线性系统的频率特性
长安大学：自动控制原理第五章 线性系统的频域分析
A () 1 0 T
() 0
() 90
V() A() sin ()
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
二、研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。 2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特 性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。 3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。 三、频率特性的求取方法 1、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输 出稳态分量和输入正弦的复数比； 2、根椐传递函数来求取； 3、通过实验测得。
设
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esn t
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
( t 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部
x c (t) ae jt ae jt
a G(s)
a G (s)
CHANG’AN UNIVERSITY
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
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自动控制理论
第五章
a
AG( j) 2j
AG( j) a 2j
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
CHANG’AN UNIVERSITY
A() | G ( j) | U 2 () V 2 () 1 V() () G( j) tg U () U() A() cos()
控制工程基础课件第六章 频率特性分析
G
j
arctan
1
n 2
n2
当=0时，G j 1，G j 0；
当=n时，G j 2，G j 90； 当=时，G j ，G j 180。
二阶微分环节的极坐标图也于阻尼比有关，对应不同的 ξ值，形成一簇坐标曲线，不论ξ值如何，当ω=0时，极 坐标曲线从(1,0)点开始，在ω=∞时指向无穷远处。
第6章 频率特性分析
本章介绍线性系统的频域分析方法。该方法是通 过控制系统对正弦函数的稳态响应来分析系统性能的。
频率特性不仅能反映系统的稳态性能，也可用来 研究系统的稳定性和动态性能。
6.2 频率响应与频率特性
一、频率特性的概念
1、频率响应：是系统对正弦输入的稳态响应。
2、频率特性：给线性系统输入某一频率的正弦波，
1 1 jT
G j 1 U jV
1 jT
1
1 T 22
j T 1 T 22
A e j
实频特性为U 虚频特性为V
1； 1+T 2 2
T。 1+T 2 2
幅频特性为A 1 ；
1 T 22
相频特性为 G j arctanT
特殊点：
当=0时，G j 1，G j 0； 当=1/T时，G j 1 ,G j 45；
取拉氏变换为： Xi s
A
s2
2
电路的输出为： X0 s G s Xi s 上式取拉氏反变换并整理得
1A Ts 1 s2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
1 T2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_5 第5章线性系统的频率分析_(5.1.1) 5.1频率特性的概念
如果线性定常系统的输入r(t)和输出c(t)存在傅里叶变换， 频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。
G(
j
)
C( R(
j) j)
其中 R( j) r(t)e jtdt C( j) c(t)e jtdt
经过傅氏反变换
c(t)
U1m
1
1 j
sin(t
1
1
j
)
上式表明： 对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为 Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
Ye j Xe j0
Y X
e j
A()e j ()
后于输入的角
度为：
φ=
B A
360o
②该角度与ω有
关系 ,为φ(ω)
③该角度与初始
角度无关 。
二、频率特性的定义
例：如图所示电气网络的传递函数为
U2 (s) 1 Cs 1 1
U1(s) R 1 Cs RCs 1 s 1
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t
其拉氏变换为：
1
2
G( j)R( j)e jtd
系统的单位脉冲响应为：
g (t )
1
2
G( j)e jt d
本节小结
1. 控制系统频率特性的基本概念。 2. 频率特性与传递函数的关系。
频率特性有明确的物理意义，可以方便地用实验方法测定， 并用于系统的分析和建模。
频率特性主要适用于线性定常系统。
线性系统的频率分析
jw
A()
k
()21 (2)21)
Re -1 -0.5
5.3 系统的开环频率特性
开环频率特性（极坐标图）2
() a ta n () a ta n (2)
G(j) k j(2j1)
A()
k
(2)2 1)
()900atan(2)
Im
jw Re
5.3 系统的开环频率特性
开环频率特性（极坐标图）3
终点： .G k(j )0 1800
相频特性 () 1 8 0 0 a ta n T a ta n
5.3 系统的开环频率特性
画出下列开环频率特性（极坐标图）7
Gk
(s)
(s 1) (s 2)
相频特性 （线性分度）
12
3
4
5 6 7 8 9 10
l g 0 0.301 0.477 0.602 0.699 … 0.903 … 1
十倍频程
十倍频程
124 一倍频程
8 10
100
5.1.2 频率特性的定义
例如：画出积分环节 1/s的bode图
G(j) 1 1ej900 j
L ( )
十倍频程
问题：求图示系统在 r(t)=2sin2t 作用下的稳定输 出和稳态误差。
R(s) E(s) 1
C(s)
s1
G(s)s12,r02,21n G (j)2j21 2212 450
css(t)
2sin(2t450) 2
ess(t)r(t) css(t)2sin2 t2 2sin (2 t4 5 0)
5.1.2 频率特性的定义
Im
S平面 -1/T
jw Re
G( j) 100 0
频率特性的概念.
110 2 10 2 10 A( ) G ( j ) ( 2 ) ( ) 11 2 112 2 112 2 10 10 ( ) arctg arctg arctg 110 110 11
7
由已知r(t)=sin(t+30°)，得 w=1
5.1 频率特性的概念
一、定义：
线性系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。
二、特点：
设系统的闭环传递函数
b0 s m b1s m1 ... bm G( s) ............(n m) n n 1 a0 s a1s ... an
输入r(t)=Arsinwt，则 ：
w
A(w)
G(jw)
n G(j ) 2 2 (j ) 2n (j ) n
A( ) G ( j ) 1
P(w)
P
n 2
(n 2 ) 2 (2 n ) 2
2
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
10
2 n ( ) G ( j ) arctg 2 n 2
C1 C2 Cn d d* C(s) ... s s1 s s2 s sn s jw s jw
求拉氏反变换得：
C (t ) C1e C2e ... Cn e de
s1t s2t sn t
jt
d e
* jt
（si 为系统的闭环特征根。）
穿越频率wc： w=1时，L(w)=0，因此wc=1
27
L(w) 20 – 20db/dec 0 w
积分环节
0 90
0.1
1
自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法
5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处
线性系统频率特性测量和网络分析
线性系统频率特性测量和网络分析由线性系统频域分析发展起来的频域测量技术在线性系统测量中具有特殊意义。
频域中有两个基本测量问题:信号的频谱分析、线性系统频率特性的测量。
如前所述，频谱分析仪可以完成对信号本身的分析以及非线性失真测量;对线性系统的频率特性测量和实现是本章将讲述的内容。
10.1线性系统频率特性测量频率响应是指线性网络对正弦输入信号的稳态响应，也称为频率特性。
网络的频率特性通常都是复函数，它的绝对值代表着频率特性中的幅度随频率变化的规律，称为幅频特性;相角或相位表征了网络的相移随频率变化的规律，称为相频特性。
线性网络的频率特性测量包括幅频特性测量和相频特性测量。
10.1.1幅频特性测量线性系统频率特性的基本测量方法取决于加到被测系统的测试信号。
经典方法是以正弦波点频测量为基础，这种静态的测量方法费时且不完整，常常会漏掉频率特性的突变信息或一些细节。
与之对应的是正弦波扫频测量，这是一种动态测量。
后来又发展到采用伪随机信号进行广谱快速测量，或者采用多频测量，即用具有素数关系的多个离散频率的正弦波集合作为测试信号的快速频率特性测量方法。
目前仍以正弦扫频测量为线性系统频率特性的经典测量方法。
1. 点频测量法为了测试各种无源器件，需要信号源对测量电路提供能源或激励信号。
测试要求信号源的频率必须能够在一定范围内调谐或选择。
早期的频率信号源主要靠机械方式实现频率调节，即通过改变振荡部分的谐振回路机械尺寸来调节。
这种机械式频率调谐信号源都是按照“点频”方式工作的，也就是每次只能将频率度盘放置到某一位置，输出某一所需的单一频率连续波信号。
对应的频率特性测量方法即为“点频测量”:测量元器件在一定频段内的特性曲线时，必须将信号源的频率依次设置调谐到各指定频点上，并分别测出各点上的参数之后，才能将各点数据连成完整的曲线。
点频测量方法很简单，但它存在明显的缺陷。
首先，点频测量所得的频率特性是静态的，无法反映信号的连续变化。
线性系统的频率特性
线性系统的频率特性一、实验原理我们讨论的确定性输入信号作用下的集总参数线性非时变系统，又简称线性非时变系统。
线性非时变系统的基本特性是其次性、叠加性、时不变性、微分性以及因果性。
线性非时变系统的分析，是对系统的数学模型的求解，可分为时间域方法和变换域方法。
这里主要讨论以频率特性为主要研究对象，通过傅里叶变换以频率为独立变量。
设输入信号为()in v t ，其频谱为()in V j ω；系统的单位冲激响应为()h t ，系统的频率特性为()H j ω；输出信号为()out v t ，其频谱为()out V j ω，则时间域中输入与输出的关系为 ()()()out in v t v t h t =*频率域中输入与输出的关系为()()()out in V j V j H j ωωω=*时间域方法和变换域方法并没有本质区别，两种方法都是将输入信号分解为某种基本单元，在这些基本单元的作用下求得系统的响应，然后再叠加。
变换域方法可以将时域分析中的微分、积分运算转化为代数运算，将卷积积分变换为乘法；在信号处理时，将输入时间信号用一组变换系数（谱线）来表示，根据信号占有的频带与系统通带间的关系来分析信号传输，判别信号中带有特征性的分量，比时域法更简便和直接。
二、实验方法简述1、输入信号的选取这里输入信号选取周期矩形信号，并且要求Kτ不为整数。
这是因为周期矩形信号具有丰富的谐波分量，可通过观察系统的输入、输出波形的谐波的变化，分析系统滤波特性。
周期矩形信号可以分解为直流分量和许多谐波分量，由于测量频率点的数目有限，因此需要排除谐波幅度为零的频率点，周期矩形信号谐波幅度为零的频率点是K TτΩ，其中K=1、2、3……。
2、线性系统的系统函数幅度频率特性分析通过傅里叶变换将信号由时域变换为频域来观察研究，用波特计研究当输入交流信号时高通电路与低通电路不同的过滤特性，研究输入方波信号时输出的频域响应。
1）低通网络的系统函数的频率特性为()()()out in RV j L H j R V j j Lωωωω==+2）高通网络的系统函数的频率特性为()()1()out in V j j H j V j j RL ωωωωω==+三、实验方法1、 用傅里叶分析法，画出周期s T μ200=脉冲宽度s μτ60=脉冲幅度V V p 5= 方波的频谱。
第五章线性系统的频率分析法
一、频率特性的定义： 指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入
量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振 幅之比和相位差的变化规律，用G(jω) 表示。
xr (t) xrm sin(t)
xc(t) xcm sin(t ( ))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
3）在ω轴上，十倍频程的长度相等；
4）可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω) ；
5）满足直线方程：斜率k
k L(2 ) L(1 ) lg2 lg1
例如：G ( s )
1 Ts
1
的（对数频率特性曲线）伯德图
1）频率特性： G( j ) 1
1
tg1T
jT 1 2T 2 1
微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：
s d dt
传递函数
微分方程 系统
d j
dt
频率特性
s j
四、 频率特性的几何表示法
常用频率特性的三种表示法： 1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯
特图（Nyquist）、极坐标图） 2)对数频率特性曲线（又称：伯德图 (Bode)）
频率对数分度,幅值/相角线性分度
2）对数频率特性：
0
Bode Diagram
Magnitude (dB)
L( ) 201g 1
-10
T 1 2 2
-20
-30
( ) tg1T
-40 0
Phase (deg)
3）画出伯德图：
-45
-90 10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
102
五、典型环节的分解
线性系统的频域分析_自动控制原理
X G(-j )X d 1 G(s) 2 (s j ) S -j 2 2j s X G(j )X d 2 G(s) 2 (s - j ) S j 2 2j s G(j ) | G(j ) | e j G(-j ) | G(-j ) | e - j | G(j ) || G(-j ) |
第五章 线性系统的频域分析 §1 频率响应及其描述
一．频率特性 1.频率特性的基本概念 a.RC网络
右图所示的RC 网络的微分方程为
0 T dU dt U 0 U i
R UI C U0
式中
T RC 则
U 0 (S) U i (S)
1 TS 1
设 U i Asin t U 0 (S)
说明: 1.在稳态求出的输出信号 与输入信号的幅值比是 的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | j ) | 2.输出信号与输入信号的 相位差是的非线性函数 ,称 为相频特性 .它描述在稳态情况下 ,当系统输入不同频率 的谐波信号时 , 其相位产生超前 ( 0 )或滞后( 0 )的 特性. 3.幅频特性和相频特性总 称为频率特性 , 记为 G(j ) G(j ) e jG(j ) 4.频率特性的求取 G(j ) G(s) s j
X(t) xsint Y(S)
B( s ) x ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) (s j )(s - j ) d1 d2 c1 cn s j s j s s1 s sn
y(t) d1e - jt d 2e jt c1e s1t c n e sn t 对于稳定系统 ,由于极点S1 , S2 , , Sn都有负实部 , 所以当t 时 y ss ( t ) d1e jt d 2e jt
§5-1 频率特性
L(ω) -(ω)图
4、幅频特性和相频特性 频率线性分度 幅值、相角线性分度
ω A(ω ) ψ (ω ) 0 1 0 1 0.707
G ( j )
1 1 j
的幅相频率
1 1
2 0.45
2 2
， ( ) arctg
5 0.196 ∞ 0
－45°－63.4° －78.69° －90°
jQ( )
描点后可得惯性环节
0
1
的幅相频率特性图
40
20 lg 1 2 2
1
20 lg 2 3dB
( )
0
相频特性可用描点方法
绘制，其特点是曲线关
４ 5) 奇对称。 于 ( ， 1
45
90
自动控制原理
第5章线性系统的频域分析
3、对数幅相频率特性（尼柯尔斯（Nichols）图）
以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：
sin(t ) U 1m
1 1 sin(t ) 1) 式中
1 A( ) 1 j
1 A( )e j ( ) 1 j
1
1 2 2
为幅频特性
( ) (
1 ) arct an 1 j
1
10
20
0.1
L( ) 20lg1 0
0
20
-20dB/dec
（在半对数坐标系 中是和横轴重合 的水平线）
b.当 » 时，
1
40
L( ) 20lg
（在半对数坐标系中是直线 方程，斜率为-20dB/dec, dec表示10倍频程）
线性系统幅频特性的测量.
4
②磁调制扫频：磁调制扫频是用改变振荡器回路中带磁芯的电感线圈的电感 量，以获得扫频的一种方法。
在磁调制扫频电路中，通常调制电流为正弦波，即采用正弦波扫频。由于磁 性材料存在一定的磁带，在调制电流 iM 的一个周期内，导磁系数的变化并非按 同一轨迹往返，即正向调制和反向调制的扫频线性不同。为使观测时图像清晰， 必须使扫频振荡器工作在单向扫频状态，因此需要加自动稳幅电路来使扫频信号 振幅保持恒定。
以相比拟的称宽带扫频。 ②扫频线性：扫频线性指扫频信号瞬时频率的变化和调制电压瞬时值的变化
之间的吻合程度。吻合程度越高，扫频线性越好。 ③振幅平稳性：在幅频特性测试中，必须保证扫频信号的幅度恒定不变。扫
频信号的振幅平稳性通常用它的寄生调幅来表示，寄生调幅越小，表示振幅平稳 度越高。
④频标：为使幅频特性容易读数，应有多种频率标记（简称频标），必要时 频标可外接。 4、产生扫频信号的方法
1
附属电路而构成的一种通用仪器，用于测量网络的幅频特性。
X 放大器
u1
扫描电压 发生器
u1 u2
扫频信号 发生器
u3 被测电路
Y 放大器
u5
晶振
频标信号 形成电路
谐波发生器
u4 检波探头
混频
（a）方框图
u1
O
t
u2
t
O
u3
O
t
u4
O
t
u5
第5章线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念1.频率特性的
·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。
系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist ）曲线或极坐标图。
它是以ω为参变量，以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。
（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode ）图。
这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。
横坐标为ω，按常用对数lg ω分度。
对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ，单位为“°”（度）。
而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =，单位为dB 。
（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。
该方法以ω为参变量，)(ωϕ为横坐标，)(ωL 为纵坐标。
3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB 。
对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时，有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时，有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得︒=︒-=45 45b a因此：⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时，在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为2121lg20ξξ-。
自动控制原理(胡寿松) 第五章
27
（2）相频特性
()arct1a 2T n T2 2
可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→ -
180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及
() =-90°这一点斜对称。
振荡环节具有 相位滞后的作用， 输出滞后于输入的 范围为0º→-180º；
10
5.1 频率特性的基本概念
G(jω)C R • • A Acr 1 2 A(ω) (ω)
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下， 稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。
A()AcG(j) 称为系统的幅频特性
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
=0+3=3dB。
24
6．二阶振荡环节
1
T2s2 2Ts 1
（1）对数幅频特性
L
20lg
T2
j2
1
j2T
1
20lg 12T2 2 2T2
1.低频段
T<<1(或<<1/T)时，L() 20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线
重合。 0≤≤1
25
L 2 0 l g1 2 T 22 2T 2
13
Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两 个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts1
Bode图
对数相频特 性：纵轴均 匀刻度，标 以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及 标值方法与 幅频特性相 同。
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y(t)ytr(t)yss(t) y(t) yss(t)
y(t)ytr(t)yss(t) y(t) yss(t)
二、频率特性的性质
1、与传函一样，频率特性也是一种数学模型 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。 当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全 确定。
2、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之 比A（）和它们的相位移（）也随之改变。所 以 A（）和（）都是的函数。这是由于系统 中的储能元件引起的。
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率，曲线如下:
给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输
结论： 出是与输入同频率的正弦信号，幅值随ω而
变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5 ω=1
ω=2
ω=2.5 ω=4
一、频率特性的定义：
在正弦信号输入下，系统输出的稳态分 量与输入量的复振幅之比。一般用G(j)表 示。
已知：线性系统的微分方程为
a0ddnct(nt)a1ddnt1nc(1t) an1dcd(tt)anc(t) b0ddmtrm (t)b1ddmtm 1r(1t) bm1dd r(tt)bmr(t) (1)
设 ct C m c o stR e C m ejejt = R e C ejt (2) rtR m c o s tR e R m ejejt = R e R ejt (3)
由定理3，上式化为：
a0jna1jn1 an1jan C b0jmb1jm 1 bm 1jbm R
ct aC 0m jc o s n ta 1 j n R 1e C m ae nj 1e j jt = aR ne C C ejt rt R bm 0c o js m t b 1 jR e m 1R m e jbm e j1 t j = R e bR me R jt
G (j)C R ((jj ))C ( R )e ej0 j()A ()ej()
1.理解方法一： （物理意义）
条件： 1）线性定常系统；2）零初始条件；
3）输入量 r(t)Rsint
4）稳态输出为 c (t) C ( )s in [ t ( )]
规定：R (j) R e j0和 C j C e j
将(2)、(3)代入(1)得：
a0d d tn nR e C ejt a1d d tn n 1 1R e C ejt an 1d d tR e C ejt anR e C ejt b0d dtm m rR e R ejt b1d d tm m 1 1R e R ejt bm 1d d tR e R ejt bm R e R ejt
为r(t)和c(t)的复振幅。
则定义输出量和输入量的复振幅之比
G j C R ( j j) C R e e j0 j C R e j 0 A () e j
为线性定常系统的频率特性，其中 A ( ) 为幅频特 性， ( ) 为相频特性。
*线性定常系统的频率特性是一个复数变量。
由定理1，上式化为：
R e a0j nC ej t R e a 1j n -1C ej t R e an C ej t R e b 0j m R ej t R e b 1j m -1R ej t R e b m R ej t
由定理2，并将公有项提出：
R e a0j na1j n 1 an 1 j anC ejt R e b0j m b 1j m 1 bm 1 j bmR ejt
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 频率特性
5-2 频率特性
项目
内容
教 学 目 的 理解频率特性和频域分析法。
教 学 重 点 频率特性的基本概念及三种几何表示法。
教 学 难 点 频率特性的理解方法。
讲授技巧及注 重点介绍表达式、波形图、系统输入输出信号、
意事项
各种图形表示法的相互联系。
给稳定的系统输入一个正弦 信号，系统的稳态输出也是一个 正弦信号，其频率与输入信号同 频率，其幅值和相位随输入信号 频率的变化而变化。
yss(t)
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 2
4
1.5
yss(t) 1 2
幅值 0
u(t) -2
0.5 幅值
0
-0.5
-4 -1
-6
-1.5
y(t)
y(t)
-8
-2
u(t)
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
t/s
t/s
u(t)2co 5t s3 ()0
u(t)2co 2ts0 (3)0
这就是最终的理解方法的落脚点。
线性定常系统的数学模型
微分方程
传递函数 频率特性
时域 复数域 频域
到此，我 们给全了 线性定常 系统数学 模型的三 大表示体 系。
传递 函数
微分 方程
系 统
s j
频率 特性
2
几何意义
5 4
1.5
3
1
2
0.5
1
0
线性系统
0
-0.5
-1
-1
-2
-1.5
振幅比较
-3
-2
2.理解方法二：
定理1：微分运算和求实部运算的可交换性
d d tR e A ej t R e d d tA ej t R e j A ej t
定理2：复数实部叠加定理
a 1 R e z 1 a 2 R e z 2 R e a 1 z 1 a 2 z 2
定理3：若 Re[A ejt]Re[Bejt] 则 A B反之亦然。
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
1.5
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
0.5
相
0 -0.5
位
-1 -1.5
比
-25
0
4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
较3 2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输
入信号频率的变化而变化 。
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 6
G j C
结
R
论 一
b0 jm a0 jn
b1 j m1 a1 j n1
bm1 j bm an1 j an
Gssj
结 论
G(j)R CC Rm meejj
Cmej Rm
Aej
二
ACm
Rm
3.理解方法三：
任何线性定常系统的正弦传递函数，即 频率特性，都可以通过用jω代替系统传递 函数中的s得到。（控制意义）