一维连续型随机变量函数的分布
一维连续型随机变量
第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。
教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。
教学方法：课堂教学。
三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。
一维连续型随机变量函数的分布
解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
[数学]-3、连续型随机变量
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解
2)如图：把平面分成五个区域， 如图：把平面分成五个区域， Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ
i) 当(x,y)∈III
1 1 F(x, y) = ∫ dv∫ du = ( xy + y arcsiny + 1− y2 −1) 0 arcsinv 2 2
y x
ii) 当(x,y)∈Ⅱ
F ( x, y) = ∫ du ∫
三、连续型随机变量
一、一维连续型随机变量
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫
x
−∞
f (t ) dt
分布函数性质 i) 0≤ F(x)≤ 1 且 F(x)是连续函数 ； 是连续函数； ii) 当 x1≤ x2 时 ， F(x1)≤ F(x2)； (单调性 ） 单调性） ⅲ) F( - ∞ )=0,F(+ ∞ )=1 F(- )=0,F(+∞ 密度函数性质 1) f(x)≥ 0 3) f (x) = [F(x)]′ 2) ∫
其中 G 是由概率括号中的不等式构成的区域。 二维连续型随机变量的概率的计算问题等 价于以概率括号中的不等式构成的区域 G 为 底，联合密度函数为高的曲顶柱体体积的计 算。
例 4 设(X,Y)的联合分布函数为
F ( x, y ) = ( a − be
−e x
)( c − de
−e y
), ( x, y ) ∈ R
二维正态分布的性质： 二维正态分布的性质： 2 2 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ1 ,σ2 , r),则 1) X~N(μ1,σ12), Y~N(μ2,σ22) 2) X 与 Y 独立的充要条件是 r=0 3) 在 Y=y 的条件下，X 的条件分布仍为 的条件下， 正态分布
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概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
正态分布的计算、一维连续型函数的分布
正态分布的概率密度函数
定义
正态分布的概率密度函数（PDF）是描述随机变量分布形态的函数，其公式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值，$sigma^2$是方差。
性质
正态分布的PDF具有对称性，即关于均值$mu$对称，且随着距离均值$mu$的增大，概率密度值逐渐 减小。
利用一维连续型函数解决实际问题
连续型随机变量的模拟
一维连续型函数可以用来模拟连续型随机变 量的分布，例如人的身高、体重等。
实际问题应用
通过一维连续型函数，可以解决许多实际问 题，例如预测产品的寿命、评估投资风险等
。
正态分布和一维连续型函数在数据分析中的应用
要点一
数据分布分析
要点二
数据可视化
正态分布和一维连续型函数是数据分析中常用的工具，可 以帮助我们了解数据的分布特征。
标准正态分布的性质
标准正态分布的均值为0，标准差为1。其概率密度函数为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{x^2}{2}}$。标准正态分布在概率和统计中具有重要地位，
许多统计量和概率函数都与标准正态分布有关。
03
一维连续型函数的分布
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
布的假设。
一维连续型函数为数据提供 了更精确的描述，使我们能 够更好地理解数据的分布特 征和规律，从而做出更准确 的推断和预测。
05
实例分析
利用正态分布计算概率
概率密度函数
正态分布的概率密度函数描述了随机变量取值在各个 区间的可能性，其形状由均值和标准差决定。
概率计算
1-4随机变量的函数及其分布
例 若X ,Y 相互独立, 且均服从标准正态分布 N(0, 1),
U X Y V X Y
试求U ,V 的联合密度函数,问U,V 是否相互独立?
应用：求边缘密度 p U (u) ——增补变量法. 例 设二维随机变量 ( X ,Y ) 在矩形
G {( x, y ) | 0 x 2,0 y 1}
1.4 随机变量函数的分布
一维随机变量的函数及其分布
问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆柱截面直径 d 的分布， 2 d 求截面面积 A= 的分布. 4 一般地、设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) ( 设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分 布？
u g ( x, y ) 设 存在唯一的反函数： v r ( x, y ) h h x h(u , v) 记 J u v s s y s (u , v)
u v
h , s 有连续的偏导数, 则
pUV (u, v) pXY [h(u, v), s(u, v)]| J |
思路 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件.
离散型随机变量函数的分布 例 已知 X 的概率分布为
X P -1 0 1 2
1 8
1 8
1 4
1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律。
注：形式做法 Y2 1 0 1 4
pi
Y2 pi
1 8
0
1 8
1
1 4
4
1 2
1 8
3 8
1 2
一、二维离散型r.v.函数的分布 例1 设二维r.v. ( X, Y ) 的概率分布为 Y X -1 2 求X Y , X Y , 的概率分布.
一维随机变量函数及其分布
z
1
v2
e22(
1
u2
e2du)dv
22
2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
第三步 计算Z的密度函数
fZ(z) FZ(z)
1
z2
e 22
2 2
结论：
X ~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ N ( 0 , 1 ) ,X ,Y 独 立
计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布
Z 概率
z1 z2 … p1 p2 …
方法： 列出（X，Y）的所有取值点 计算这些点对应的Z值 （如：Z=X+Y） 利用联合分布律确定相应的概率
将相同的z值进行合并，其概率值作相应合并
概率
p11 p12 … p21 p22 … pi1 pi2 …
（X,Y） （x1,y1）（x1,y2) … (x2,y1) (x2,y2) … (xi,y1) (xi,y2) …
z
(
1
(x2(vx)2)
e 2 dv)dx
2
1 z
x2(vx)2
(
e 2 dx)dv
2
FZ (z)
z
1
(
2xv )2 2
v2
(
e 2 e22dx)dv
2
令 u 2x v
2
P (Y 5 )P (X 1 2 )
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
概率统计13 一维连续型随机变量函数的分布 教学设计
《概率统计II 》教学设计 一维连续型随机变量函数的分布1 一维连续型随机变量函数的分布教学设计【教学题目】§2.7 一维连续型随机变量函数的分布【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并能熟练求解一维连续型随机变量函数的分布。
【教学思想】1、一维连续型随机变量函数依然是一维随机变量，通过分布函数法，建立了两者之间的联系，体现辩证统一的数学思想。
2、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题的引入、问题驱动的分析和求解，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法，达到教会学生求解连续型随机变量函数的分布的目的，体现“授人以渔”。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容（1）引入和引例；（2）分布函数法及其应用。
2、重难点分析求随机变量X 的函数Y 的分布的思路主要是将与函数Y 有关的随机事件转化成与随机变量X 有关的随机事件，通过求等价事件的概率求出Y 的分布函数；然后利用分布函数与密度函数的关系，求出Y 的密度函数。
因此如何转化既是求解的重点，也是求解的难点。
【教学方法和策略】黑板板书结合PP T 演示，采用实际问题驱动、提出科学问题；探索具体问题的解决思路和方法，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法——分布函数法。
在讲解时，采用启发式、提问式的教学方式，由表及里、层层递进、步步设问，利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。
【教学安排】引入（3分钟）在工程的建造问题中，人们通过测量园轴截面直径D 的分布，而求其面积241D S π=的分布；在统计物理中，已知分子的运动速度V 的分布，求其动能221mV E =的分布。
还有许多诸如此类的实际问题，都需要研究在连续型随机变量X 的分布已知时其函数的分布问题，这就是我们今天要研究的主题。
（板书标题）引例 在PPT 上引入问题：设),(~2σμN X ，求σμ-=X Y 的密度函数)(y f Y ？分析：求Y 的分布密度等价于求其分布函数（概率），利用等概率事件的转化，建立随机变量X 与它的函数Y 的分布函数（概率）之间的关系，进而求出随机变量函数Y 的分布。
一维连续型随机变量函数的分布
函数 x h( y)，则Y g(X )是连续性随机变量．其密度函数
为
fY
(
y)
f
X
[h( y)] 0
|
h(
y)
|
当 y
其他
其中 min{g(), g()}， max{g(), g()}．
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•作业 •第63页 10
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感谢您的观看！
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Y X 3的概率密度．
解： X 的密度函数为
ex 当 x 0
f (x) 0
当x0
因为函数 y x3是严格单调
增函数，其反函数为 x 3 y ，由
X 的密度函可数直接求得Y 的 密度函数.
fY ( y)
f (3 0
y )( 3
y ) 当 y 0 ,
当y0
即
fY
(
y)
1 3
e
3
y
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例3.6
定理3.2
例3.7
例3.8
同步练习
小结
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第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.6 设随机变量 X 有
解：设 Y 的分布函数为 FY ( y)，
概率密度
则
x
f
X
(
x)
8
0
当0 x 4 其他
Y 2X 1的密度函数为
fY
( y)
y1 e 2 (
y 1) 2
,
y
1，
0
, y 1
即
fY
(
一维随机变量函数的分布
fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)
FY
(
y
)
y
FX
y FX
y
y
.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)
2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y
1 4
e
(
y3 4
)
,
0
一维随机变量函数的分布
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
一维的分布函数
一维的分布函数
一维分布函数是用来描述一个一维随机变量的概率分布的函数。
它可以用于描述连续型和离散型一维随机变量的概率分布情况。
对于连续型随机变量，一维分布函数通常被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。
CDF表示了随机变量取值小于等于给定值的概率。
对于一个随机变量X，其CDF 函数可以表示为F(x) = P(X <= x)。
对于离散型随机变量，一维分布函数通常被称为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
对于一个离散型随机变量X，其PMF函数可以表示为f(x) = P(X = x)。
例如，考虑一个连续型随机变量X，表示某种产品的寿命。
我们可以用CDF函数描述该产品的寿命小于等于给定值的概率。
如果我们有一个具体的值x，可以通过计算CDF函数F(x)来得到寿命小于等于x的概率。
另一个例子是一个离散型随机变量Y，表示一个骰子的面数。
我们可以用PMF函数来描述抛掷该骰子得到某个特定面数的概率。
如果我们有一个具体的值y，可以通过计算PMF函数f(y)来得到抛掷骰子得到该面数的概率。
一维分布函数在统计学和概率论中是非常常用的工具，它提供了对随机变量的概率分布进行描述、计算和分析的方法。
通过了解一维分布函数，我们可以更好地理解和分析随机变量的概率特征和统计规律。
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第五节：随机变量的函数的分布
概率论
用
y X
y 代替 X y
2
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v.的函数的分布的一种常用方法.
概率论 定理: 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g'(x)>0 或恒有 g'(x)<0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：
y
f X ( x)
1
( x ) 2
2
2
概率论
2
1
e
,
x
yb fY ( y ) fX , a a
y
2
即：fY ( y )
1 a
1 2
yb a 2
2
e
dh( y ) , f X [h( y )] fY ( y ) dy 0,
a x b
y
其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b
x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .
概率论 2x 2 0 x 例4: 设随机变量X的概率密度为: f X ( x ) 求 Y = sinX 的概率密度. 1 Y 1 0 其它 解: 当 0 x 时, 0 y 1 FY y P Y y
当 y 0时，FY ( y ) 0,
当 y 1时，FY ( y ) 1，
概率论与数理统计2-1 一维随机变量及其分布 (3)
五、连续型随机变量 六、典型的连续型 随机变量及其分布
回
停 下
五、连续型随机变量 连续型随机变量
1. 密度函数 对于随机变量X， 定义 对于随机变量 ，若存在非负可积函 使得X 数 p(x) ( x∈R), 使得 的分布函数 ∈
F ( x) = ∫
或概率密度. 数,或概率密度 或概率密度
1 , 2 ≤ x ≤ 5, p( x ) = 3 0, 其它.
表示“ 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 即 A={ X >3 }.
由于 P ( A) = P { X > 3} = ∫
51
3
2 dx = , 3 3
进行3次独立观测中 设Y 表示对 X进行 次独立观测中 观测值大于 进行 次独立观测中, 3的次数 的次数, 的次数 则
P {a < X ≤ b} = P { a < X < b } = P{a ≤ X < b}
= P{a ≤ X ≤ b}
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º
P( A) = 0 P( A) = 1
A= ∅ A= Ω
的分布函数为： 例1 设连续型随机变量X的分布函数为： F( x) = A+ Barctan x − ∞ < x < ∞
1 x − 1 − e 2000 , F ( x) = 0,
x ≥ 0, x < 0.
(1) P { X > 1000}= 1 − P { X ≤ 1000} = 1 − F (1000)
1 − 1 − e 2000x , x ≥ 0, F ( x) = 0, x < 0.
一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量 X 的分布律如下表所示
X -1 0 1 2
pk 0.1 0.4 0.2 0.3
求随机变量 Y ( X 1)2 的分布律。
二、一维连续型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的概率密度为 fX (x)，则 X
的函数 Y g(X ) 的分布函数为：
FY y P{Y y} P{g(X ) y} fX (x)dx g(x) y
fY ( y) .
例4 设随机变量 X ~ N (, 2) ，试证明 X
的线性函数 Y aX b(a 0) 也服从正态分布.
例5 设随机变量 X 的分布函数 F(x) 严格单调连续， (1) 求随机变量 Y F X 的概率密度；
(2) 求随机变量 Z 2ln F(X ) 的概率密度.
1 1
x0 x0
概率论与数理统计
例6 若函数 g(x) 在区间 (x0, x1] 内取常量，即
g(x) yi
x (x0, x1]
试用随机变量X的分布函数 FX (x) 和 g(x) 表示事件
{Y yi} 的概率.
例7 若随机变量 X ~ Exp(0.5)，求随机变量
.
Y g(X ) 的分布函数 FY ( y) ，其中
g(x)
h( y) 是函数 g(x) 的反函数.
注1：若 X 的概率密度 fX (x) 在有限区间 a,b
以外等于零，则只需假设在 a,b 上有 g(x) 0（或
g(x) 0）此时 min g(a), g(b), maxg(a), g(b)
注2：如果函数 y g(x) 非单调变化，则先将 y g(x) 的单调区间求出，在每个单调区间上都使用这个公式， 然后再将各单调区间的结果相加可得 fY ( y) 。
连续型随机变量的分布函数
连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。
本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。
一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。
分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。
二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。
概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。
三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。
均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。
均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。
《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
第二章 一维随机变量及其分布
注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1
(2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2) 证明： 若x1<x2 ，则有
X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
0.0169
19
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，
则有
PX 2
k 2 k!
20
k
e
k 2
20 0.2 k
k!
e
0.2
0.0176
（2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则
Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 80 k 80 0.8 k 0.8
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
x x
lim F x F 0
lim F x F 1
对任意实数 x0 ，有
(3) 右连续性
F x0 0 F x0 其中F x0 0 lim F x
正态分布的计算、一维连续型函数的分布
2
因为
P2
X
4
4
2
2
2
2
0
2
0.5
0.3
2
0.8
所以
PX
0
0
2
1
2
0.2
8
例3 设 ~ N 1.5, 4, 1 求 P0.5 1.5
1
x2
e 2 dx 0.8413
2
解：P0.5 1.5 F 1.5 F 0.5
1 2
0.5 1.5 2
1 2
1
解：（2）FV v PV v P eX v
当 v 0 时，FV v 0 fV v 0
当
v
0
时，FV
v
PX
ln v
1
FX
ln v
ln v, 1 v e
fV
v
fX
ln v 1
v
v
2 ln v 1 ,
v
e v e2
综上所述，. . . . . .
0,
其它
20
例9 若 X ~ N , 2 , Y aX b, a 0
1 P3 X 3 1 F 3 F 3
1
3
1.5 2
3
1.5 2
10.75 2.25
10.75 12.25
2 0.7734 0.9878 0.2388
21 F 3
7
例2 若 X ~ N 2, 2 , 且 P2 X 4 0.3, 求 PX 0
解： PX
0
0
2
1
x
3 Pa X b F b F a
b
a
4
P
X
c
2
随机变量的函数及其分布
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y} =P{X≤h(y)}
hy
f X x dx
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)
于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY
y
f
X
h
0
y
h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严 格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格 单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，
2
因此
fY
(
y)
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第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
当 y 时，
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y} P{X h( y)} FX [h( y)]．
函数 x h( y)，则Y g(X )是连续性随机变量．其密度函数
为
fY
(
y)
f
X
[h( y)] 0
|
h(
y)
|
当 y
其他
其中 min{g(), g()}， max{g(), g()}．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别 记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
如果函数 y g(x) 不是单调函数，先求Y 的分布函数 FY ( y)，然后根据 FY( y)= fY ( y)，求的Y 的密度函数．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.8 设随机变量 X 的
服从参数为 的指数分布，求
Y X 3的概率密度．
fY ( y)
f (3 0
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
同步练习
1.随机变量 X 的密度函数为
ex 当 x 0
f
(x)
0
当x0
求随机变量Y 2X 1的密度函数．
y )( 3
y ) 当 y 0 ,
当y0
解： X 的密度函数为
ex 当 x 0
f (x) 0
当x0
因为函数 y x3是严格单调
增函数，其反函数为 x 3 y ，由
X 的密度函可数直接求得Y 的 密度函数.
即
fY
(
y)
1 3
e
3
y
1 3y
当 y 0．
0
当y0
第3章 连续型随机变量
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数
fY
(
y
)
f
X
[h( y)]h( 0
y)
当 y
其他
当 g(x)单调减少时， g(x) 0，此时有
fY
(
y)
f
X
[h( 0
y)][h(
y)]
当 y
其他
合并以上两式，定理 3.2 的结论正确．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
fY
(
y)
f
X
[h( y)]h( 0
y)
当 y
其他
当 g(x)单调减少时， g(x) 0，此时有
fY
(
y)
f
X
[h( 0
y)][h(
y
)]
当 y
其他
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
y
8)
/
2]
1 2
,
注意到
x
f
X
(
x)
8
0
得
当0 x 4 其他 .
y8
fY
(
y)
32
当 8 y 16
0 其他
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
定 理 3.2 设 随 机 变 量 X 具 有 密 度 函 数 fX (x) ， x ，又设函数 y g(x)单调且处处可导，并具有反
解
1 fY ( y) | a |
2
e 1
yb
a
2 2
2
e 1
| a | 2
y(ab)2
2(a )2
x
即有
Y aX b ~ N (a b，(a )2 )
特别地，若在本例中设
a 1 , b ，则得，
Y X ~ N (0，1).
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
于是，
fY ( y)
dFY ( y) dy
yb 1
fX[
a
] |a|
,
x 即
fY
(
y
)
|
1 a
|
2
e 1
yb
a
2 2
2
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.7 设 随 机 变 量
X ~ N (， 2 )，证明 X 的经过
线性变换Y aX b (a 0) 后仍服从正态分布．
例 3.7 设 随 机 变 量
X ~ N (， 2 )，证明 X 的经过
线性变换Y aX b (a 0) 后仍服从正态分布．
解： X 的密度函数
f (x)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e ,
(
x )2 2 2
2
（ x ）
由 y ax b，得 x h(x) y b ， a
且有，h(x) 1 ． a
因 为 Y g( X ) 在 ( , ) 取 值 ， 故 当 y 时 ， FY ( y) P{Y y} 0；当 y 时， FY ( y) P{Y y} 1．
当 y 时， FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y} P{X h( y)} FX [h( y)]．
于是 Y 的密度函数
fY
( y)
dFY ( y) dy
f
X
[(
y
8)
/
2]
1 2
,
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.6 设随机变量 X 有 概率密度
x
f
X
(
x)
8
0
当0 x 4 其他
求 Y = 2X+8 的概率密度．
于是 Y 的密度函数
fY ( y)
f
X
[(
概率论与数理统计
苏敏邦
第3章 连续型随机变量
3.1 一维连续型随机变量 3.2 一维连续型随机变量函数的分布 3.3 二维连续型随机变量及其的分布 3.4 条件分布与随机变量的独立性
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例3.6
定理3.2 例3.7
例3.8
同步练习 小结
第3章 连续型随机变量
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数
fY
(
y)
f
X
[h( y)]h( 0
y)
当 y
其他
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.6 设随机变量 X 有
解：设 Y 的分布函数为 FY ( y)，
概率密度
则
x
f
X
(
x)
8
0
当0 x 4 其他
求 Y = 2X+8 的概率密度．
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y}
P{X ( y 8) / 2} FX [( y 8) / 2] .