8.5麦克斯韦方程协变形式

§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
假若我们把矢量场按平行和垂直于相对运动速度方 向分解，则(20)式可表示为：
E
E// E//
(EvB)
(21)
B// B//
B
(B
v c2
E)
11
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9
用 A , 描述。
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
总结：
关于电磁现象的参考系问题，至此完全获得解
决。电动力学基本方程式对任意惯性参考系成立。
在坐标变换下，势按四维矢量变换，电磁场按四维 张量变换。
四、电磁场的变换关系
(transformation relation of electromagnetic field)
电磁场完全由电磁场张量F v 描述，它是二阶反 对称张量，在四维正交变换下不同参考系中的 F v
间变换关系为：
Fv aavzFz
(19)
把(19)式具体写成分量的形式，则为
E1 E1,
E 2 (E 2 vB 3),
B B 2 1 B1 (B 2c v 2E 3) (20)
10
E 3 (E 3vB 3), B 3 (B 3c v 2E 2)
a
0 0
10
0
0 1 0
i
0
0
4
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
三、电磁场张量和麦克斯韦方程组的协变形式
讨论用 E 和 B 表示的麦氏方程组的协变形式。
E
A
t
(9)
B A
其分量为
B1
A3 x2
A2 x3
,...
E1
ic(A4 x1
A1),... x4
(9’)
i c
场分成电场和磁场则只具有相对意义。
利用 F v 和 J ，将麦氏方程：
B
0 0
E t
0J
E
0
合并写为
F v xv
0J
(15) (16) 7
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
将
B 0
E
B t
0
(17)
合并写为
Fv Fv F 0
(18)
x x xv
结论：
(16)和(18)式即是协变形式的麦克斯韦方程组。 由于他们是四维张量方程，因此在任何惯性系中都 成立 。
引入 A (Ai,ci)(Ai,A4)
四维矢量、四维势
(7)
麦 克 斯 韦
A 0 J 四维势方程
A
x
0
洛仑兹条件
(8)
方
用 A 和 表示的麦克斯韦方程协变形式 。
程 的 协 变 形 式
讨论：
1. (8)式是协变的；
2. A 为一四维矢量，满足关系式
0 0 i
A' av Av
2. J 和 构成一个统一体
空的统一性决定的。
J ，是由相对论时
3.它反映了 J 和 的内在联系，它们是统一物理量
的不同分量。
J 与U 的关系： J ( u , i c )
( u ,ic )
2
0U
(4)
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
0
相对量
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
基本内容：求出麦克斯韦方程组在四维空间 的协变形式。
一、四维电流密度矢量和连续性方程的协变形式
J 0
t
电荷守恒定律，连续 性方程
(1)
J1J2J3(ic)0
x1 x2 x3 x4
x4 ict
四维微分矢量算符
x
两矢量的标积为一不变量
所以，引入 J ( J , i c )
F' v a av F
(12)
(9)式给出了(10) 式的6个独立分量，将(9)与(10)比较
得出：
B (F23, F31, F12 )
i c
E
( F41, F42 ,
F43 )
(13)
根据 F v 的反对称性，
可将其余的量全部
0
B3
B2
i c
E1
确定出来，写成矩
阵形式为：
Fv
B3
8
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
讨论：
统一
1. ( A, )
A (四维矢量)
统一性
反映出电磁场
(E, B)
F v (四维张量)
相对性
2.同一 或 中电场和磁场表现出不同性质；
从 变 时，它们可以互相转化。
q
v
静止
系： 系：
q 激发电场，用 描述。
q 是运动的，除了电场之外还有磁场，
(J1,J2,J3,ic)
为一四维矢量的4个分量
( u ,ic )
J 为四维电流
1
(Ji, J4)
密度矢量
(2)
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
J i 为空间分量，J 4 为时间分量
J 0 x
J 的四维散度为零
(3)
注意：
1.(3)显然有协变性， (3)是对任意惯性参考系成立。
B2
i c
E1
0
B1 i c E2
B1 0 i c E3
i c
E2
(14)
i c
E3
6
0
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
讨论：
E 和 B 在相对论时空中统一为一个整体—电磁
场张量 F v ，这反映了电磁场的统一性。B 是 F v 的空 间分量，而 E 则是其时间—空间混合分量，F v 完全确 定电磁场。F v 为四维协变量。把作为一个整体的电磁
E1
(A1 x4
A4 x1
),...
5
855..
( A, ) 四维协变张量 A
麦
寻找 ( E , B ) 四维协变张量
克
引入四维二阶反对称张量
斯 韦
Fv
Av x
A xv
方
电磁场张量
程
4 2 个分量
的
协
变
形
式
(10) 5
§8.5 麦 克 斯 韦 方 程 的 协 变 形 式
Fv Fv
(11)
0
1
v2 c2
静止电荷密度、固 有电荷密度
二、四维势和达朗伯方程的协变形式
(
源自文库
2
1 c2
2 )A
t2
0J
(
2
1 c2
2 t2
)
0
(
A
1 c2
t
0)
(5)
Ai 0Ji
(i 1, 2,3)
(i c
)
0 (ic
)
0J4
A x
i i
(i c x4
)
0
3
(6)
§8.5