第5章：衍射光学元件优化设计

SA算法从理论上讲，是一种全局优化算法，但真正实现是不可 能的，需在每个温度迭代无穷次以达到平稳分布。从应用角度 看，在可接受的时间里得到满足要求的解，无法保证能得到全 局最优解，但它能跳出局部最优点。
♦ GA(Genetic Algorithm)算法
遗传算法是一种基于自然选择原理和自然遗传机制的 搜索(寻优) 算法，它是模拟自然界中的生命进化机制。
(4) 交叉。把两个不同位串上的有用段组合在一起， 交叉的位置随机确定，发生概率为0.6 到1.0 之间。
(5) 变异。辅助算子。作用在位串上，以较小的概率 随机改变位串上的任一位(即相应位上的0 变为1，或1 变为0)，变异的位置随机确定。概率值一般取0.001到 0.01之间。
(6) 达到设定的迭代次数或收敛指标时停止,否则转回 到(2)。
5.2.3 混合优化算法
全局搜索算法 • 跳出局部极值点，获得全局最优解 • 优化效率低
局部搜索算法 • 不能跳出局部极值点，优化结果不够好 • 优化效率高
♦ GLUSA(Global/local united searching algorithm)
5.3 精细化设计
优化
数值解
离散化
方法1：通过降低光源相干性来抑制噪声，采用非相干 激光光源，或LED、超辐射发光二极管等光源。
Output modification should be sufficiently adiabatic, then no 2π-line discontinuities will be introduced.
κ should be small enough to ensure the output modification is sufficiently adiabatic.
输入面
输出面
透镜
设计性能差
(a) j=1
(b) j=2
(c) j=J
振幅限制条件随循环次数j的增加而严格示意
第j步补零区域振幅αJ>0
二维仿真结果
优化过程中的Kj、αj和RMSEF，j
Ij 的二维分布
三次循环中所有RMSEF，k的变化情况
I1
I2
I3
根据优化出的相位分布，输出面采样加密4倍后的计算结果
遗传算法包含三个基本算子： (1) 繁殖； (2) 交叉； (3) 变异。
遗传算法实现
(1) 随机产生一组初始种群(n个，n=40~300)：解群。
(2) 计算解群中每个解(位串)相应的目标函数值(适值) 及选择率(每个位串的适值占解群适值的百分数)。
(3) 在计算的各个位串的适值中，选出适值较大的n 个 位串，构成配对集，这个过程称为选择。或者每次从 解群中随机选出两个位串，将适值大的位串加入配对 集。重复此过程，直至配对集中包含n 个位串为止， 这是两两竞争方法。
5.1.1.4 其他改进算法 • 输入输出算法 Input-output algorithm
• 自适应加法算法 Adaptive-additive algorithm • 自适应乘法算法 Adaptive-multiplicative algorithm • 自适应正则化算法 Adaptive-regularization algorithm
针对GS算法提出的改 进算法也适用于改进 YG算法。
YG 算法的改进算法设计结果
η=93.6% rms =0.2%
YG算法除光束整形外，还能实现诸多功能。
偏振解复用
波长解复用
长焦深
GS算法不能实现或很难实现！
5.2 搜索算法
优化算法 算法流程
输入 迭代算法 输出
搜索算法 优化策略
输入 输出
全局搜索
二维实验结果
实验光路图 相位分布
实验结果 GS算法的实验结果
5.4 空间频谱性能评价
由离散点确定的离散性能，不可信！ 如何可信地评价性能? 空间频谱分析方法
§3.8 性能评价
假设相位对称分布
• 重新定义衍射光学光束整形器件的性能
连续定义
离散定义
光束匀滑区域 总光强值
光强均值 效率
均方根误差
精细化设计 离散采样：η=94.1% rms=7.6% 空间频谱：η=92.7% rms=7.5%
难以解析求解，转化成优化问题。
离散化处理
一维情形、入射波前为理想平面波、系统为傅里叶变换系统 多台阶衍射光学器件：
口径为D，等分为N相位单元 矩形函数： 透过率函数：
傅里叶变换系统
输出光强分布： sinc函数： 采样间隔选为
FFT
输出面理想分布： d
矩形区域内，采样点数目： 理想输出：
光能利用率： 顶部不均匀性：
5.1.2 YG(杨-顾)算法
GS算法及其改进算法局限于处理傅里叶变换系统
实际光学系统，非傅里叶变换形式 非幺正变换系统(像差、光阑的存在等) 对多个输出面、多个波长等提出要求
GS算法难以奏效！
中科院物理所杨国桢、顾本源等应用光学一般变换理 论，提出了幺正变换系统中振幅/相位恢复问题的一般 描述方法，通过严格数学推导，给出了一组确定振幅/ 相位分布的联立方程组；并将之推广到非幺正变换系 统。基于联立方程组的迭代算法，原则上可解决任意 线性变换系统中的振幅/相位恢复问题。
光束整形、光束准直、光互连等
优化
优化算法 算法流程
输入 迭代算法 输出
搜索算法 优化策略
输入 输出
全局搜索
局部搜索
模拟退火 遗传算法
最速下降法 爬山法 共轭梯度法
GS 算法, YG算法及其改进算法
衍射光学光束整形系统 将光束调整为在输出面上所需要的形状
G: 描述输出面与输入面光场分布关系的积分变换
已知条件： 系统积分变换G 入射光波A(x,y) 输出面光场复振幅分布E2_ideal(ξ,η)或光强分布Iideal(ξ, η)
求解？ 衍射光学器件的透过率函数t(x,y) 调制入射光波，经G变换后，实现E2_ideal(ξ,η)或Iideal(ξ, η)
? E2_ideal(ξ,η)
?!
最大的问题：无法保证t(x,y)是一个纯相位函数！
需求：Iideal(ξ, η)
E2_ideal(ξ,η)的相位可不受限制
?!
如何求解α(ξ, η)，保证t(x,y)是一个纯相位函数？ 死循环！
传统设计 η=96.1% rms=3.3%
η=82.8% rms=68.6%
空间滤波处理 谱
滤波
ICF中，热传导等物理效应，能抹平光强分布中的高 频分量，改善顶部均匀性。
低通滤波(振幅型)
空间周期10μm对应的m: λ=1.053μm、f=600mm、D=100mm，N=256 低频滤波后，振幅谱为：
光学设计
谭峭峰 tanqf@
清华大学 精密仪器系 光电工程研究所
第五章 衍射光学元件优化设计
波前变换法设计：
菲涅耳波带透镜、光束整形器件
解析法设计：
分束比为3的Dammann光栅分束器 两台阶Talbot光栅阵列照明器
只有很少的几种特殊情况能进行解析求解
衍射光学元件能实现的特殊光学功能：
G: 描述输出面与输入面光场分布关系的积分变换
从泛函分析的角度考虑， 、 可看成平方可 积函数空间L2中的点或元素，积分变换G是平方可积 函数空间L2中点到点的映射或是函数空间L2中的一个 线性变换。
积分变换G可用无限维矩阵
表示。
幺正变换： 非幺正变换：
“+”表示取厄密共轭运算(转置复共轭)
一维情形： 输入面采样数目N1 输出面N2
求D的最小值 变分(微分)
*表示取共轭
设计参数：入射波长λ=1.053μm 器件口径D=100mm 透镜焦距f=800mm 输出焦斑大小d=210μm
YG算法流程
η=98.2% rms =21.1%
η=98.6% rms =17.7%
对于傅里叶变换系统的光束整形， YG算法就退化为GS算法。
缺点相同：存在位相突变点 设计性能不够好！
Step 1
Step 4
Step 2
Step 3 GS 算法流程图
相位混合算法（Phase mixture algorithm）
相位混合前 相位混合后
a+b=1
a=0.9 b=0.1
η=97.4% rms =19.9%
获得连续相位分布，与初值有关
5.1.1.3 绝热迭代，获得二维连续分布相位
• The initial phase should be chosen to be smoothly varying. • The output should be modified slightly during each iteration cycle.
5.1迭代算法
5.1.1GS(Gerchberg-Saxton )算法
(最早的实用算法， 1971年)
Step 1
Step 4
Step 2
Step 3 GS 算法流程图
设计参数：入射波长λ=1.053μm 器件口径D=100mm 透镜焦距f=800mm 输出焦斑大小d=210μm
N如何选取？
η=98.6% rms =17.7%
缺点：
• 存在包含相位突变点 • 设计性能不尽如人意
Step 1
Step 4
Step 2
Step 3 GS 算法流程图
5.1.1.1 调整 Step 2，改善设计性能
每次以理想输出替换输出面光场振幅分布
改进算法设计结果 提高收敛速度，基本克服易陷于局部极值点这一缺陷。
5.1.1.2 调整 Step 4，减小位相突变点
GS algorithm
Adiabatic modification
Phase is fully continuous!
demerits: • very low efficiency in optimization (κ<<1) • rather difficult to obtain good design result
局部搜索
模拟退火
最速下降法 爬山法 共轭梯度法
遗传算法
GS 算法, YG算法及其改进算法
5.2.1 局部搜索算法
最速下降法、爬山法(随机搜索法)、共轭梯度法等
5.2.2 全局搜索算法
♦ SA(Simulated Annealing：模拟退火)算法
SA算法借鉴不可逆动力学的思想，是一种基于蒙特卡洛迭代 求解法的启发式随机优化方法。它不同于局部优化算法之处 在于以一定的概率选择邻域中评价函数值大的状态。
基本思想：将优化变量的可能取值看成某一物质体系的微观 状态，而将评价函数看成该物质体系在对应状态下的内能， 并用控制参数T类比温度。在某一温度下，经不断降温，在全 局解空间中随机搜索最优解，同时具有概率突跳特点，即在 局部极小以一定概率跳出并最终趋于全局最优。算法流程包 括Metropolis抽样和退火过程两部分。
GS改进算法 激光光束整 仿真结果 形实验结果
激光相干性太好，出现散斑
方法2：实时产生具有不同散斑噪声分布的光场，利用 积分效应抑制散斑噪声。
¾加入运动的散射片 ¾改变入射激光偏振角 ¾连续改变光源入射角度 ¾用多个不同波长的激光器或调谐激光器入射 ¾ 在SLM上循环加载子全息图
方法3：通过改进优化算法抑制散斑。
n=1时： rms改善了近30%
小结：
迭代算法、搜索算法与混合算法 精细化设计 空间频谱性能评价
衍射光学光束整形元件设计实践
目标：在透镜后焦面上实现各自姓名的光强分布
要求： 1、波长、衍射光学元件口径、形状、入射波前、二维目 标分布及尺寸等都可自行设定。 2、算法任选。可使用改进算法，也可自行改进算法。 3、对相位进行8台阶量化，重新计算。 4、更换输出面的采样间隔，重新计算。
优化
数值解
离散化
如何选择输出面上的采样间隔？
除了优化时选择的采样点外，其他点也满足需求。
香农采样定理:
采样间隔不够小！
rms=3.3%
精细化采样：
9.0%
42.5%
60.3%
相同的采样间隔、平移
不同的采样间隔5.9% Nhomakorabea11.8%
相同的采样间隔、平移
不同的采样间隔
迭代算法总体思路
输入面
输出面
透镜
优化过程中控制输出面上采样 间隔加密一倍的采样点