最新离散数学3ppt课件
合集下载
离散数学第三章课件ppt
以|P(A)|＝Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n。
定理3.6 设A和B是两个集合，则： (1)B∈P(A)BA。 (2)ABP(A)P(B)。 (3)P(A)＝P(B)A＝B。 (4)P(A)∈P(B)A∈B。 (5)P(A)∩P(B)＝P(A∩B)。 (6)P(A)∪P(B)P(A∪B)。
A∪B＝B。
反之，若A∪B＝B，因AA∪B，所以AB。 同理可证ABA∩B＝A。
定义3.7
设A和B为两个集合，所有属于A而不
属于B的元素组成的集合称为B对于A的补集
(Complement) ， 或 相 对 补 。 记 作 A － B ＝
{x|x∈A∧xB} 。 A － B 也 称 为 A 和 B 的 差 集
A的真子集，但A不是A的真子集。 注：∈与表示元素和集合的关系，而、与＝
表示集合和集合的关系。 例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则 AB且AB。
定理3.3 设A、B和C是三个集合，则
(1)(AA)。 (2)AB(BA)。 (3)AB∧BCAC。
证 仅证(2)和(3) 明 (2)AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)
例如，若A＝{0，{0}}，则P(A)A＝(P(A)－A)∪(A－ P(A))＝{，0，{{0}}，{0，{0}}}。
定理3.9 设A、B和C为三个集合，则： (1)AB＝BA。 (2)(AB)C＝A(BC)。 (3)A∩(BC)＝(A∩B)(A∩C)。
例1 设A和B为两个集合，且AB，则A∩CB∩C。
证 对任意的 x∈A∩C ，则有 x∈A 且 x∈C 。而 AB ， 明 由 x∈A 得 x∈B ，则 x∈B 且 x∈C ，从而 x∈B∩C 。所
以，A∩CB∩C。 例2 设A和B为两个集合，则ABA∪B＝BA∩B＝A。
离散数学课件 离散3.3-4.1节PPT
Example: Sort 3,2,4,1,5
procedure insertion sort(a1, a2, . . . , an ∶ real numbers with n ≥ 2) for j ∶= 2 to n
i ∶= 1 while aj > ai
i ∶= i + 1 m ∶= aj for k ∶= i to j − 1
Insertion sort: consider elements one by one, when considering the jth element, insert it into the correct position of the previously sorted j − 1 elements
Next time: Chap 4.2: Integer representations and algorithms Chap 4.3: Primes and greatest common divisors
1/2
Review of last time
Algorithms, pseudocode description of algorithms Linear search and binary search Insertion sort and bubble sort Greedy algorithms The halting problem is unsolvable Big-O/Ω/Θ notation and results
Example: To search for 19 in the list 1 2 3 5 6 7 8 10 12 13 15 16 18 19 20 22
The binary search algorithm
procedure insertion sort(a1, a2, . . . , an ∶ real numbers with n ≥ 2) for j ∶= 2 to n
i ∶= 1 while aj > ai
i ∶= i + 1 m ∶= aj for k ∶= i to j − 1
Insertion sort: consider elements one by one, when considering the jth element, insert it into the correct position of the previously sorted j − 1 elements
Next time: Chap 4.2: Integer representations and algorithms Chap 4.3: Primes and greatest common divisors
1/2
Review of last time
Algorithms, pseudocode description of algorithms Linear search and binary search Insertion sort and bubble sort Greedy algorithms The halting problem is unsolvable Big-O/Ω/Θ notation and results
Example: To search for 19 in the list 1 2 3 5 6 7 8 10 12 13 15 16 18 19 20 22
The binary search algorithm
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)PPT课件
离散数学
主讲教师
13.11.2020
1
第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
2
集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
13.11.2020
离散数学
15
二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
16
二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
13.11.2020
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
主讲教师
13.11.2020
1
第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
2
集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
13.11.2020
离散数学
15
二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
16
二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
13.11.2020
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学 3集合论基础PPT文档共50页
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
离散数学 3集合论基础
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
复旦大学 计算机院 赵一鸣 离散数学(中文) 3PPT课件
例：四元关系R和三元关系S定义如下:
R AB
ab da ab
CD
cg fh dg
ABADAB(BDDR()R) AA BB DD
aa bb gg dd aa hh
abg
S DEF bga daf
EF(EEFFS(()SS)) E EE F FF g gg a aa a aa f ff
AC(R) AC ac df ad
(目标R'R'')
例：整数集上的“<”的对称闭包是“≠” <,>，少了= 任一非空集A，其上的恒等关系的自反 (对称)闭包就是恒等关系 其上的空关系的自反闭包是恒等关系
其上的空关系的对称闭包是空关系
定理 2.9：设R是集合A上的二元关系, 则
t(R) Ri
i 1
证明：令 R'= Ri 。验证 R'满足闭包 i 1
aRa) (2)对称(目标是证明若有aRb，则必有bRa) (3)传递(目标是证明若有aRb，bRc，则必 有aRc) 因此整数集I上的模m同余关系R是I上的等 价关系
(2)R是对称的当且仅当s(R)=R；
(3)R是传递的当且仅当t(R)=R。
定 理 2 . 6 ： 设 R1 和 R2 是 A 上 的 二 元 关 系,R1R2则 (1)r(R1)r(R2)； (2)s(R1)s(R2)； (3)t(R1)t(R2)。
设A={1,2,3},R={(1,2),(1,3)},则
r(R)={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)}
s(R)={(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}
t(R)={(1,2),(1,3)} 二、确定闭包的方法 定理 2.7：设R是集合A上的二元关系,IA 是集合A上的恒等关系,则r(R)=R∪IA。 (IA={(a,a)|aA}) 证明：令R'=R∪IA。验证R'满足闭包的 三个条件
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
离散数学03.ppt
35
定义 1.3 -7 一个由极大项之积组成的公式, 如果与给定的命题公式A等价, 则称它是
A的主合取范式。 主析取范式就是由一些不同的极小项通过
析取构成的析取范式。 主合取范式就是由一些不同的极大项通过
2
定理 1.3 -1 一个基本积是永假式, 当且仅当它 含有P , ┐P形式的两个因子。
证：充分性 P∧┐P是永假式, 而Q∧F F, 所以含有P和┐P形式的两个因子时, 此基本 积是永假式。 必要性 用反证法。设基本积永假但不含
3
P和┐P形式的两个因子, 则给这个基本积中不 带否定符的命题变元指派真值T, 带有否定符 的命题变元指派真值F, 得基本积的真值是T, 但这与假设矛盾。 证毕。
32
同时存在，而两者之一必出现一次而且仅出现 一次，与极小项成对偶。 例如：公式 A( P,Q)可构成的极大项共有： P∨Q, ┐P∨Q, P∨┐Q, ┐P∨┐Q n个变元可构成2n个不同的极大项。类似于 (但不同)极小项的记法, 它们是: M0 P1∨P2∨…∨ Pn
33
M1 P1∨P2∨…∨ ┐ Pn M2 P1∨P2∨…∨ ┐Pn-1∨Pn
┐((┐(P∨Q)∧(P∧Q))∨(┐┐(P∨Q) ∧┐(P∧Q)))
11
┐(( (┐P∧┐Q)∧P∧Q)∨( (P∨Q)∧ ┐(P∧Q)))
┐(F ∨((P∨Q)∧┐(P∧Q))) ┐( (P∨Q)∧┐(P∧Q)) ┐ (P∨Q) ∨┐┐(P∧Q)) (┐P∧┐Q ) ∨ ( P∧Q ) 所以
m1∨m3∨m5∨m6∨m7 Σ（1、3、5、6、7）
27
本式的证明采用了配项的方法，一般不 提倡用此方法求主范式 。
前边讲过每一极小项和它的足标的二进 制数一一对应, 因而和一种指派一一对应, 例 如三个变元时,
离散数学第三章-集合课件.ppt
例1、选择适当的谓词表示下列集合。
(1) 小于5的非负整数集 {x | x N x 5}
(2) 奇整数集合
{x | x 2n 1 n Z}
(3) 10的整倍数集合， {x | x 10n n Z} (4) {3,5,7,11,13,17,19} {x | x是素数 2 x 20}
则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
3、 n 阶(n 2)笛卡儿积。
A1 A2 An
x1, x2, , xn | x1 A1 x2 A2 xn An
特别，当 A1 A2 记为 An 。
An A 时，
(4) A (~ B C)
例3、用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。 (1)
解： A B C
(2)
解：(A B) (A C) (B C)
三 包含排斥定理
设A和 B是两个有限集合，则 A B A B A B ，
其中 A, B 分别表示 A、B的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定
A {a1, a2 , an}
表示集合 A 含有元素 a1, a2 , an
注意： (1) a A或 a A
(2) 集合中的元素均不相同
{a,b, c},{a,b,b, c},{c, a,b}
表示同一个集合。 (3) 集合的元素可以是任何类型的事物，
一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如：A a,{b,c},b,{b}
2、集合的表示法。 (1) 列举法(将元素一一列出)
例如：A {2,3, 4,5}
(2) 描述法(用谓词概括元素的属性)
例如：B {x | x Z 2 x 5}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
将一个推理诸前提的集合记为Г，则由Г推出结论B的推理记
为Г├ B。若该推理是正确的，则记为Г╞ B (或ГB),
否则记为Г⊭ B (或Г⇏B)。称Г├ B 和 {A1,A2,…,Ak}├ B 为推理的形式结构。
Discrete Math.
3
CHAPTER THREE
CHAPTER THREE
CHAPTER THREE
A (A∧B)∨(A∧┐B)
┐(A→B) A∧┐B
A→(B→C) (A∧B) →C
(A↔B) (A∧B)∨(┐A∧┐B)
┐(A↔B) A↔┐B
┐A A→B
B A→B
A→B (A∨C)→(B∨C)
A→B (A∧C)→(B∧C)
Discrete Math.
11
§3.2 自然推理系统
CHAPTER THREE
离散数学3
CHAPTER THREE
第一章 命题逻辑的推理理论
3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P
Discrete Math.
2
§3.的命题公式（称为前提)应用推理规则
推演出另一些命题公式（称为结论）的过程。
定义3.1 设A1, A2, …, Ak和B是命题公式，若对于A1, A2, …,
解：(1) 设p：a能被4整除； q：a能被2整除 前提：p→q，p 结论：q 推理的形式结构：(p→q)∧p→q 由例3.1知道此推理正确，即(p→q)∧p q。
Discrete Math.
7
(2) 设 p: 马芳下午去看电影；q：马芳下午去游泳。
CHAPTER THREE
前提：p∨q, ┐p
(9) 破坏性二难: (A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)(┐A∨┐C)
Discrete Math.
10
CHAPTER 此外, §2.1中给出的24个等值式中的每一个都派生出两T条HR推EE理定
律. 比如 ┑┑A A产生出┑┑AA 和A ┑┑A .
还有一些等值式和重言蕴含式可在推理中引用。如:
形式系统一般分为两类：
一是自然推理系统：它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统 中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论。
另外的则是公理推理系统：它只能从若干给定的公理出发，应用 系统的推理规则进行推理演算。得到的结论是系统中的重言式，称 为系统中的定理。
Discrete Math.
结论：q
推理的形式结构：((p∨q)∧┐p)→q
我们用等值演算来检验该蕴含式是否为重言式。
((p∨q)∧┐p)→q ┐((p∨q)∧┐p)∨q
(┐p∧┐q)∨p)∨q ((┐p∨p)∧(┐q∨p))∨q ┐q∨p∨q 1 可见((p∨q)∧┐p)→q 是重言式，故(p∨q)∧┐p) q, 推理正确。
“证明”是一个描述推理过程的命题公式序列,其中的每个 公式或者是已知前提,或者是由某些前提应用推理规则得到的 结论.
注: 前已述及,可以用真值表法、等值演算法和主析取范式法来
判断推理是否正确。但当推理中包含的命题变项较多时,这些 方法的演算量很大.因而需要对推理进行严谨的证明。证明应 在推理系统中进行.
例3.2 判断下列推理是否正确。
CHAPTER THREE
(1) 若a能被4整除，则a能被2整除。a 能被4整除，所以 a能被2 整除。
(2) 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以她去游 泳了。 (3) 若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她 就不去看电影了。所以，若王小燕没去看电影，下午气温必超 过了30℃。
(4) 拒取式:
(A→B)∧┐B ┐A
(5) 析取三段论: (A∨B)∧┐B A
(6) 假言三段论: (A→B)∧(B→C) (A→C)
(7) 等价三段论: (A↔B)∧(B↔C) (A↔C)
(8) 构造性二难: (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D)
构造性二难(特殊形式): (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统P由以下三部分要素组成:
A, k
B中出现的命题变项的任一组赋值，要么A1∧A2∧…∧Ak为
假 ， 要 么 A1∧A2∧…∧Ak 为 真 且 B 也 为 真 , 则 称 由 前 提 A1,
A2, …, Ak 推出B的推理是有效的（或正确的)，并称B是有效
的结论。
注：
A1∧A2∧…∧AkB永真
1、由前提A1,A2,…,Ak 推结论B的推理是否正确与诸前提的排列 次序无关。
可见，主析取范式中少两个极小项m0和 m2，从而推理不正确。
Discrete Math.
9
推理定律
CHAPTER
THREE
在研究推理过程中，人们发现了一些重要的重言蕴含式，并将它
们作为推理定律，在推理过程中可直接引用。常用的推理定律有：
(1) 附加律:
A A∨B
(2) 化简律:
A∧B A
(3) 假言推理: (A→B)∧A B
Discrete Math.
12
形式系统
定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成：
CHAPTER THREE
(1)非空的字母表集，记作A(I).
(2)A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I).
(3) E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX(I). (4)推理规则集，记作R(I).
这样可将I记为4元组<A(I),E(I),AX(I),R(I)>.其中<A(I),E(I)>是I的形 式语言系统,<AX(I),R(I)>为I的形式演算系统。
Discrete Math.
8
CHAPTER THREE
(3) 设p: 下午超过30℃；q：王小燕去游泳；r：王小燕去看电影。
前提：p→q，q→ ┐r 结论：┐r→p
推理形式结构：((p→q)∧(q→ ┐r))→(┐r→p)
我们用主析取式法检验该蕴含式是否为重言式。
((p→q)∧(q→ ┐r))→(┐r→p)
┐((┐p∨q)∧(┐q∨ ┐r))∨( r∨p)
((p∧┐q)∨(q∧ r ))∨r∨p
p∨r
两次吸收律
(p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r)
∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧r) (用例2.11(1))
m1∨ m3∨ m4∨m5∨ m6∨ m7