极坐标系速度加速度PPT课件

§1.2 速度、加速度的分量表达式
二、极坐标系（polar coordinate system)
(一)、平面极坐标系的定义
1. 定义： 在参考系上取一点o称为极点,由o点因一有刻度的射线ox称为极轴 ，即构成极坐 标系
2. 极坐标： 质点的位置P由矢径r和幅角给出
横向
r：(矢径、极径）极点到质点的距离； ：(幅角、极角phase angle)极径与
极轴的夹角逆时针为正
rP
O
3径. 正向交横单单向位为单矢矢位量量矢：量：指i：向指增向加的增方加向的；方向，且与径向垂直；
和 构 成正交系，j是随质点的运动而变化的单位矢量，是时间的函数 ij
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径向 极轴
1
i 和 j对时间t的导数的计算：
• 如图所示，在t时间内，幅角的增 量为，
i

r
di
dt dt
dt
dt
di

di
d
j
dt d dt
v
dr
i

r
d
dt
dt
j

ri

rj

vr i

v
j
–第一项：由位矢的量值改变所引起的，称为径向速度； –第二项：沿由位矢方向的改变所引起的，称为横向速度
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ˆ A:t
jr
o rˆ
x
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.
2
二、极坐标系中的位矢和运动方程
• 运动学方程：r=r(t), =(t) • 质点的位置矢量：r r(t) r(t)rˆ • 质点的轨迹方程：r=r()
三、极坐标系中的速度
v dr

d
[ ri ]
dr
dt dt
dt dt
dt 2dt dtFra bibliotekd 2r

dt
2
r d
dt
2
i


r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt

j
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r 2
)i

1 r
d dt
(
r 2
)j

a. r i

a
j
.
3
v r – 径向速度（radial velocity)：
vr

dr dt
– 横向速度(transverse velocity)：

d
dt
– 速度的大小：v vr2 v2
r dr 2
dt
d 2 dt
四、极坐标系中的加速度
a dv

d

dr
i
当径t向0和时，横向单0,位矢和量d的的i改方向变d分量j别为趋向di于、d和j
j i


di 1 d d dj 1 d d
ˆ B:t+t
r´ ˆ ˆ
di di d j dt d dt
dj dj d i dt d dt
4
• 径向加速度（radial acceleration)：
ar

d 2r dt 2

r

d dt
2

r
r2
• 横向加速度（transverse acceleration):
a

r
d 2 dt 2
2 dr dt
d dt

r 2r
•
加速度的大小：a
a


r
d
j

dt dt dt
dt

d 2r dt 2
i

dr dt
di dr dt dt
d
dt
j

r
d 2
dt 2
j

r
d
dt
dj dt
d 2rˆ i dr d j dr d j r d 2 j r d d (i )
dt 2
ar2 a2
•说明：
–v 、ar、a 并非单纯由该方向相关量的变化引起； –表面看来，极坐标系中速度和加速度的表达式比直角坐标系中复杂，实际 上在解决某些具体问题时，例如质点作圆周运动时，利用极坐标系来描述 比较方便。
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