工程热力学与传热学：9-4 导热问题的数值解法基础
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✓ 稳态时，流向任何节点的热量的总和 必等于零。
边界节点温度差分方程
➢ 第一类边界条件 — 边界温度已知
➢ 第二类边界条件
边界节点温度
➢ 第三类边界条件
差分方程
n i, j 1
举例
如图示边界条件。 y
i 1, j
i, j
w
y
建立控制容积的热平衡方程：
0
x
x
s i, j 1 t h
y ti1, j ti, j
——第三类边界条件下边界节点温度差分方程。
思考 题
试确定下列边界节点温度的差分方程：
i 1, j i, j
n i, j 1
y
w
s i, j 1
i 1, j y w
i 1, j i, j e
x
t h
s i, j 1 x t h
y
n i, j 1 i 1, j i, j
w
s i, j 1
x
绝热
9-4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
......
an1t1 an2t2 an, jt j anntn bn
其中：ai, j , bi 均为常数，且 ai,i 0 。
将该方程组改为 t1 ，t2，… tn 显函数形式
t1
1 a11
(b1
a12t2
a1, jt j
a1ntn )
t2
1 a22
(b2
a21t1
a2, jt j
基本思想：用空间或空间与时间区域内有 限个离散点（节点）上的温度近似值， 近似代替物体内原来是连续分布的温度 分布，按照一定方法建立关于这些节点 温度的代数方程。所有节点上温度值的 集合就是导热问题的数值解。
基本方法：✓ 有限差分法 (finite-difference) ✓ 有限元法 (finite-element) ✓ 边界元法 (boundary-element)
沿x方向和y方向分别以Δ x， Δ y为间隔把
物体分搁成很多个小的子区域。
y
➢ 步长：
网格的宽度Δ x, Δ y
i, j 1
i 1, j
i, j i 1, j
步长大小的选择 y
i, j 1
依问题需要 .
0 x
x
✓ 节点 (nodes)：
y
网格线(边界线)的交点.
节点 (i, j)
i, j 1
i 1, j
9-4-1. 有限差分法的基本原理
➢ 将实际的物理过程离散化，用有限 差分近似微分，用有限差商近似微商。 x dx, y dy, t dt x dx
➢ 将导热微分方程转化为 节点温度的差分方程。
主要内容
举例 以二维，稳态，无内热源的导热为例。
2t 2t x2 y 2 0
1. 求解域的离散化 (discretization)
x
x
y
y
设步长Δ x= Δ y
ti1, j ti1, j ti, j1 ti, j1 4ti, j
—— 二维稳态导热均匀步长时 内部节点温度差分方程。
说明
n i, j 1
i 1, j
i, j i 1, j
y w i, j 1 e
s
x
✓ 此时，物体内每一个节点的温度都等于 它周围相邻 4 个节点温度的算术平均值。
工程热力学与传热学
传热学 第九章 导热(数值计算）
9—4 导热问题的数值求解方法
导热问题的求解方法： 分析解法 ✓ 对导热微分方程式在规定的边界条 件和初始条件下积分求解。 ✓ 求解结果能清楚显示各种因素对温度 分布的影响，但仅适用于简单的导热 问题，同时解的形式复杂。 数值解法 实验方法
数值解法的基本思想 理论基础：离散数学；
数值计算过程的核心内容 .
两种方法: ✓ 泰勒级数展开法;
垂直纸面 单位宽度
✓ 控制容积热平衡法 .
内部节点温度差分方程
w e s n 0
n i, j 1
i 1, j
i, j i 1, j
根据傅立叶定律:
y w i, j 1 e
s
x
y ti1, j ti, j y ti1, j ti, j x ti, j1 ti, j x ti, j1 ti, j 0
a2ntn )
......
tn
1 ann
(bn
an1t1
an, jt j
a t n,n1 n1)
求解原则：首先假设一组变量初始值，在依
次求解上述方程组时不断采用最新的当前值更
新变量的估计值。
假设初始值：t10
,
t20
,
t
0 j
,
tn0
节点温度的 k 次近似值：
t1k
1 a11
(b1
a12t2k1
max tik tik1
或：
max
tik
tik 1 tik
迭代运算收敛。
9-4-3. 传导的热流量
t x y
t
a1, jt j k1
a1ntnk1)
t2k
1 a22
(b2
a21t1k
a2, jt j k1
a2ntnk1)
......
tnk
1 ann
(bn
an1t1k
an, jt jk
a tk n,n1 n1
)
确定：
tik
,
t k 1 i
终止条件：
✓ 连续两次迭代得出 温度ti 的最大差值：
x
hy(t
ti, j )
x 2
ti, j1 ti, j y
x 2
ti, j1 ti, j y
0
设步长Δ x= Δ y
网格毕渥数：Bi
hx
ti1, j
ti,
j
hy
(t
ti, j
)
1 2
(ti,
j 1
ti,
j
)
1 2
(ti,
j 1
ti,
j
)
0
2ti1, j ti, j1 ti, j1 (2Bi 4)ti, j 2Bit 0
i, j i 1, j
(i 1, j) (i 1, j)
y
i, j 1
(i, j 1) (i, j 1)
0
✓ 控制容积 (control volum)：
xห้องสมุดไป่ตู้
x
以节点为中心, 边长等于Δ x, Δ y的小区域 .
节点温度代表以它为
中心控制容积的平均温度 .
对非稳态导热问题,还需对时间域进行离散 .
2. 节点温度差分方程的建立
常用方法： ✓ 消元法; ✓ 矩阵求逆法： ✓ 迭代法。 • 简单迭代法； • 高斯-赛得尔迭代法
举例 高斯-赛得尔迭代法
设节点温度差分方程的形式为：
a11t1 a12t2 a1, jt j a1ntn b1 a21t1 a22t2 a2, jt j a2ntn b2
边界节点温度差分方程
➢ 第一类边界条件 — 边界温度已知
➢ 第二类边界条件
边界节点温度
➢ 第三类边界条件
差分方程
n i, j 1
举例
如图示边界条件。 y
i 1, j
i, j
w
y
建立控制容积的热平衡方程：
0
x
x
s i, j 1 t h
y ti1, j ti, j
——第三类边界条件下边界节点温度差分方程。
思考 题
试确定下列边界节点温度的差分方程：
i 1, j i, j
n i, j 1
y
w
s i, j 1
i 1, j y w
i 1, j i, j e
x
t h
s i, j 1 x t h
y
n i, j 1 i 1, j i, j
w
s i, j 1
x
绝热
9-4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
......
an1t1 an2t2 an, jt j anntn bn
其中：ai, j , bi 均为常数，且 ai,i 0 。
将该方程组改为 t1 ，t2，… tn 显函数形式
t1
1 a11
(b1
a12t2
a1, jt j
a1ntn )
t2
1 a22
(b2
a21t1
a2, jt j
基本思想：用空间或空间与时间区域内有 限个离散点（节点）上的温度近似值， 近似代替物体内原来是连续分布的温度 分布，按照一定方法建立关于这些节点 温度的代数方程。所有节点上温度值的 集合就是导热问题的数值解。
基本方法：✓ 有限差分法 (finite-difference) ✓ 有限元法 (finite-element) ✓ 边界元法 (boundary-element)
沿x方向和y方向分别以Δ x， Δ y为间隔把
物体分搁成很多个小的子区域。
y
➢ 步长：
网格的宽度Δ x, Δ y
i, j 1
i 1, j
i, j i 1, j
步长大小的选择 y
i, j 1
依问题需要 .
0 x
x
✓ 节点 (nodes)：
y
网格线(边界线)的交点.
节点 (i, j)
i, j 1
i 1, j
9-4-1. 有限差分法的基本原理
➢ 将实际的物理过程离散化，用有限 差分近似微分，用有限差商近似微商。 x dx, y dy, t dt x dx
➢ 将导热微分方程转化为 节点温度的差分方程。
主要内容
举例 以二维，稳态，无内热源的导热为例。
2t 2t x2 y 2 0
1. 求解域的离散化 (discretization)
x
x
y
y
设步长Δ x= Δ y
ti1, j ti1, j ti, j1 ti, j1 4ti, j
—— 二维稳态导热均匀步长时 内部节点温度差分方程。
说明
n i, j 1
i 1, j
i, j i 1, j
y w i, j 1 e
s
x
✓ 此时，物体内每一个节点的温度都等于 它周围相邻 4 个节点温度的算术平均值。
工程热力学与传热学
传热学 第九章 导热(数值计算）
9—4 导热问题的数值求解方法
导热问题的求解方法： 分析解法 ✓ 对导热微分方程式在规定的边界条 件和初始条件下积分求解。 ✓ 求解结果能清楚显示各种因素对温度 分布的影响，但仅适用于简单的导热 问题，同时解的形式复杂。 数值解法 实验方法
数值解法的基本思想 理论基础：离散数学；
数值计算过程的核心内容 .
两种方法: ✓ 泰勒级数展开法;
垂直纸面 单位宽度
✓ 控制容积热平衡法 .
内部节点温度差分方程
w e s n 0
n i, j 1
i 1, j
i, j i 1, j
根据傅立叶定律:
y w i, j 1 e
s
x
y ti1, j ti, j y ti1, j ti, j x ti, j1 ti, j x ti, j1 ti, j 0
a2ntn )
......
tn
1 ann
(bn
an1t1
an, jt j
a t n,n1 n1)
求解原则：首先假设一组变量初始值，在依
次求解上述方程组时不断采用最新的当前值更
新变量的估计值。
假设初始值：t10
,
t20
,
t
0 j
,
tn0
节点温度的 k 次近似值：
t1k
1 a11
(b1
a12t2k1
max tik tik1
或：
max
tik
tik 1 tik
迭代运算收敛。
9-4-3. 传导的热流量
t x y
t
a1, jt j k1
a1ntnk1)
t2k
1 a22
(b2
a21t1k
a2, jt j k1
a2ntnk1)
......
tnk
1 ann
(bn
an1t1k
an, jt jk
a tk n,n1 n1
)
确定：
tik
,
t k 1 i
终止条件：
✓ 连续两次迭代得出 温度ti 的最大差值：
x
hy(t
ti, j )
x 2
ti, j1 ti, j y
x 2
ti, j1 ti, j y
0
设步长Δ x= Δ y
网格毕渥数：Bi
hx
ti1, j
ti,
j
hy
(t
ti, j
)
1 2
(ti,
j 1
ti,
j
)
1 2
(ti,
j 1
ti,
j
)
0
2ti1, j ti, j1 ti, j1 (2Bi 4)ti, j 2Bit 0
i, j i 1, j
(i 1, j) (i 1, j)
y
i, j 1
(i, j 1) (i, j 1)
0
✓ 控制容积 (control volum)：
xห้องสมุดไป่ตู้
x
以节点为中心, 边长等于Δ x, Δ y的小区域 .
节点温度代表以它为
中心控制容积的平均温度 .
对非稳态导热问题,还需对时间域进行离散 .
2. 节点温度差分方程的建立
常用方法： ✓ 消元法; ✓ 矩阵求逆法： ✓ 迭代法。 • 简单迭代法； • 高斯-赛得尔迭代法
举例 高斯-赛得尔迭代法
设节点温度差分方程的形式为：
a11t1 a12t2 a1, jt j a1ntn b1 a21t1 a22t2 a2, jt j a2ntn b2