四色问题的证明

四色问题的简单证明

一共识

1证明任意地图能不能只用四种颜色就可以填满整个地图，我们可以转换为另一个同等的命题：就是地图上不存在

有五个区域相互接触，最多可能有四块区域相互接触。

2地图分为有空白地图和无空白地图。有空白地图意思是地图的一些区域不需要填色，而无空白地图就是指地图

的每一个区域都要求上色。

二先证明以下三点命题

1一区域要与另一区域接触，那么这一区域的周边要留下空白。（定理一）

证：如下若A要与另一个区域接触的话，那么A的周边

必须留有空白。

若A周边没有空白，而又能与另一块区域接触，这是不

可能的。

2一张无空白地图存在M块区域，对于原有n块无间隙区域，必然有在原有区域的基础上有n+1块区域（n-1<=M）

它们之间无间隙。（定理二）

证；地图上有k块区域无间隙，那么必然有k+1块区域

无间隙。

若有k块区域无间隙，不存在k+1块区域无间隙，除了原来的k块区域外，每一个区域都与这k块区域所组成的图形有间隙。

就是说每一块图形与k块图形有间隙，那么k块区域的周边必然存在间隙，就是地图有间隙（有空白区域）。矛盾。

所以命题成立。

3若无空白的地图的四色问题成立，那么有空白的地图的四色问题也成立。（定理三）

证：对于任意的有空白的地图，我们可以对应地建立无

空白的地图，然后把无空白的地图填满颜色，再根据原

地图除去相应区域的颜色即可。

三主体证明。

（1）首先我们在无空白地图上选取一个区域为研究对象。如下图

（2）由定理二得一定存在一个B 与A 无间隙接触，

并为了A B 都能与另一区域接触依据定理一AB 周边要留有空白，所以有：

这是两区域依照定理一二得到AB

的唯一的关系

即至少需要两种颜色

（3）依据定理二我们在AB 的基础上处在C 使得ABC 之间无间隙， 又因为定理一要ABC 周边留下空白。

舍去c 只与A 或B 接触的

即得

这是在定理一二下的ABC 互相接触的唯一一种关系

（4）在（3）的基础上研究

由定理二我们是知道必然存在D 与ABC 无间隙的接触

因为要得到四色，那么必须

D 与ABC 同时接触，不然没有意义。 首先我们让ABD 同时接触由三得只有一种关系

因为D 也与C 接触，所以必然要绕过过A 或B 所以只有一下两种关系

上面两种关系都有一个区域的周边无空白

（5）有定理二我们得到存在E与ABCD无间隙接触，但是不存在E与ABCD相互接触。

若E与ABCD相互接触，那么有定理一得ABCD的周边都有空白。矛盾。

所以不存在五块区域相互接触。

所以无空白的地图的四色问题得证。

由定理三得有空白的四色问题得证。

综上四色问题得证。

2016、3、30