为 2可知：G中所有不属于H的边也构成G的一个完美 匹配E3 .
‘ 由E1 , E 2 , E3互不相交可知： C ( E1 , E 2 , E3 )为G的3 边着色，则 (G ) 3.
22. 设G为3 正则图，则 ’ 3的充分必要条件是 G中存在由一组偶圈组成 的生 成子图.
证：注意此题与 21题的相关性思路和结论 . 易见每个色类Ei 都是G的一个完美匹配，则 H GE1 E 2 是G的一个生成子图 . 由H的每个点的度均为 2可知：H是一些不相交的圈的并 .
此时G共有11条边仅，与G含15条边矛盾. 综合(1.)(2.)知：n j 3(i 1,2,, k ), mi 3(ni 2) 3ni 6(i 1,2,, k ) 求和得： 3 6k , 将 7, 15带入可得： 15 21 6k , 则k 1, 与k 2矛盾. G为连通图.
13 . 设简单平面图 G中顶点数 v 7, 边数 15 .证明G是连通图.
反证法：设G为非连通图，且具有 k个连通分支G1 , G2 ,, Gk . 设Gi的顶点数为ni , 边数为mi (i 1,2, , k ). (1.)若存在n j 1, 则k必为2.因此时G1为孤立点，而其余 6个点最多可连成 C62 15条边 的K 6图，即此时只有按 G1 , K 6 这种分划才有 15条边.而K 6 不是平面图(由讲义第五章P9 推论5.1的平面图的必要条件: 设G是有p个点，q条边的连通平面简单图 ，其中p 3, 则q 3 p 6.而C62 15 3 6 6 12), 这与G是平面图矛盾，故不存 在n j 1. (2.)若存在n j 2，则G j 至多含一条边，另外 5个顶点构成K 5时边数最多为C52 10条，
12. 设连通图G是面数r小于12的简单平面图，且 G中每个顶点的度至少为 3.
证：一方面，由欧拉公 式：v(点) e(边) r (面) 2， 由已知得：r 12且2e
uV ( G )
d (u ) 3v v 3 e,
2
2 带入欧拉公式得： 2 e e 12, 则e 12. 3 另一方面，反设：所有 面均至少由 5条边围成，则面的度数 和不小于5r , 而实际面 的度数为2e(讲义第五章P9 定理5.8：对任何平面图 G, 面的度数知何为边数的 2倍). 2 2 2 故5r 2e, 则r e, 代入欧拉公式： 2 e e e, 则得e 30. 5 3 5 显然矛盾，故G中必存在至多由 4条边围成的面 .
配给w的颜色分配给G e中的u , v(显然u和v在G e中不相邻，可染相同的 颜色)，即 得到G e的一个k1着色.于是， (G e) k1 (G e). (G e) min{ (G ), (G e)}.
故综合 (1.)( 2.)可知： (G e) min{ (G), (G e)}.
证：由于每个顶点的度 数均为3，即为奇数，则V (G )必为偶数. 故可由G的H 圈C间隔取边，可得G的两个无公共边的完美 匹配M 1和M 2 . 又H 圈C经过每个顶点且仅经过 一次，故每个顶点的度 数被H 圈C占了两个度. G E (C )中每个顶点的度数均为 1. 则G E (C )的边集合是G的另一个完美匹配 M 3 , 它与M 1和M 2 一起构成一个边着色， 故 (G ' ) 3.
图的着色(除第4， 5， 6， 16， 19， 25， 26题不作要求; 第1题排课表问题，第 14题库拉图斯基定理， 第18题K 5 , K 3,3等的非平面性)
2. 试证： (G ) (G ) 1，其中 表示图 G的顶点数 .
证：题目中 G是G的补图，而非G的平面表示.(即G与G具有共同的顶点集合， 边集合关 于K n 假设G是n阶的 互补) 下面对进行归纳法进行证明： 当 1时， (G ) 1， (G ) 1.则 (G ) (G ) 2 1. 当 2时(a.)u与v不相邻时， (G ) 1.则 (G ) 2.(b.)u与v相邻时， (G ) 2.则 (G ) 1. 以上均有 (G ) (G ) 3 1，满足题设. 假设 (G ) (G ) 1对 ( 3)的任意简单图均成立 . 则(a.)当 (G ) (G ) 1时, 有(G ) ( 1) (G ) [ (G ) 1] (G ) (G ) (G ) 1 (G ) 1,即 (G ) (G ) 1. (b.)当 (G ) (G ) 1时, 取G的最小度点u，则有d G (u ) (G ) (G ) 2. 可知：G中存G与u不相邻的点w，使u与w可染同色.(如若不然， (G ) (G ) 1，即G 中u与任一点均可相邻 ) 则去掉u后得图G1与G有相同的色数，即对 G1 G u有 (G1 ) (G )且 (G1 ) 1. 由归纳假设： (G1 ) (G1 ) (G1 ) 1 1 1 . 而由G1 G u知： (G ) (G1 ) 1(在图G1中添加一点u得图G，色数至多可增 "1" ) (G ) (G ) (G1 ) (G1 ) 1 1.
17 . 如果G是v(v 3)个顶点条边的极大平面 图，则 3v 6.
证：此题即对讲义第五 章P13 定理5.12的串证. 设面数为 r , 则由 G为极大平面图知： G的任一面 f有d ( f ) 3, 则2 d ( f ) 3 3r，
f f
又由欧拉公式 v r 2得： 2 3(2 v), 则 3v 6.